主要内容解析表
Ⅰ
1.如果命题的语法是明确的——无论是什么语言风格，那么它就可以被彻底地逻辑分析了。所有可能的和必要做的是把我们语言中必要的东西从不必要的东西中区分出来——这意味着现象学的语言结构。现象学是物理学把它的理论建筑于其上的那些事实的语法。
2.哲学的复杂性不在于它的问题，而在于我们混乱的理解。
3.如果逻辑学关注的是一种“理想语言”，而不是我们自己的语言，这得多奇怪!
4.如果我能够描述语法规则的要点，通过(比方说)颜色的某个属性表明它们被制定出来的必要性——那么，这也会使制定这些规则成为多余的，因为在我能够准确表达它的情况下，这个规则也排除我所表达的。
5.我们是否可以说：小孩必定要学习说某种特定的语言，然而却不必学习思维？
6.在某种意义上，语言的使用是某种不能教的东西。
7.语法规则不能通过被表达的东西来证明是否合理：任何这样的描述都已预设语法规则。
8.建立在听到或看到基础上的语言函项的协调式，例如：“如果你听到射击声或看到我挥手时，就跑了。”
9.迄今为止，哲学家们一直在说废话吗？
Ⅱ
10.把命题理解为制作模型的说明。作为表达式指导我的行动，它必定与所期望的行动有相同的多样性。并且它也必定解释了否定命题的本质。
11.当看到红色时，我如何知道我能够认出它来？我如何知道它就是我意指的那种颜色？
12.如果对颜色的想象与实际看到的颜色不一致，该如何做比较？
13.语言必定与信号机有相同的多样性，使得语言行为与它的命题相符。
14.只有应用才能把木棒变成杠杆。每个指令都能被解释为一个描述，每个描述都能被解释为一个指令。
15.把一个命题理解为命题系统中的一个，这意味着什么？它的复杂性只是根据使用它的目的而得到说明。
16.我如何知道那是我所期望的？我如何知道我现在称为“白色”的颜色与我昨天在这里看到的是一样的？是根据我的再次确认。
17.逻辑学关注命题是被盲目地思考，还是被有针对性地思考？逻辑学感兴趣于命题作为语言系统的一部分。
18.我认为，逻辑不能讨论非正常意义上的语句(命题)，如“这里写着一个语句”。
19.命题与实在相符。我们可以以两种不同方式研究、识别，像记忆一样：作为过去的概念和同一性概念的源泉，或者作为核查过去发生的事和同一性的方式。
Ⅲ
20.如果你把语言中的意向因素排除，那么它就会失去其全部功能。
21.图像观(意向的)和罗素的观点之间的主要不同是，前者把识别看作理解内在关系。言与行之间的因果关系是一种外在关系。
22.我认为罗素的理论可做如下表达：如果我给某人一个命令，并且我乐见他的行为，那么他就执行了我的命令。
23.如果在学习语言时，言与行联结起来，这些联结会断裂吗？如果会，那么我有什么方法来比较原来的约定和随后的行动？
24.在我把图像与实在做比较时，这个意向就已经得到了表达。
25.期待p成为一个事实与期待这个期望实现必定是一样的。
26.如果仅有外在联结，就根本不会有任何联结可以得到描述，因为我们只有借助内在联结才能描述外在联结。
27.问题的含义是回答它的方法。告诉我你如何探寻的，我就告诉你你探寻的是什么。
28.期待与探寻相联。我知道我正在寻找的东西，我寻找的东西并不一定存在。取代期望的事件是对期望的回答。这当然暗示着期望必定与被期望的东西在同一空间中。
29.期望不能通过引用被期望的东西给予外在的描述。根据被期望的东西描述期望提供的是一种内在的描述。
30.如果我说“这件事与我期望的一样”和“这件事与发生在那个时候的事一样”，那么“一样”这个词在这两个不同情况下有不同的含义。
31.语言和意向。如果你说“这是制动杆，但是它失灵了”，你在谈及的是意向。
32.我仅使用与事物相关联的期望、思想、希望等等这样的措辞。
33.你以何种方式寻找表达了你所期望的东西。期望为衡量该活动准备了一个标准。如果没有期望与实在之间的联结，你所期望的就会是一个荒谬的东西。
34.如果我说，这个表达必须论及我的世界，那么我就不能说“因为否则，我就无法证实它”，而应该说“因为否则，它从一开始对我来说就没有意义”。
35.关于期望，奇怪的是我们知道它是一种期望。并且这就是说，表明期望的东西是与实在的直接联结。我们必定能够在比较期望与现实时提供描述。
36.我曾称作“对象”的东西就是无论在何种情况下，我们都能谈论的东西。“我期待有三下敲门声。”如果我这么回答怎么样：“你如何知道存在三下敲门声？”
37.在当下，看不到周围有任何红色的人与不能看到红色的人是否有着相同的态度？如果其中一个人想象红色，那么这个红色就不是它看到的。
38.记忆和实在必须在一个空间。同样，想象与实在也在同一空间里。
IV
39.如果我仅能看到黑色的东西并且说它不是红色的，如果红色不只是刻度表上与黑色刻度不相同的另一个刻度——换言之，它可能是红色的，且有红色——我如何知道我不是在说废话？
40.如果存在着与标准的有效比较，“蓝色”这个词必定在从黑到蓝的这个方向上给出。但是，这些不同的方向如何在语法中找到表达式？
41.有着红/绿色色盲的人与普通人有着不同的辨色系统。“不能辨别红色和绿色的人真的能看到我们称为‘蓝色’和‘黄色’的东西吗”？
42.灰色必定被认为处于从深到浅的空间中。这个标准必定已经得到应用：我不能在内心的聆听和精神上的失聪之间做出选择。
43.对于任何问题，总会有一个发现的方法与之相符合。你不能把图像与实在相比较，除非你能够设置一个以图像衡量实在的标准。
44.“形式上被证明的命题”如何成为可能？标准的应用不预设任何被测量对象的特定长度。这就是一般来说我能够知道如何测量的原因。
45.但是，语词与长度可以被描述的对象处于同一空间吗？长度单位是该符号表示法的一部分，并且它包含特殊的空间元素。
46.一种语言使用一种坐标系统。没有坐标系统的书面符号缺少意义。
Ⅴ
