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附录Ⅰ 1913年逻辑笔记
概要
认为原有标记法错误的原因之一是完全不可能从所有可能命题p中得出无数的其他命题，如非非p，非非非非p，等等。[参见5.43]
如果那些只包含专名的符号是复合的，那么仅包含约束变项(apparentvariables)的命题就是简单命题了。那么它们的否定又怎么样？
命题的动词不能成为“是真的”或“是假的”，但是无论为真的或为假的是什么，必定经包含在这个动词中。[参见4.063]
推理只根据推理规则进行，但是这些规则不能证明这个推理合理。
假设并非所有不只一个参数的命题是关系命题的一个原因是：如果它们是关系性命题，那么判断和推理的关系必定会适用于任意多的事物。
每个看起来像是复合的命题都能够被分析为关于它的构成的命题，以及完全描绘这个复合的命题；即相当于这个命题表达了这个复合的存在。[参见2.0201]
命题是复合物的名称的观点表明，只要不是专名就是表示关系的符号。因为空间复合物仅由关系和事物构成，并且这个复合物的观念取自空间。
在命题中，将其全部不可分析项转换成变项；那么剩下来的就是命题的类，它不是全部的命题而仅是命题的一个类型。[参见3.315]
因此，符号在两种方式上是相似的。名称“苏格拉底”和“柏拉图”相似：它们都是名字。但是，无论它们有什么样的共性，在“苏格拉底”和“Plato”被引入之前都不是必须引入的。这也适用于主谓形式，等等。因此，事物、命题、主谓形式等，不是不可定义的东西，即类型不是不可定义的东西。
当我们表达A判断什么，等等，那么我们必须提及A判断的整个命题。仅提到其构成中的一个不行，或仅提到它的结构和形式而没有按照适当的次序也不行。这表明，命题自身必须出现在断定它的陈述中。然而，例如“非P”可以被解释为被否定的东西必定有意谓这个问题。
理解命题p，仅知道p暗示着“p为真”是不够的，我们还必须知道～p暗示着“p为假”。这表明命题具有两极性。
每个分子函项都有一个真值表与之相对应。因此，我们可以使用真值表本身代替函项。现在真值表的功用在于使真(T)和假(F)与每一个命题相互关联。这两个字母是原子命题的两极。那么这个表就使得另一个真和假与这些极关联起来。在这个标记法中，至关重要的是原子命题的两极与其外部极的相互关系。因此，非非P是与p相同的符号。并且因此，我们绝不会再得到两个表示同一个分子函项的符号。
命题的意谓实际上是与它相对应的事实。
当原子命题的ab函项是两极性命题时，我们还可以在其上执行ab运算。通过这样做，我们会经由原来的原子命题极的外部极，把两个新的外部极原子命题的极关联起来。
真—P—假象征的事实是，它表明真在p的左边及假在p的右边；那么与新的极相互关联是可传递的。其结果是，如果一个新的极无论以任何方式，即通过无论哪个极与真极内在的相互关联，这个符号都不会因此改变。因此，通过重复执行一个ab运算，构造全部ab函项是可能的，并且我们因此能够谈论全部ab函项，就如同讨论通过重复执行这个ab运算而获得的那些函项的全部。
命名就如同标点。函项就像一条直线，把平面上的点分成右边的点和左边的点；那么“p或非P”没有意谓，因为它没有把平面划分开。
但是，尽管特称命题“p或非p”没有意义，一般命题“对于所有的p来说，p或非p”却有意谓，因为它不包含无意义函项“p或非p”，而“p或非q”这个函项就如同“对于所有的x来说，xRx”包含着函项“xRy”一样。
命题是事实表现的标准，名字则不是；因此，才有两极性和意义就如同一个箭头以某种方式表现另一个具有相同或相反意义的箭头，因此事实以某种方式表现命题。