47.当我们环顾周围时，移动于空间里时，感觉我们的身体，等等，这都没有给我们留下什么印象，因为没有什么东西与我们这个世界形成鲜明对照。世界表达其自身的证据在这样的事实中：语言能够指向并且仅能指向它(证据)。
48.生命之流或者世界之流奔腾不息，而我们的命题可以这么说，仅在瞬间被证实。那么，它们就是与当前有公约性的。
49.也许困难来自时间概念取自物理学上的时间以及把它应用于直接经验的过程中。我们不谈现在、过去和未来的观念。
50.“我看见的不是过去，而是过去的图像。”但是，我如何知道它是过去的图像？
51.电影胶片上，有当前的、过去的和将来的图像；但是，在屏幕上的却只是当前的图像。
52.如果我们用时间意指改变的可能性，就不能说“时间飞逝”。它也向我们展现出似乎记忆是我们最初拥有的完整清晰的东西的微弱图像。并且在针对物理对象的语言上，确实如此。
53.但它也可以不同方式提出；并且是重要的。例如“视觉错觉”这一短语，就给出了错误这个观念，即使没有错误的时候。有人可能会设想一种绝对公正的语言。
54.语言仅能表达那些我们也能作另外想象的事物。事物的流动只能在语言的应用中得到表达。并且如果有人说，仅当下的经验有现实性，那么“当下”这个语词在这里必定是多余的。
55.某些重要的命题描述了一个可能是相反的经验。如“我的视野几乎处于连绵不断的变化中”这样的命题。
56.如果我做这样一个命题——“尤利乌斯·恺撒越过阿尔卑斯山”，我仅是在描述我当下的精神状态吗？这个命题陈述了我所相信的。如果我想知道我相信的是什么，最好是问我相信它的原因。
Ⅵ
57.我们语言中的一个误导性表达方式是“我”这个词的使用，尤其是在它被用于表达直接经验时。在不使用人称代词的情况下，如果这样的经验被表达时会怎样？
58.这样说：如果我L.W.牙疼，就被表达为“牙疼”。其他情况如：“A在牙疼时，表现和L.W.的一样”。语言可以使任何人成为它的中心。在语言的应用中，我成为它的中心。这个特殊地位不能被表达出来。在我说话时被表达的东西在其他人那里不是同一个事物；或者我无法表达我的语言的优势——它们导致相同的结果。
59.相信你找不到通过某种方式证明的事物是不可能的。在我相信有人难过的情况下，我可以“相信”。但我不相信我在难过。
60.说两个人有着同一个身体有意义吗？
61.把他牙疼和我牙疼区分开的是什么？
62.“当我说他牙疼时，我的意思是说，他现在有我曾经有过的感觉。”但这是曾经属于我的牙疼和现在属于他的牙疼之间的关系吗？
63.在可能感觉到其他人嘴里的牙疼这一意义上而言，我可以谈论其他人的牙疼(感觉事实)。
64.我说“A牙疼”时，与我谈论电流流动时的流动概念一样，是在以相同的方式使用感觉疼痛的想象。这些假设：(1)其他人牙疼；(2)他们的表现与我一样，但却不是真的牙疼——或许有相同的意义。
65.我们的语言中使用这样的短语：“我的疼痛”“他的疼痛”以及“我有(或感觉)疼痛”。但是“我感觉到我的疼痛”和“我感觉他的疼痛”却是无意义的。
66.如果我有两个身体会怎么样？换言之，我的身体是由两个独立的生物体构成的。相信你可以(有两个身体)的哲学家，在某种意义上，通过思维拓展体验，应该记得你通过电话能够传递声音，但却不能传递身上的麻疹。
Ⅶ
67.假设我有很好的记忆力，能够记住所有的感觉印象。那么我就能够举例来说，通过可塑的视觉图像描述它们，只要我确实见到了它们以及用机械装置移动它们，就能完成对它们的描述。
68.如果我描绘一种语言，我描绘的东西属于物理现象。但是一种物理语言如何能够描绘现象？
69.现象(并非直接当下的)包含时间，但是不在时间中。相反，语言的进行却置于时间中。
70.我们需要一种能够以孤立的方式描绘视觉空间现象的方式。
71.视觉空间仅在物理空间的语言上才被称为主观的。重要的是视觉空间的陈述是对客体的陈述，并且不包含主观上的建议。
72.我如何能够保证我是通过我眼球的瞳孔看世界的？当然，它与我通过窗户看世界没有根本的不同。
73.在视觉空间中，没有一个东西属于我的眼球，也没有一个东西属于他人的眼球。仅空间自身是非对称的。
74.在视觉空间中，我身体的独特姿势来自其他人的感觉，并且不是来自纯粹视觉的东西。
75.孤立的“视觉”现象上的时间是我们普通物理学上的术语吗？我想象着我视觉空间中的变化是不连续的，并且在时间上是有节奏的。那么，我就能够描绘它们并且把这个描绘与实际发生的事相比较。这是记忆的欺骗？不，不能被揭露的欺骗不是欺骗。并且这里我记忆中的时间是我正在描绘的准确时间。
Ⅷ
76.红色和绿色在同一时间同一地点不相容。红色和绿色的混合色会是什么？不同程度的红色也是彼此不相容的。然而，我可以说：“甚至有比这两个较红的颜色更红的红蓝色”。根据真值函项以及一个命题逻辑得自另一个命题的影响，不发挥作用的基本命题中，可能存在逻辑推导作用的结构吗？换句话说，从给定的东西中，我可以构造没有给定的东西。在此种情况下，两个基本命题可能会彼此矛盾。
77.这与完整描述的思想相关联。
- r(红)和g(绿)完全占据了f(颜色)。这在我们的记号中不能显示。但是，如果我们不看记号而是看符号，它一定展现自身。因为，这包含了对象的形式，那么，在这个形式中，“f(r)·f(g)”的不可能性必定在这个形式中显示其自身。
79.这说明我可以把两个特定命题写下来，而得不出它们的逻辑结果？我们可以假设，“·”在这里有不同的意义。
80.蓝色和红色的混合色或中间色是凭借红蓝结构的内在关系得出的。而这个内在关系是基本的。也就是说，它不存在于命题“a是蓝色—红色”中表达“a是蓝色”和“a是红色”的逻辑结果。
81.这是就颜色而言，声音或电荷也一样。对某一点或同一时间的某一状态的完全描述始终是一个问题。我如何表达如颜色这样的事实是决定性描述？我是如何造成相同形式的第二个命题与第一个命题相互矛盾的？——两个基本命题不能够彼此矛盾。
82.真值函项有规则，其也适用于命题的基本部分。在这种情况下，这些命题更像是标准。一种衡量法是正确的事实自动地排除了其他的衡量法。我不是将命题作为标准与实在相比较，而是将命题系统作为标准与其进行比较。在否定描述的情形下也是一样：没有标准，我就不能给出零点。
83.关于描述的独立坐标概念。例如由“和”联结起来的命题不是彼此独立的，它们形成一个个图像并且可以检验其相容还是不相容。
84.这种情况下，任何一个陈述都存在于设定一定数量的尺度(标准)中，并且不可能在两个刻度上同时设定一个标准。
85.与真值函项能够应用于任何命题的事实相比较，所有的命题都包含时间似乎是偶然的。
86.句法规则阻止了诸如“a是绿色的且a又是红色的”这样的构造，但是对于“a是绿色的”来说，命题“a是红色的”则不是另一个命题，而是同一命题的另外一个形式。以这种方式，句法规则把同种规则的命题联结起来。
Ⅸ
87.一般性命题“我看到红色背景上有一个圆”，这是一个存在各种可能性的命题。这种一般性与对象的总和有什么关系？因此，在这个意义上，一般性进入了基本命题理论中。
88.如果我仅描述我视觉中的部分，那么我的描述必然包括整个视觉空间。(空间上的)色斑的形式(逻辑形式)事实上预设了整个空间。
89.我是否可以在有讨论余地的命题中留下某种意图，同时却没有准确提出被留下的有讨论余地的可能性是什么？“红色圆位于正方形中。”我是如何认识这一命题的？我曾把它当作无限的析取式吗？
90.一般性和否定。“有一个不在正方形中的红色圆。”我不能通过放置“不”于这个命题前来表达“这个圆不在正方形中”这个命题。它与这样的事实相关联：给一个圆确定一个名称是没有意义的。
91.“所有的圆都在正方形中”可能意味着“一定数量的圆在正方形中”或者是“没有圆在它的外面”。可是，后面的命题也是一般性的否定，而不是对一种否定的一般性。
92.词类由对语词有效的全部语法规则来决定，并且从这一点可以看出，我们的语言包含无数不同的词类。
93.主谓形式还不能完全地发展成逻辑形式。这类形式的命题：“盘子是圆的”“这个男人是高个子”“这个斑点是红色的”，毫无共同之处。概念和对象：那是主词和谓词。
94.你一旦开始了算术，那么你涉及的就不是函数和对象。对象的描述不可能表达对于对象的实际存在是本质性的。
95.如果我给三个视觉中相同大小的圆以名称——我总是根据位置给它们命名(直接或间接地)。以“这是……”这个形式命题为特征的仅是这样的事实：现实外在于所谓信号系统以某种方式进入符号。
96.在这种情况下，如果形式和颜色改变了，那么还有什么得到了保留？因为位置是形式的一部分。显然，“属性的持有者”这个短语传递了一个完全错误的——一个不可能的——想象。
97.大致说来，圆的等式是“圆”这个概念的记号。因此就好像是与在这个概念下的对象相一致的东西在这里是中心坐标。事实上，给予这个中心坐标的一对数字不是任何东西，而只是描述符号中构成圆的“不同性”的特征。
98.“这里”的说明不必预先判断这里有什么。F(x)必定是x的外在描述。——但是如果我现在说“这里是一个圆”以及在另外一个场合下说“这里是一个球”，两个“这里”是同一类吗？
Ⅹ
99.数字和概念。把数字归于不属于统一概念的对象有意义吗？但是，举例来说，我可以“通过a和b之间的连接”形成该概念。
100.数字是概念外延的图像。我会把概念的外延当作对象，对象的名称仅在命题的背景下才有意义。在符号表示法中做了实际的分类，反之，在意义的层面上谈论的只是分类的可能性。
101.我确实始终在记号1+1+1+1+1+1+1中识别3和4。
102.数字仅能够从式子形式中得到定义，独立于式子的真或假这个问题。把这4个苹果分为两两相加的可能性指向的是意义，而不是式子的真假性。
103.命题(A)在PM标记法中能够给出5+7=12的意义吗？但是，如果我不知道它是两个左边记号相加的结果，我如何获得右边的同类项中数的记号？
104.5条线和7条线正好是12条线，告诉我们的仅是领悟这个结构的内在关系——并不是逻辑上的考虑。
105.外延显示命题意义的特征。
106.除算术方案外，A包含的只是为了应用它所必需的东西。但是，根本没有什么东西是必需的。
107.概念的科学研究不能告诉我们3+2=5；同样，它也不能告诉我们A是重言式的概念审查。数必须成为我们用来表达它们的方法的性质。
108.算术是数的语法。
109.每一次数的算术运算都是其自身的应用，并且唯因如此它才有意义。这就是不必要谈逻辑运算的一般形式在这里的原因。——算术是几何学的更为一般的类。
110.我们惊讶于数仿佛能够如此正确运作在脱离它们的定义功能下；这与几何学的内在一致性相关。算术应用的一般形式似乎通过对它无所言说的事实而被表达。
111.算术的结构是独立的，就如几何结构一样，并且因此它们保证了其自身的应用性。
112.如果纸上的3个短杠是数字3的记号，那么你就可以说3被应用的方式与3个短杠被应用的方式相同。(参见第128页)
113.有关概念外延的数目的说明是一个命题，但是变项的范围的数目说明则不是，因为它可以从变项自身中得出。
114.我是否以知道有6个人在这个房间相同的方式知道3个元素的6种排列？不。因此后一个命题与前一个命题分属不同的类。
Ⅺ
115.数的陈述并不总是包含一般性或不确定的东西。例如，“我看到3个同样大小彼此距离相等的圆”。不明确的东西可能是，假设我知道3个东西有着属性E，但是我不知道是什么属性。在这里，说我不知道它们是哪个圆则是荒谬的。
116.没有“纯色”这样的概念。类似的还有排列这样的概念。如果我说AB允许有两种排列，这听起来似乎是我们做出了一般的陈述。但是“两个排列都是可能的”，不能表达比AB、BA更为一般的东西。它们不是概念的外延：它们就是概念。