命题形式在下列方式下有意义。认真考虑一下符号“xRy”。用符号表示与这对事物相对应的形式，它们的名称分别是“x”和“y”。x和y这两个事物在各种关系中相互关联，在某些情况下，(x和y)处于关系R中，有些情况则不是；就如同我根据关系R通过x和y这两个点的全部表现形式选出特定事物一样。比方说，如果x在关系R下代替y，“xRy”这个符号就被称为相对于事实的真，否则为假。这是意义的定义。
在我的理论中，p与非p有相同的意谓，但是意义相反。意谓是事实。严格意义上的判断理论必须使判断无意义成为不可能。[参见4.0621和5.5422]
如果认为我们知道p等同于“p为真”，那么我们就理解了命题p，这是不完全正确的说法，因为只有在两者都为真的情况下才会如此。关于命题的形式，我们所需要的是形式上的相同，即其中涉及全部命题形式的一般不可定义项。命题ab-函项的意义是其意义的函项。只有未被断定的命题。断定仅属于心理上的东西。在非p中，p恰如其单独存在时一样；这一点绝对是根本的。在使“p或q”为真的事实也就是使“p和q”为真的事实；如果命题仅有意谓，在这种情况下，我们应该说这两个命题同一，但事实上它们的意义不同，因为在我们通过谈论所有的p和所有的q时，我们就已经引进了意义。因此，分子命题仅在这样的一些情况下被使用：它们的ab函项在一般性记号下或ab函项进入其他函项，如“我相信什么什么”时，因为那时ab函项的意义也进入其中。[参见5.2341]
在“a判断P”中，p不能被专名代替。它表明我们是否可以替换“a判断p为真及非p为假”。命题“a判断p”包含专名a，该命题p和它的两极，以及a以某种方式与这两个极相关联。这显然不是普通意义上的关系。
ab标记法清楚地表明，“和”及“或”相互依存，因此我们不可以把它们当作同时存在的不可定义项来使用。
在明显变项情况下对象对应于原来的不可定义项，与在分子变项的情况下一样。ab标示法应用于明显变项，命题是明确的，例如，如果我们思考一下，当fx对于所有的x为真时，命题“对于所有的x来说，φx”必然是真的，当fx对于所有的x为假时，命题“对于所有的x来说，φx”为假。我们看到，“有些”和“所有”同时出现在正式的明显变项记法中。
这个记法是：
对于(x)φx:a-(x)-aφxb-(∃x)-b以及
(∃x)φx:a-(∃x)-aφxb-(x)-b来说
原来的定义现在变成同语反复了。
在“aRb”中，起象征作用的不是这个复合物，而是符号“a”与符号“b”处于某种关系中的事实。因此，事实由事实象征，或者更为确切地说：某一事物在符号中的事实表达了某一事物是世界中的事实。[参见3.1432]
判断、提问和命令都处于同一层级上。其中，逻辑关注的仅是未被断定的命题。事实不能被命名。
命题不能出现在其自身中，这是类型理论的基本真理。[参见3.332]
每个表达有关一不可定义事物的命题是主谓命题，等等。
因此，如果我们知道一个命题只包含一个名称和一个形式，等等，我们就能够识别出主谓命题。这就给出了类型的结构。因此，该命题的类型仅通过它的符号就能够被识别。
在一个正确的明显变项记法中，最为重要的是：(1)它必须提到命题的类型；(2)它必须表明这个类型的命题的构成元素中哪些是常项。
(形式和成分是构件。)
以(φ)·φ!x为例。如果我们描述这类符号，因为“φ”，如上所述，足以确定这个类型，那么，(φ)·φ!x不能自动地通过这个描述而适合该类型，因为它包含“φ!x”，并且该描述要描述是作为“φ”类在符号象征中的全部。如果这个描述如此完全，那么就不会出现恶性循环，(φ)·(x)f这个例子就不会出现[这里的(x)φ是主谓命题]。
手稿一