117.有一个数学问题：“4元素有多少种排列？”这与“25×18是多少”一样。因为在这两种情况下，存在着一般的解决方案。
118.罗素理论中，只有实际的对应关系能够表明两个集的“相似性”。而不是对应关系的可能性，因为这恰好在于数值上的相等。
119.在3个圆和两个十字一一对应关系的不可能性是哪种不可能性？——说它有这样的数的外延是没有意义的，因为这个数是这个外延的内在属性。
120.拉姆塞把“=”这个记号解释为：x=x是重言式；x=y是矛盾式。那么，“”和“=”是什么关系？——你只可以把数学等式与有意义的命题相比较而不可与重言式相比较。
121.一个等式是一个句法规则。你可以把记号规则解释为命题，但是你不是必须把它做如此解释。“异质的”矛盾。
122.数学断言的一般性不同于已被证明命题的一般性。数学命题指向证明。一般性仅在——例如，它的变项的所有值——都被确定时才有意义。
Ⅻ
123.我以不同于一个无限的方式把握无限扩展。有关它的命题不能通过假定的无穷步骤得到证实，而只有一步证明。
124.“对我们人”来说，逐渐地把握全体数不仅是不可能的，它还根本没有意义。整体只能作为概念而被给出。
125.在逻辑概念(1,ξ,ξ+1)情形中，它的对象的存在已经与概念一起被给出了，概念自身表明它决定它们(对象)的存在。重要的只是运算的重复。1的三次相加结束并且其结果是数字3。
126.看起来，对数的一般性表达没有意义。
127.如果没有有限的乘积使命题为真，那就意味着没有乘积使它为真。并且因此它不是一个逻辑的结果。
128.在没有标示出作为它出现于其中的一个无穷系列中的有限部分的情况下，我能否知道一个数字是否满足该方程？
129.一个关于所有命题或所有函项的命题是不可能的。算术中的一般性通过归纳而被表明。
130.狄得金德对无穷概念说明的错误(圆)在于“所有的”这个概念在形式蕴涵上的应用。与我们意指真正相符的根本不是命题，而是φχ到ψχ的推论，如果这个推论是成立的——但是这个推论不是通过命题而被表达的。
131.欧几里得几何学中的一般性。奇怪的是对一个三角形应该适用的，每个其他的三角形也应适用。然而，证明的构思不是实验，不，该构思的描述必须足够。被证明的东西不能通过命题表达出来。
132.“这个世界终将走到尽头”没有任何意义，因为它与这样的事实共存：这个世界仍然存在于你关注的每一天。“π的值3.1415后面跟随着多少个9？”如果这个问题的意思是指向外延，那么它就不是使我们感兴趣的有意义的问题。(“我以不同于把握无止境的东西的方式把握无限扩展。”)
133.在应用简单的基本原则时的困难，动摇了我们在这些原则本身上的信心。
134.“如果我看到尺子从t1移向t2，那么我必定看到了这把尺在t中。”如果在这种情况下，我从一般命题中推论出一个特定的事实，那么这个一般命题就决不是得自经验，并且这个命题也不是真正的命题。
135.“我们仅能从描述中认识无限。”那么，就仅有描述并且没有其他东西。
136.标记无限的记法预设着无限的空间和无限的时间吗？那么，这个前提的可能性肯定在什么地方被预示了。可见的最小差别的问题。
137.如果我不能够明显地把这条线段进一步地一分为二，我甚至不能尝试着这样做，并且因此看不到这个尝试的失败。我们视觉域中的连续性在于我们看不到非连续性。
138.经验，作为事实的体验为我们提供了有限性；对象则包含着无限性。当然，不是作为前面提到的有限体验，而是在内涵上。(无限的可能性不是数量上的。)空间没有延伸，仅空间中的对象可以扩展，但是无限是空间的属性。
139.无限的可分性：我们可以想象任何有限部分，但却无法想象无限部分；而这正是构成无限的可分性的东西。视觉空间中的一块斑点可以被分成三个部分，这意味着描述这个斑点的命题有意义。相反，无限的可分性不意味着存在描述一条线段被分割成许多无穷部分的命题。因此，这个可能性不是通过记号的实际被提出的，而是根据这些记号自身中的不同种类的可能性。
140.时间包含所有将来在当下的可能性。人类活动的空间与时间一样是无限的。
141.数字系统的规则——比方说，十进制——包含有关数的无限的所有东西。——全部涉及现实性和可能性的句法规则。m = 2n包含任意数与其他数相对应的可能性，但却不是所有数与其他数的对应。
142.命题“三个事物可能存在于这个方向上”以及“无限多的事物可能存在于这个方向上”，表面上看，它们是在相同的方式上被构造出来的，但事实上，它们的结构是不同的。第二个结构的“无限多的”与第一个结构中的“三个”不起相同的作用。
143.空洞的无限时间仅是事实的可能性，并且该事实又是现实的。——如果有无限的实际，那么，无限中也就有了偶然性。并且因此，例如，无限的十进制数不是通过规则给出的。——无限存在于时间的本质中，它不是时间偶然的延伸。
144.无穷数列仅是数的有穷数列的无限可能性。这些记号本身包含这个可能性，并且不是它们复制的实际。数学甚至不能说出它们的可能性。如果数学试图表达它们的可能性，也就是说，当它把可能性与实在性混淆的时候，我们就应该把可能性去掉。
145.无穷小数并非通过规则而被给予。“一个人不停地掷骰子的结果数”，显然是无意义的。——一个无穷的树列。如果有一个规律支配着树的高度的变化，那么这个系列就被定义了，并且可以根据这个规律做出猜测。如果我现在假设有一个任意(无规则)的系列，那么根据它的本性，除我不能认识它这个事实外，没有任何东西从中可以被识别出来。
146.乘法的原理。在诸多集合中的有限集合的情况下，事实上我们能够做出选择。但是，在无限多分集的情况下，我仅能认识做出选择的规律。这里，无限仅在规则中。