不可定义项有两类：名称和形式。命题不能仅由名称构成；它们不能成为名称的集合。名称不仅可以出现在两个不同的命题中，也能以相同的方式出现在两个命题中。
命题(指向事实的符号)是事实本身：这瓶墨水瓶在这张桌子上，可能表达的是我坐在这把椅子上。[参见2.141和3.14]
它不能表达我们以相同的名称指派给两个对象的共有特征，而是以两个不同的指派方式，因为名称既然是任意的，我们也就可以选择不同的名称，那么在这个指派中会有共同的元素吗？尽管如此，人们还是经常处于争议中，冒着采用不同的指派方式逃避困难的风险。[参见3.322]
弗雷格说“命题是名称”；罗素说“命题与复合物一致”。两者的说法都不对；并且尤其错误的是“命题是复合物的名称”这个陈述。[参见3.143]
很容易做出这样的假设，只有包含对象名字的符号才是复杂的，因此“(∃x,φ)φx”或者“(∃x,y)xRy”必是简单的。很自然地称前者为形式的名称，后者为关系的名称。但是，在这种情况下，～(∃x,y)xRy的意谓是什么？我们能在名称前加“非”吗？
“～苏格拉底”无所意谓的原因是“～x”不表达x的属性。
有肯定和否定事实：如果命题“这朵蔷薇不是红色的”为真，那么它表示的是否定。但是“非”这个词的出现不表明这一点，除非我们知道命题“这朵蔷薇是红色的”(当它为真时)表达肯定。只有从否定和被否定的命题，我们才能得出这个完整命题意义特征的结论。(这里，我们不讨论一般命题的否定，即诸如包含明显变项的命题。否定事实仅证明原子命题的否定合法。)
有肯定事实和否定事实，但是，没有真的事实和假的事实。
如果我们忽视了命题有独立于它们的真或假而有意义这一事实，就很可能把指号及其所指的东西之间的关系看作是两个相等的东西之间的关系。(那么，我们就有可能以“q”为真的方式表达“非q”以假的方式表达的东西。)可是，真与假在事实上不是被同样证明为合法的吗？如果我们知道它们没有被错误表达，难道我们不会根据假命题所意谓的表达我们自身，就如同我们一直以来用真命题来表达的那样吗？不!只有在它像我们在命题中断定那样时，命题才为真；因此，如果我们通过“q”意谓“非q”，并且它是我们要断定的，那么在对“q”新的解释中，它实际上是真的而非假的。但重要的是，我们能够以“q”像“非q”一样意谓相同的东西，因为它表明既不是这个符号“非”也不是它与“q”联结的方式描述与“q”相符合的指示特征。[参见4.061，4.062，4.0621]
手稿二
我们必定能够理解我们以前从没听说过的命题，但是每个命题都是一个新的符号。因此，我们必定有一般的不可定义符号；如果命题不全都是不可定义的，这些符号就是不可避免的。[参见4.02，4.021，4.027]
无论在实体上与混合命题相符合的是什么，都不会比与它们的几个原子命题一致的东西更多。
逻辑不仅不必处理那些(特定的)事物，也不处理关系和谓词。
没有包含实质变项的命题。
实体上，与命题相符的东西依赖于它是否为真或假。但是，我们必定能够在不知道它是否为真或假的情况下理解命题。
当我们理解一个命题时，我们所知道的是：我们知道如果该命题为真的事实是什么，如果它为假的事实是什么。但是我们不知道(必要的)它是否为真或假。[参见4.024]
命题不是名称。
我们绝不能通过把一种属性归于一种逻辑类型的分子而不归于另一逻辑类型的分子来把这两种逻辑类型区别开来。
符号并不是它们看起来的那样。“aRb”中，“R”看起来是个实体，但它不是。“aRb”象征的是R出现在a和b之间。因此，“R”在“a Rb”中不是不可定义的符号。类似于“φx”，“φ”看起来是一个实体，但它也不是不可定义的符号；“～p”中，“～”看起来像“φ”，但它与“φ”不同。这是首先要表明的，可能没有逻辑常项。反驳它们的理由是逻辑的概括性：逻辑不能讨论一系列特殊的事物。[参见3.1423]
分子命题除了它的原子命题所包含的东西，不包含任何其他的东西，它们没有给上述原子命题增加任何实质性的东西。
有关分子函项最为重要的是它们的T-F表(即当它们为真时的事实陈述以及当它们为假时的事实陈述)。
有选择的不可定义性表明，我们还没有达到不可定义项的符号。
每个命题本质上都是有真假的：为了理解它，我们必须了解如果它为真时的事实必然是什么，以及如果它为假时的事实必然是什么。因此，命题有两极，对应它的真符合的事实及它的假符合的事实。我们称这为命题的意义。
根据记法，值得注意的是，不是每个符号的特征都起符号的作用。两个有相同T-F表的分子函项，用符号表现的必定是相同的。在“非非p”中，“非p”没有出现；因为“非非p”与“p”相同，因此，如果“非p”出现在“非非p”中，它也会出现在“p”中。
谓词或关系不可能是逻辑上不可定义的东西，因为命题由于意义而不可能具有谓词或关系。也不是如“非”和“或”判断那样，与谓词或关系不类似，因为它们不引入任何新的东西。
命题始终是复杂的，既使它们不包含名称。
当命题的不可定义项全部被理解时，命题必定能够被理解。“aRb”中的不可定义项通过以下方式引入：
“a”是不可定义项；
“b”是不可定义项；
无论“x”和“y”可能意谓什么，“xRy”表达了有关它们意谓的不可定义的东西。[参见4.024]
复杂符号绝不会被当作单一的不可定义项被引入。(因此，例如没有命题是不可定义的。)因为，如果它的一个部分也出现在其他联结中，它在那里必定被重新引入。那么它的意谓还会是一样的吗？
我们引入的不可定义的符号的方式必须允许我们可以仅仅从这些不可定义的成分构造出一切有意义的命题。很容易引入“所有的”和“有些”这样的量词，从前面引入的“所有的”和“xRy”，用以(表达)“(x,y)·xRy”可能的结构方式。
手稿三
为真理论做个类比：认真考虑一下白纸上的一块黑色斑块；那么我们可以通过指出该平面的每一个点来描述这个斑块的形式，无论是白色点还是黑色的点。与这个点是黑色相符合的事实是肯定事实，与这个点是白色的这个事实相符合的是否定事实。如果我指定这个平面上的一个点(弗雷格的“真值”中的一个)，这就像我发现了一个有待决定的假设。但是为了能够表达它是黑色的或它是白色的点，我必须首先知道什么时候一个点将被称为黑色，以及什么时候它将被称为白色。为了能够表达“p”为真(或为假)，我一定是先确定了在什么情况下我把一个命题称为真，因此，我确定了命题的这个意义。这个类比失败的一点在于：我能够标示这张纸上是白色点和黑色点，但是对于没有意义的命题，则没有什么事实与其相符合，因为它不指称事物(真值)，它的属性可能被称为“假的”或“真的”；命题的动词不是“是真的”或“是假的”，就像弗雷格认为的那样，但是为真的必定已经包含这个动词。[参见5.132]
语言和实在之间的关系好似视网膜图像与视觉图像之间的关系：对于盲点，在视觉图像中似乎没有什么东西与其相符，并且因此，盲点的界限决定视觉图像——因为原子命题的真正否定决定实在。
确实，逻辑推理能够根据弗雷格或罗素的演绎规则做出，但是这不能证明这个推理是合法的；因此，它们不是逻辑的原初命题。如果p得自q，它也能从q中推理得出，并且这个“演绎方式”不重要。
那些被称为有“变项出现”于其中的命题符号事实上根本不是命题，而仅是命题图式，它仅在我们以常项替换这些变项时才成为命题。没有命题通过“x=x”而被表达，因为“x”没有含义；但是像“(x)·x=x”以及诸如“苏格拉底=苏格拉底”等等这样的命题，却是有的。