147.使我们认为也许存在无限多事物的仅仅是我们混淆了物理的事物和认识的元素。“这个斑点位于a和b之间的某个地方”：命题的无限可能性没有在这个分析中得到表达。物质诸部分的无限假设的错觉与简单对象混淆了。我们能够想象的无限增加的东西是根据它们按照其无限可能性形成的组合，但绝不是这些事物本身。
XIII
148.在我们还不知道某一命题如何被证明时，我们仍然要问“它是否能够被证明”。你不能在逻辑上有一个探求你不知道的意义的计划。每个命题都通过它的意义教会我们，我们是如何确信它为真还是为假。
149.相关证明也就成了这样的证明，虽然不是证明这个命题，但它显示出一种方法的形式，用来检测这个命题。
150.我能够断言一般的(代数的)命题，或多或少地像断言等式：3×3=9或3×3=11一样。一般的解决方法是在其自身中理解等式的本质。既使在特殊的情况下，我领会的也仅是规则。“这个方程式的结果是a”意味着：如果根据某一规则转换这个方程式，我将得到a。但是，这些规则必须在“产生”这个词有意指，以及这个问题有意义之前就已经给定了。
151.我们只可以在数学中提出其回答是“我必定能解决它”的问题。“对于这个方程式，有多少种解决方案？”这个问题是在解决它的一般方法准备就绪的情况下提出的。并且一般来说，这是数学中的问题：是在一般方法准备就绪情况下的立足点。
152.在我看到“直尺和圆规”这个系统被植入一个更大的系统之后，我才能问一个角是否能够被三等分，在那个系统中这个问题才有意义。确定运算的规则系统，因此也确定它的计算符号的“意义”。如果我改变这个规则，那么我也就改变了这个形式，即意义。数学中，我不能在一般的意义上讨论系统，而仅在系统内部讨论。
153.数学证明是对数学命题的分析。这不足以说“p是可证明的”，我们必须说：根据具体的系统，它是可证明的。理解p意味着理解它的系统。
154.我可以问“这个方程的解决方案是什么？”，而不是“它有解决方案吗？”——对我们来说，找到适用我们所熟悉的形式的新型规则是不可能的。这个命题：“它是可能的——尽管不必要——应该容纳全部数”无意义。因为“必要的”和“全部”在数学中相互统属。
155.发现一个新的系统(例如，舍费的发现)。你不能说：我已经拥有了全部这些结果，现在，我所做的一切是找到导致这些结果的更好的方法。新的方式构成新的系统。
156.解开数学中的结。某种程度上，这个结的结构被清楚地理解了，我们才可以真正讨论解决方案上的尝试。
157.你不能写数学，只可做数学。——假设我偶然发现构造规则五角形的正确方法。如果我不理解这个构造，对我而言，它甚至还不是五角形的构造。我获得它的方式消失在我所理解的东西当中。
158.联结所在之处是以前不知道的，以前也没有间隙，不完全的东西现在已经被填满。——归纳法：如果我知道一条螺旋线的规律，那么，在许多类似的情况下我就会认识全部螺旋纹。尽管不是完全的相似——并且那是所有我能够表达的。
159.全体质数是否有一个有限的数目，这是个问题吗？一旦我能够把质数的一般形式写下来，举例来说“被一个较小的数除……的余数”——不再有“有多少”质数的问题。但由于在我们有精确的表达之前，我们可能有“质数”这个短语，人们错误地形成这个问题也是可能的。仅在我们的文字语言中存在数学上的“尚未解决的问题”。
160.一致性证明对于公理的应用不是必不可少的。因为这些是句法定题。
161.极地探险和数学考察。数学中如何能够存在推测？我能做出质数分配的假设吗？我把什么样的证明当作是有效的？我不能猜测这个证明。并且即使我得到证明也不证明被推测的东西。
162.舍费的发现。诸系统当然不在同一个空间，因此我可以假设：有3个和2个逻辑常项的系统，并且我现在试图以同样的方式减少常项的数量。数学命题仅是直接可以看到的整体证明的表面，并且这个表面却事先限制着证明体系。
XIV
163.结合律的证明？作为系统的基本规则，它不能够被证明。通常的错误在于它的应用之扩展和该证明真正包含的东西相混淆。人们能否通过[(1+1)+1]等形式的加法，证明始终会产生这种形式的数字？证明存在于规则中，也就是说，在定义中并且只在定义中。
164.递推证明仅是对任意特殊证明的一般指导：持续地沿着这个系列的一般形式。它的一般性不是我们所期望的，而是包含在这样的事实中：我们可以重复这个证明。我们根本不能在命题中表达我们从这个证明中得到的东西。
165.结合律的正确表达式不是命题，确切地说是它的“证明”，证明显然不对这个规律做断定。我知道某一具体的方程式是正确的，就如同我给了它一个完整的推导。这意味着它事实上被证明了。一条螺纹，与这个给定方程式的数字形式相结合，就足够了。
166.有人说归纳法就是那些容纳所有数的记号。但是归纳法不是除其自身之外任何东西的记号。——真正命题的一般性与算术中的一般性相比。真正命题的一般性是用不同的方法证明，因此它是不同类型的一般性。
167.归纳法不证明代数方程，但是，从归纳法应用于算术的观点来看，它证明建立代数方程的合理性。也就是说，仅是通过归纳获取它们的意义，而不是它们的真理性。归纳与代数命题相关，与证明和被证明的东西不同，但是与指派给记号的东西相同。
168.如果我们问“a+(b+c)=(a+b)+c，这个等式成立吗”，我们要寻找什么？——代数命题不表达一般性；这表明，不如说在与这个替换的形式关系中，这个替换是归纳系列的项。
169.人们能够证明任意形式如a×b=c的算术方程成立或不成立。这个可证性的证明会成为归纳的实例，从中可以看出这个梯子带来哪种命题种类。
XV
170.集合论表明，你根本无法根据算术符号表示法掌握实际的无限，因此，它仅被描述而不被阐明。因此，人们能够谈论逻辑结构，而在命题自身中不能再现逻辑结构。注意力完全集中于概念的方法在于其形式的消失。
171.任意函项的连续性证明必须与数字系统相关联。在计算函项时，不应该允许数的规模在一般性观察中消失。——连续性能被描述吗？形式不能被描述，它只能被表示。