逻辑书中不该出现变项，而只应该存在证明变项使用合理的一般性命题。接下来，所谓的逻辑定义不是定义，而仅是定义的图式，我们应以一般性命题代替它们；并且与所谓的逻辑初始观念并不是初始符号，而只是它们的图式。存在被称为事实或复合物及关系的错误观点很容易导致这样的认识，认为必定存在着一种关于事实的诸问题的关系，于是就产生了关系是否能够适用于任意数目的事物之间这样的问题，因为事实能够产生于任意情况下。事实上，表达q是从p和p⊃q而来的命题是这样：p·p⊃q·⊃p.q·q。
如果有必要，人们会将“非p”解释为“只要不是p的任何其他命题”。根据单一事实p得出无限多其他命题，像非非p等，简直不能让人接受。人拥有一种天生的能力，在不知道每个词的指称的情况下构造表达意义的符号。最好的例子是数学，直到不久前，在不知道它们指称的是什么或者它们什么都没有指称的情况下，人们还在使用符号表示数字。[参见5.43]
罗素的“复合物”要有这个被混合了的这种有用的属性，并且与它们可能被当作类似“简单对象”一样处理的使人惬意的属性相结合。但仅这一点使得它们像逻辑类型一样没用，因为断定一个复杂的简单对象要有意义。但是属性又不能成为逻辑类型。
每个关于可见复合物的陈述都能够被分解为有关这个构成的陈述和完全描述这个复合的陈述的逻辑和。在每一种情况下，这个决定是如何做出的是一个重要的问题，但是对于这个逻辑构造的回答不是无条件的。[参见2.0201]
“或”和“非”等等，不是“右”和“左”等等意义上的关系，对于普通人来说是很明显的。原来逻辑中不可定义的符号交叉定义的可能性自身表明，这些不是不可定义的符号，并且更为确切地说，它们不指代任何关系。[参见5.42]
如果我们把命题f(a)的结构a改为变项，那么就存在一个类：
通常来说，根据任意的约定，这个类仍然依赖于我们通过“φ (x)”意指的东西。但是，如果我们把其意谓被任意规定的所有符号变成变项，仍然存在这样的类。但这不依赖于任何的约定，而仅依赖于符号“φ (x)”的本质。它与逻辑类型相应。[参见3.315]
诸类型不能通过表明这个类型有这些属性，而那个类型有那些属性而把它们区分开(如我们经常做的那样)，因为在断定两种类型所有这些属性时这个预设有意指。但是从这一点中顶多可以得出，这些属性可以是类型，但不是它们断言的对象。[参见4.1241]
如果有必要，我们一直想要得到命题逻辑函项的说明，目的在于在函项中引入，或者只是这些命题的构成元素，或者只是它们的形式，等等；并且我们忽视了普通语言不会包含所有命题，如果它(日常语言)不需要它们(命题)：然而，如“非p”可以被解释，“被否定的是什么？”这个问题必定要有一个意谓。
根据弗雷格对“非p”和“如果p，那么q”的解释可推出：“非非p”与p指称相同的东西，很可能在“非非p”中有一些指派方法与相同的符号如“p”相一致。但是，如果这个指派方法满足逻辑的需要，它一定是正确的。
名称是点，命题是箭头——它们有意义。命题的意义通过真假两极而被确定。命题的形式就像一条直线，它把平面上的所有点分成右边的点和左边的点。这条直线是机械的，命题的形式仅凭约定。[参见3.144]
在逻辑上，我们很少关注名称和其意谓之间的关系，就像我们很少关注命题和实在的关系一样，而我们想要知道名称的意谓和命题的意义——因为我们通过说明：“‘A’指称某个不可定义的东西”引入了一个不可定义概念“A”。因此我们通过它来说明aRb这个命题形式：“对于‘x’和‘y’的所有意谓，xRy表达有关x和y不可定义的东西。”
我们以“falsep”代替每个命题p：使命题间的相互关联，或名称与命题之间的相互关联，都是由它们的两极“a”和“b”之间的相互关联引起的。让这个相互关联成为可传递的。那么因此，“falsep”就与“falseP”是相同的符号。假设命题n是给定的。那么我称这些命题的“极的类”为n个元素的所有可能的类，其中每一个元素都是n个命题中一个命题的极。那么每个极的类就与两个极(a和b)中的一个相互关联。因此，我就不能定义这个被构造作为象征的事实的意义，但是我却知道它。
如果p=非非p，等等，这表明传统的符号使用方法是错的，因为它允许诸多符号有着相同的意义；因此在分析这样的命题时，它会随之而来，我们不必接受罗素符号使用法的指引。
要记住，名称不是事物，而是类：“A”与“A”是相同的字母。对于每个符号语言来说，它有着重要意义。[参见3.203]
命题的意义和意谓都不是事物。这些语词是不完整的符号。
命题中出现在不同位置的相同参数去掉是不可能的。显然，以φ(a,b).a=b替换φ(a,a)是无效的。
因为p的ab-函项也是两极命题，我们能够构造它们的ab-函项，等等。以这种方式，一系列的命题就会产生于一般的象征性事实中，其中的多个元素是相同的。现在，如果我们发现这样一个通过重复应用它的类的ab-函项，每个ab-函项就会产生出来，那么我们就能引入全部的ab-函项，就如同那些通过这个函项的应用而产生的一样。如～p∨～q这样的函项。
很容易假设这个事实中的矛盾，一方面每个可能的复合命题是简单命题的简单的ab-函项，另一方面，一个ab-函项的重复应用足以产生这些命题的全部。如果举例来说，肯定产生于双重否定，否定在任何意义上都包含在肯定中吗？“p”否定“非p”还是断定“p”，抑或两者都是？以及如何用“∨”和“～”定义“∨”或者“～”和“⊃”定义“∨”呢？例如，如果不是通过这个表达式表明有关p和q的全部变量的说明，我们如何引入p|q(即～p⊃～q)？但是ab-函项必定通过下列方式被引入：函项p|q仅是构建ab-函项所有可能符号的一个机械手段。通过“|”这个符号的重复应用呈现出的符号“|”不包含符号“p|q”。根据我们能够构造的ab函项的全部符号，以能够谈论它们的类，我们需要一个规则；并且现在我们谈论它们，例如，那些函项的符号能够通过反复执行“|”的操作而得到。我们现在可以这么说：对于所有的p和所有的q，“p|q”表达了有关这些包含在p和q中的简单命题的意义的不可定义的东西。[参见5.44]
断言符在逻辑上完全没有意义。在弗雷格、怀特海和罗素那里，它不过是这些作者坚持认为这样的命题同样指向真。因此，“├”就像命题的编号一样，不属于该命题。命题不可能断言它自身的真。[参见4.442]
每个正确的判断理论必定使我判断这张桌子笔筒这本书成为不可能。罗素的理论不满足这个要求。[参见5.5422]
显然，我们理解一个命题，在不知道它是真或假的情况下。当我们知道如果它为真或假时，我们就知道命题的意谓。我们理解的是该命题的意义。[参见4.024]
逻辑对象存在的假设使得“p∨q”“p⊃q”等形式的科学命题凸显出来，这种形式中，只有在“∨”和“⊃”处于一般性记号的范围内(明显变项)时，才不是临时性的。
手稿四
如果我们构造所有可能的命题，如果我们声称每一个世界都是或真或假的，这个世界就会被彻底描述。[参见4.26]
我的理论的主要特征是，其中的p与非p有着相同的意谓。[参见4.0621]
错误的关系理论似乎使得事实和构成之间的关系与事实及由它产生的事实之间的关系是相同的关系。但是，二者的类似可以被这样表达：
φa.⊃φ,aa=a。
如果语词创造世界，以便其中的那些逻辑原则为真，那么因此它创造了一个全部数学都适用的世界；并且类似的，它如果不创造其构成元素的世界，就不会创造一个命题为真的世界。[参见5.123]