172.“一条曲线上的最高点”不意味着“在该曲线上所有的点中最高的点”。同样，函项的最大值不是它的所有值中最大的。最高的点是我构造的，也就是说，从规律中得出的。
173.只有在被预设的无限可能性发生时，表达式“(n)……”才有意义。——布劳威尔。——狄得金德式分割的解释中，似乎被意指的东西是明确的：或者R中有最后的一节并且L有第一节，或者诸如此类。事实上，这些情况都是不可想象的。
174.集合论建立在虚构的符号标记法上，因此，也就是建立在无意义基础上。好像在逻辑学中有什么东西能够被认识，但那不是由我们来认识的。如果有人假设(就像布劳威尔所做的)存在着(x)·f1x=f2x，这个等式可能成立，也可能不成立，此外，还存在不可判定性的情况，这意味着“(x)……”是外延意义上的，并且我们可以谈论所有x碰巧有一个属性。
175.如果有人把“φχ=0方程的根”当作罗素主义的一种描述，那么关于方程x+2=6的根的命题必定不同于有人说等于4的意义。
176.纯粹的内在的一般性如何能够被单一情况(因此是根据外延上的东西)的出现驳倒呢？但是特定情形驳斥一般命题——它反对内在证据。x2=x·x和x2=2x这两个方程之间的差异不存在于它们的有效性外延中。
XVI
177.平面上的点通过数对来表达，并且三维空间中的点通过三数聚合来表达，这足以表明被表达的对象根本不是点，而是点的集合。
178.几何，作为命题的句法规则在空间中处理对象。无论在视觉空间中放置什么都先验地起着这种作用，换言之，根据它的逻辑结构，这里的几何学只是语法。物理学家们把物理空间中的对象设置成彼此在几何上关联起来的东西就是仪表读数，它们的内在本质都是不变的，无论我们生活在直线空间还是球体空间。
179.我可以根据规定的二分法不停地投掷硬币，无限接近无限区间的任意一点。根据硬币掉落的方向(硬币的正面或反面)，通过把或0或1置于无限的二元小数的方式中，我能否以类似的方式把有理数分成两类？系列的规则不能通过投掷硬币的规定而被描述；并且无限的不确定性不定义数。
180.是否可能在规则中抽象出规则并且把提供的扩展看作本质上的东西？如果我在没有有理数的地方分割，那么必定存在这个分割点的近似值。但是近似什么？在数的领域，暂时还没有我能够接近的东西。直线上的所有点实际上都能根据算术规则而被表达。在通过重复平分求近似值的情形下，我们就能凭借有理数达到每个点。
XVII
181.无理数作为一个整体的标准是什么？每个无理数都是贯穿有理数系列的近似值，并且从没有把这个系列抛开。如果我拥有除π以外的全部无理数，现在插入π，然而，我不能在需要π的地方引用一个点；在无理数整体的每个点上，都有一个与其相符的数。这清楚地表明，无理数不是无限小数的外延，它是一个规律。如果π是一个外延，我们就感觉不到缺少它——对我们来说检测缺口(缺少π时留下的)就是不可能的。
182.：排除规则。——必须首先有数的规则，然后，举例来说，在诸数的规则中表达一个根。但是，在数的系列中的这个表达式仅通过实数表达式的存在才有意义。如果有人随后改变它，那么他仅成功地扭曲了这个表达式，而不是获得了一个新的数。
183.如果是什么东西的话，那么它就是与一样，仅是它()的另一个表达式；在其他系统中的表达式。在它进入系统前，它还没有一个固定值。关于，你不会说出它是该数序值的极限，就像不会说出掷骰子的规定是其结果的极限。
184.我们可以应用这个规则像玩骰子一样投掷数字。把π'从其中区别出来的只在于我们知道必定有一个规则支配着π中数字7的出现，既使我们还不知道这个规则是什么。π'暗示到目前为止还不知道的规则。
185.仅一个规则接近一个值。
186.字母π代表着算术空间中有其位置的规则。反之，π'则不使用算术术语，并且因此不在这个空间中给这个规则指派位置。以3代替7确实没有给这个规则加入任何东西，并且在这个系统中，根本不是算术运算。
187.确定一个实数规则必定在其自身中是完全可理解的。就是说，它能够被去掉的部分，不一定在本质上是未确定的。如果两个规则的外延一致，就我们目前的进程来看，并且我不能对这两个规则本身进行比较，那么被定义的数就不能被比较。
188.π的扩展同时也是π的本质的表达式，并且也是十进制系统本质的表达。算术运算只使用十进制系统作为达到目的的手段。它们能够被翻译成任何其他数制的语言，并且其他数制语言中的任何一个都不会成为主题。——运算的一般规则，从引起数的改变的一般性中得到它的一般性。π'把十进制变成它的主题，并且由于这个原因，在我们能够使用该规则构造其扩展时，它就不再是充分的了。
- p贯穿全部数的系列的规则，除费马规则不起作用的数字外。这个规则定义一个实数吗？数字F想要使用螺旋……并且根据原则选择部分。但是这个原则不属于这个螺旋。那里有一个不可否认的原则，但它不直接指向数。这个数是该规则的一种不规则的副产品。
XVIII
190.在这个语境中，我们经常会遇到被称为“算术实验”的东西。质数会在我们寻找它们的方法中产生，作为实验的结果。我肯定会在规则中而不是在产生的数中认识一种规律。
191.数必须衡量其自身。如果不是这样而只是把它交给有理数做，那么我们就不需要它。真正的扩展是在与有理数比较的规则中产生。
192.实数能够与无限螺旋线的假设相比较，相反，如F，P或π'的结构仅与有限螺旋线的部分相比较。
193.为了比较有理数与，我必须求它们的平方。——那么，它们承担的形式为，现在是算术运算。在这个系统中写出来，它们就能够与相比较，并且对我来说，无理数的螺旋线似乎收缩为一个点。
194.当递归代替定义建立起来时，算术的经验仍然是可能的吗？不，因为递归的每个阶段在算术上都是可理解的。
195.不能够在产生差异的地方提供证明，证明a大于b可能吗？1.4——是2的平方根吗？不，它是1.96的平方根。这就是说，我能够直接把它作为的近似值写下。