“p∨～p”这个形式的指号缺少意义，但是，命题“(p)·p∨～p”则不是。如果我知道这朵玫瑰或者是红色的或者不是红色的，那么，这就相当于我什么都不知道。全部的ab-函项也是如此。[参见4.461]
理解一个命题意味着知道它为真的事实是什么。因此我们能够理解一个命题即使不知道它是否为真。当我们理解它的构成元素和形式时，我们就理解了它。如果我们知道“a”和“b”的意谓，并且如果我们知道对于所有的“x”和所有的“y”来说，“xRy”意指什么，那么我们也就理解了“aRb”。[参见4.024]
当我知道或者是aRb这个事实，或者是非aRb这个事实与其相符时，我就理解了命题“aRb”；但是它不能与这种错误的观点混为一谈：当我知道“aRb或非aRb”是事实时，我就理解了“aRb”。
但是，命题的形式以下列方式用符号表示：我们认真考虑一下“xRy”这个形式的符号；与这两个主要对象相对应，一个有着名称“x”，另一个有着名称“y”。“x”和“y”处于各种不同的相互关系中，在其他关系中，R适用于有些关系，但不适用于所有其他关系。现在我通过构造来确定“xRy”的意义：关于“xRy”的事实，也就是“x”的意谓与“y”的意谓处于R关系中，那么我确定这个(事实)与命题“xRy”的意义一样；否则就与该命题有着相反的意义；我通过把它们分成意义相同的和意义相反的命题，来把事实与符号“xRy”相互关联起来。这个关联符号的名称与意谓的关联相应。二者都是心理学上的。因此，当我知道了根据它们在关系R中的位置区分出了x和y的表现作用，我就理解了“xRy”这个形式。以这种方式，我们从全部可能的关系中提取关系R，同样，根据名称，我从各种可能事物中提取它的意谓。
严格来讲，这样说是不对的：当我们知道“‘p’为真”≡p时，我们就理解了命题p。因为符号“≡”两侧的命题偶然地都为真或假时，它自然而然地始终是事实。我们需要的不仅是等值，也是与p形式的引入有密切关联的形式上的等值。
p的ab-函项的意义是p的意义的函项。[参见5.2341]
ab-函项为了产生新的差异，使用其变量展示出的事实的差异。
仅事实能够表达意义，名称的类不能。这是很容易说明的。
没有命题形式那种东西，并且没有那样的名称是形式的名称。因此，我们也不能说，在某种情况下，有时适用于事物间的关系也适用于形式和事物之间。这与罗素的判断理论相反。
我们很容易忘记，尽管形式的命题能够为真或为假，然而，这些命题中的任何一个都只能够为真或为假，不能同时既为真又为假。
在使“p或q”为真的事实中，有一些也使“p和q”为真；但是使“p或q”为真的类却不同于使“p和q”为真的类；并且这才是重要的。当我们引入了如其所是的ab-函项时，我们就引入了这个类。[参见5.1241]
在我引入的例子xRy这个形式的命题中，一个很自然的反对意见是根据诸如(∃x,y)xRy这样的命题以及与其相似的命题没有得到说明，但是很明显，cRd与aRb的共同具有的东西也存在于与aRb之间。但是当我们引入xRy这个形式的命题时，我们提到的不是这个形式的具体命题；并且我们仅需引入对所有的f来说(∃x,y)φ(x,y)，使得这些命题的意义在任何方式上都依赖于所有f(a,b)这个形式的命题的意义，并且因此我们的这个过程被证明是合法的。
逻辑的不可定义项必须彼此独立。如果一个不可定义项被引入，它必须在其能够出现的所有联结中被引入。我们不能因此先在一个联结中引入它，然而又在另一个联结中再引入它；例如，如果xRy这个形式已经被引入，它必须从此以后在命题形式aRb中得到理解，就如同在命题如 (φx, y) xRy和其他命题中一样。我们不必先在一类事实中引入它，然后在另一类事实中再引入它；因为如果它的意谓在两个事实中相同，那么它仍然是可疑的，并且在两种情况下使用联结符号这个问题没有根据。简言之，弗雷格所说的通过定义对符号的引入做出必要的修正，同样适用于不可定义项符号和符号联结的引入。[参见5.451]