196.如果这个实数是有理数a，那么与它的规则与a相比较必须表明这一点。这意味着，当该规则进入合适的位置时，也就与有理数相合了。举例来说，如果我们不能确信停下的位置是5，它就不会进入有理数。
197.如果，据我所知，它是到达一个有理数的那个点，我能以一个数称谓螺旋线吗？缺少与有理数比较的方法。无限扩展不是方法，即使它产生了一个比较的结果。
198.如果F如何与有理数比较这个问题没有意义，因为所有的扩展仍然没有给我们提供答案，那么在我们试图根据外延任意解决问题之前，这个问题还是没有意义的。
199.不仅说出给定的有理数是不是实数是必要的，我们必须能够说出有理数与实数有多远也是必要的。这个距离的量级。小数的扩展不为我们提供这个，因为我不知道，例如，在这个扩展中所达到的位置后有多少个9跟随。“e不是这个数”没有意义；我们必须说，“至少在这个区间，它们之间有这段距离”。
附录：来自1930年12月30日，F.魏斯曼的谈话笔记。
XIX
200.在我看来，对算术中否定的兴趣仅在于与某一确定的一般性的联结。——不可整除性和不等式。——我不这么写“～(5×5=30)”而是写作“5×5≠30”，因为我不否定什么，而是想在5×5和30之间建立起关系(并且因此有某些肯定的东西)。类似的，当我排除可整除性时，这与确定不可整除性是等同的。
201.数学中，有某些东西拒不服从排中律的应用——寻找质数分布规律。我们想要用肯定的标准代替质数的否定标准——但这个否定不是逻辑上的，而是属于非确定性。等式的否定像是命题的否定，也不像命题的否定，就如同等式的肯定像是命题的肯定，也不像命题的肯定一样。
202.逻辑背景下，否定基本上符合一个选言判断或者符合为支持其他逻辑系列而排除某一逻辑系列中的一部分——那么，这里它必定是一个与那些逻辑形式相同，并且因此是表面上的否定。
203.然而，通过不等式表达的在本质上不同于通过等式表达的。并且因此你就不能将在不等式中采纳的小数扩展规律与在等式中采纳的规律直接比较。这里，我们有完全不同的方法，并且因此有着不同的算术结构。
204.你能用质数定义无理数吗？除非你能够预测全部质数，否则不行。
XX
205.我们是否可以说一个斑点与比它大一点的比较而言更简单些？看起来不可能把一个颜色均匀的斑点看作是合成的。大一些的几何结构不是由小一点的几何结构组成的。“纯粹的几何图形”当然仅是逻辑上的可能性。
206.说“这一个均匀的红色平面是红色的”是否有意义，取决于是否有一个绝对的位置。在视野中建立位置的同一性是可能的，因为否则我们将不会识别出一个斑点是否始终处于相同的位置。在视觉空间中，有一个绝对的位置，绝对的方向，并且因此有绝对运动。如果不是这样，那么说相同的或不同的位置语境时就不会有意义。这表明我们的视觉领域的结构：因为它的结构是判断它的命题是否有意义的标准的东西。
207.我是否可以说“我视觉域中的上半部分是红色的”？——在颜色和位置之间没有“位于”关系。
208.在我看来，距离的概念是在视觉空间的结构中直接给出的。在视觉空间中测量。在长度上相等，在部分中不等。我能够确信我数的数真的是我看到的数吗？
209.但是，如果我不能说出在a和b中存在的同样数目的组成部分，在这种情况下，我如何能够描述视觉图像？“模模糊糊”和“不清楚”是相关表达。——如果我们真的看到a和b中有24个和25个部分，那么我们就不会把a和b看作是相等的。“相等的”这个词即使在视觉空间中也有意义，证实了上述情况的矛盾。
210.问题是，当我们把推论的方法从欧几里得几何学空间应用于视觉空间时，如何解释某些矛盾。它经常出现是因为我们仅能看到零碎的结构，而不是作为一个整体的结构：因为没有那样的视觉结构是由个体视觉碎片构成的。
211.在我们试图把测量的确切概念应用于直接经验时，我们在这个经验中遇到独特的模糊性。“大约”“大概”等这些语词，仅有相对的意义，它们仍然是我们需要的，并且它们描绘我们经验的本质。——沙堆问题——和欧几里得几何中与视觉中的圆符合的不是圆，而是一组图形。这里，不精确的确切界限看起来是不可能的。我们在沼泽的边缘用墙隔开，并且这堵墙不是沼泽的界线。
212.视觉空间和欧几里得空间之间相互关联。如果一个圆是我们看到的全部事物，那么我们必定能看到它并且不仅是与其相像的事物。如果我看不到确定的圆，那么在这个意义上，我也看不到与其类似的事物。
213.我们需要新的概念并且我们持续地求助于那些物理概念的语言。例如，“精确度”。如果说“我看不到一条清楚的线”是正确的，那么一条清楚的线就是可想象的。如果说“我从未看到一个精确的圆”有意义，那么这就意味着：一个精确的圆在视觉空间中就是可想象的。——“一样”这个词在非常不同的意义上使用。——对视野边缘附近的斑点。显然，缺少清晰度是视觉空间的内在属性。
214.视觉空间中有什么不同吗？你把物理上的百角形看作圆的事实不意味着看到百角形的可能性。谈论视觉中的百角形有意义吗？
215.我不能说，“也许我看到一个完美的圆，但是决不能了解它”吗？仅当它建立在这样的情况下：一个测量方法比另一个更为精确。说这个圆仅是近似于实体的理想圆等于什么都没说。但它也可能是我们称无限可能性自身为一个圆。作为一个无理数。现在，测量不精确与视觉图像不精确是同一个概念吗？当然不是。“看起来像”与“表面现象”引起歧义：在一种情况下，它是测量的结果，在另一种情况下是另外的表面现象。
216.“感觉事实”包含这样的观点：如果我们谈论“树的显现”，我们或者把某个就是树的东西看作树，或者把某个不是树的东西看作树。但是这个联结是存在的。
271.你能尝试着给出“视觉空间中的正确映象”吗？你不能把现象的模糊度转换成绘画中的不精确度。视觉空间不是欧几里得的，这已通过两种不同的线和点的出现表明了。
XXI
218.作为心理现象的单纯的简单颜色。我需要一个纯粹的现象学色彩理论，其中提到的仅是由实际可感知的并且不是假设的对象——波、细胞，以及所有出现的东西构成。我能够为颜色找到度量标准吗？例如，根据红色的全部含义，说一种颜色处于其他两种颜色中间有意义吗？
219.橙色在某种意义上是红色和黄色的混合色，其中黄色却不是红色与绿色的混合色，尽管黄色在色谱中处于红色与绿色之间。如果我想象着把我直接看到根本不可能发生的青绿色与黄绿色混合，那么其中的一个部分必定首先被“抵消”。
220.我必须知道“颜色A和B的混合”这个表达式一般来说意味的是什么。如果有人对我说，这块颜色处于紫色和红色之间，我理解了，并且能够想象出比这个给定的紫色更红的紫色。但是“这个颜色处于这个紫色和橙色之间”呢？介于其他颜色之间的混合色的(混合)方式，在这里无异于红色介于蓝色和黄色之间的方式。“红色和黄色产生橙色”不是指构成的量。说这个橙色和这个紫色包含相同的红的数量没有意味着任何东西。在色彩系列和天平上的两个砝码系统之间的比较是错误的。
221.这里的观点只是视觉空间几何与欧几里得几何的比较。它与我们的有理数表达的量的形式不一样。——如果表达式“处于……之间”，在一种情况下是指两个简单颜色的混合，并且在另一种情况下是指两个混合色的简单构成，那么在这两种情况下，它应用的多样性是不同的。你也可以沿着直线设置色谱。但是另一方面，你也要引入规则排除某些过渡，并且最后在这条直线上表现出来的必定是与八面体结构类似的拓扑结构。这完全类似于普通语言与“纯粹逻辑的”关系的表达模式。
222.我们不能说红色有橙色的色调，在相同的意义上说橙色有红色的色调。“x由y和z组成”和“x是y和z的共有元素”这两种表达方式在这里不能够互换。
223.当我们看到一种颜色的点和另一种颜色的点混合在一起时，我们似乎有了不同于颜色圈的颜色过渡。这并不是说，我们以这种方式经验地建立起了产生于其他颜色的某种颜色。因为无论这样的过渡是否可能(或可以想象)是颜色的内在属性。
224.把事物看得比它们实际上简单的危险。理解教堂音乐的模式意味着听到某些新东西；类似地，突然领悟10条短杠作为一个整体的特征，以前我一直理解为两个5条短杠。
XXII
225.命题、假设与实在相联且与实在的自由度不同。最为重要的是，这些记号最后仍指向直接的经验，并且不是指向媒介(事物自身)。如果以这样一种方式理解命题：它可以永远为真或为假，这就完全与实在分离，并且也不再是命题的函项。
226.假设是某个符合表达规则所拥有的符号。表达式的选择是建立在被称为归纳法(不是数学归纳法)基础之上的过程。
227.我们付出更高的代价而放弃假设。依据某个特定的假设来描述的简单性问题，这个问题与概率问题相关联。
228.对于一个假设，最为重要的是它产生了一个期望，即对它的确认从不会完成。它与实际有不同于证实关系的另外的形式关系。——相信事件形式的一致性。假设是形成命题的规则。
229.假设的可能性有它的衡量方法，即有多少有用的证据可以把它推翻。如果我说：我假设明天的太阳还会升起，因为相反的情况不太可能，我这里通过“可能的”和“不可能的”意味的事物完全不同于“我投掷硬币出现的可能性”。现在，这个期望必定有道理；也就是说，我必须能够把它与当下的事物比较。
230.根据对物质世界的假设来描述现象与现象学描述比较。那么，相对论不表达现象自身的逻辑多样性，而只是可观察的多样性。与这个多样性符合的不是一个证明，而是通过证明所遵循的一个规则。
231.假设和标准。没有任何经验可以反驳标准，即使它(经验)可能极不舒服地拥有它(标准)。随着人们适应程度的大小，该标准也具有或大或小的可能性。讨论这个可能性的程度是缺少意义的。
232.如果我说“它可能会出现”，这个命题既不是通过事件的出现证明的，也不是通过它的没出现证伪的。如果我们论证它是否是可能的，我们始终是仅从过去列举出证据。似乎相同的事态总是能够得到经验的证明，它的存在是先验的。但这是荒谬的，如果经验与估计相符合，那就意味着我的估计通过经验——而不是它的先验成分证明合理，但是它的后验基础：某种自然规律。在掷骰子的情形下，自然规律采用了这样的形式，它的6个面朝上有相同的可能性。我们验证的正是这个规律。
233.某种可能的事件必定与规则相悖，如果该事件无论以何种方式出现；并且如果这些事件真的出现了，它们必定根据不同的规则得到解释。那些有着平均分配的预测的预言中包含了我不确切知道的自然规律的假设。
234.每天投掷骰子，坚持一周的人投出的只是诸多的1——并且不是因为骰子中有缺陷。他会认为这里存在着的自然规则使他只投出这许多的1吗？当保险公司受概率指引时，它不是受概率计算指引，而是通过经常实际观察为指引。
235.“偏离的直线”只是一种描述形式。如果我说“那是规则”，那么，只有在我确定规则被打破前所能承受的例外的情况下才有意义。
236.你真的看到这个延伸，它给出一条直线的一般印象，并且不是你假设的假定的直线，说这话才有意义。掷骰子的实验只提供了以同样的方式期待事物的相同的理由。
237.任何“有根据”的期待都是对我们一直研究并且将持续研究下去的规则的期待。但是，该规则必定是被研究的，并且不能是仅仅被期待的，对它的部分也一样。可能性涉及到形式和期待的标准。
238.一道光束照到两条不同的线上。看起来，每一光束的延伸的中心都把它分成相同概率的可能性。这就与可能性产生了明显的矛盾。但是，某一事件的可能性的假设是通过频率实验证明的；并且，如果被证实了，那么表明自身属于物理学的假设。几何结构仅表明，部分的长度相同没有理由假设相同的可能性。我能够任意设定规则，举例来说，(整体中)部分的长度相同决定了概率的相同；但是任何其他规则也是允许的。其他实例也是一样。从经验中，我们判定这些可能性为相同的概率。但是逻辑没有给这个规则以优先权。