原子命题的引入对于理解所有其他种类的命题是基础的，这是先验可能的。事实上，对一般性命题的理解显然依赖于对原子命题的理解。
交叉定义在一般命题的范围内导致的问题与ab-函项范围内的那些问题非常相似。
当我们说“A相信p”时，这听起来是真的，好像我们可以以专名替换“p”；但是，如果我们说“A相信‘p’为真”，我们可以理解这里涉及的是意义而不是意谓；为了使得p更为清晰，我们可以说“A相信‘p’为真以及‘非p’为假”。这里表达出了p的两极性，并且看起来我们仅能够根据ab-标示法正确表达命题“A相信p”；它是根据使a与a-p-b的两极“a”和“b”关联来表达的。涉及判断和信念本质的认识论问题，不能在没有对命题形式的正确理解情况下得到解决。
这个ab-标示法表明了“或”和“非”的依存性，并因此它们不能同时被当作不可定义项。
不是“‘复杂符号‘aRb’”表明a在关系R中与b相关；而是“a”与“b”存在着某种关系，比方说aRb。[参见3.1432]
哲学中没有推理：它纯粹是描述性的。
哲学给出的不是实在的图像。
哲学既不能证实也不能驳倒科学调查报告。
哲学由逻辑和形而上学构成：逻辑是它的基础。
认识论是心理学哲学。[参见4.1121]
对于哲学思维来说，语法的怀疑是首要的。
命题绝不会成为不可定义的符号，因为它们始终是复杂的。像“ambulo”这样的语词是复合的，它出现于这样的事实中：它们的词根与不同的词缀给出不同的意义。[参见4.032]
只有一般的不可定义的符号的学说允许我们理解函项的本质。忽视这一原则会导致不可接受的复杂。
哲学是科学命题的逻辑形式的学说(不仅是原初命题)。
“哲学”一词应该始终指派自然科学之上或之下的东西，而不是近似自然科学的东西。[参见4.111]
判断、命令和质疑处于同一层级，但是它们都有着吸引我们的相同的命题形式。
命题的结构必须被识别出来，其余的由其自身产生。但是普通语言掩盖了命题的结构，其中，关系看起来像是谓词，谓词像名称，等等。
事实不能被命名。
很容易假设，“个体”“某一事项”“复合物”等，是逻辑的初始符号。例如，罗素说“个体”和“模型”是“初始观念”。这个错误可能根据使用变项代替一般性记号这样的事实而被解释为：似乎是逻辑处理已剥掉除事物外罩外的全部属性，以及去掉除复合物外的全部属性的命题。我们忘记了一个事实：符号的不可定义项(古老的标志)仅出现在一般性记号之内，绝没有出现于其外。
就如同过去人们习惯于把所有的命题都理解为主谓形式一样，因此现在很自然地把每一个命题都当作表达关系，这样做是不对的。这个愿望中被证明合理的东西被罗素虚构的关系理论完全满足了。
在解决包括把“非p”当作“与p的对立面”的一个最为基本的企图，“对立面”是不可定义的关系。但是很容易看到，任何根据描述替换ab-函项的这类企图必定失败。
命题是名称这类错误的假设使我们相信，必定有逻辑对象：因为逻辑命题的意谓将必定成为这样的事物。
逻辑命题的正确解释必定给它们一个不同于其他命题的独特地位。
命题对其自身无所言说，因为命题符号不能被其自身包含，这必将成为逻辑类型理论的基础。[参见3.332]
每一个命题，如果它表达事物不可定义的东西，那就是主谓命题；每个表达有关两个事物不可定义东西的命题，表达这些事物间的双重关系，等等。因此，每个仅包含一个名称和一个不可定义形式的命题是主谓命题，依此类推。不可定义的简单符号只是名称，因此，我们能够根据原子命题的符号知道它是否是一个主谓命题。
