附录一
写于1931年
复合与事实
(1931年6月)
语词“事实”和“行为”的使用。——“那是高尚的行为。”——可那从没发生过。
使用“行为”这个语词很自然，这样它就只与真命题相符合。这样我们就不谈论从未执行的行为。但是，“那是高尚的行为”这个命题必须还要有意义，即使在思考我称之为发生的行为时出错。以及它自身包含所有的问题，并且我只能在我要在一个整体断定事实存在的命题中使用语词“事实”“行为”(也许还有“事件”)。
最好限制这些语词的使用，因为它只会导致混乱，并且非常快乐地说：“这个行为从未被执行”，“这个事实没有得到”，“这个事件没有发生”。
复合与事实不一样。因为我，举例来说，可以表达从一个地方移向另一个地方的复合，但对事实不能这么说。可这个复合现在就是这里，这是一个事实。“这个建筑群要倒塌”等于说“这个被如此组合在一起的建筑要倒塌”。
我把花、房屋、星座称为复合：而且是花瓣，砖，恒星等的复合。
那个星座就坐落在这里，当然能够被命题描述，其中它的恒星被提及，并且这里既没有语词“星座”也没有它的名称出现。
可这里要表达的是复合与事实之间的关系。并且复合是存在于时空中的对象，由空间对象组成。(“空间”这个概念允许某种扩展。)
复合由它的部分构成，由构成它的某类事物组成。(这当然是涉及“复合”“部分”“构成”这些语词的语法命题。)
表达红色圈由红色和圆环构成，或是这些构成部分的复合，是这些语词的误用并且是误导。(弗雷格注意到了这一点，并且告诉了我。)
这就像说这个圆是红的(是我厌烦的)是复合的，由部分圆和红色(我自己和厌烦)构成一样误导。
房屋也不是砖和它们的空间关系的复合；即与语词的正确使用相悖。
鉴于此，你当然可以指着星座说：这个星座完全由我熟悉的对象组成；但是你不能“指向事实”这么说。
“描述事实”，或者“事实的描述”，对断定该事实所获得的陈述是一个误导性的表达，它听起来像“描述我看到的这个动物”。
当然，我们也可以说：“指出事实”，但是它始终意味着“指出……的事实”。然而，“指向(或指出)一朵花”不意味着指出这个茎上正开着花。因为我们根本不需要谈论这个正在开着的花和这个茎。
就像它不可能意味着：指出这朵花在那里的事实。
指出事实意味着断定某个东西，陈述某个东西。“指出一朵花”没有这个意思。
链条是由它的环组成的，而不是这些环和它们的空间关系组成。
这些链条被联系起来的事实，根本不是由任何东西“组成”的。
这是困惑的根源在于语词“对象”的混乱使用。
“部分比整体小”应用于事实和构成部分(部分)会产生荒谬的行为。
数学中无限的概念
(1931年底)
无限长
如果你谈到“无穷”这个概念，你一定记得这个词有许多不同的意义，并且记住在这一刻我们要谈论的是哪一种。举例来说，尤其是，是数序的无限性还是基数的无限性。例如，如果我说“无限的”是规则的特性，我要指称该语词的一个特定意义。但是，我们可以完美地说颜色的持续过渡是“通过无限多阶段”的过渡，如果我们在这里还没有忘记我们是在根据颜色转变的经验重新定义“无限多阶段”这个短语。(甚至类似于使用语词“无限的”其他方式。)
(如果我们说，这个领域的主题非常难，它在这个意义上就不是真的：假设我们正在讨论的事物非常复杂或者难以想象。而仅在这个意义上是真的：讨论成功越过我们面前的语言陷阱是极其困难的。)
“我曾经说没有延伸的无限。拉姆塞回答说：‘难道我们不能想象一个永远活着的人，只是从来不死，并且这不是延伸的无限吗？’”我确实可以想象不停旋转的轮子并且永远不停。“我能够想象……”，多么特殊的论点!我们思考一下我们当作这个轮子永远不停地旋转的事实的证明和证实的经验。并且把这个与告诉我们这个轮子旋转一天，一年，十年的经验对比，我们发现很容易看到“永远不停”和“直到一百年”这个断定在语法上的不同。我们考虑一下这类证据，我们可能为两个重的物体彼此围绕轨道旋转没有终点这个主张引证。或者思考一下惯性规则以及它是如何被证明的。
“假设我沿着直线进入欧几里得空间，并且每隔10米，我们会遇到一个铁球，以至无穷。”再有：我会把什么样的经验种类当作对它的证明，以及对一排有一万个球的证明？——第一种的证明也许是这样：我观察物体的摇摆运动。实验表明，这个物体根据某种规律被铁球吸引；假设有100个这样的球在系列中的某个特定的位置上，根据这个物体在实验中表明，假设这个引力规律，是被观察(或假设)行为的近似值；但是我们假设在这个系列中有越多的球，被观察的东西就越与计算结果接近。在这种情况下，说经验验证无穷系列的球的假设是有意义的。但是这个在数的表达的意义上与“无穷数”之间的不同与这个经验和看到的球的数量不同一样。
“纯粹对不停的否定描述不能产生肯定的无限”。短语“正无穷大”，我想到的当然是事物(这间屋子的椅子)的可数集合，并且想要表达当前这样庞大数目的事物不能从任何向我们表明它们不停止的东西中推论出来。并且在这里以我断定的形式，我犯了一个否定事实的奇怪错误，不是否定特定命题有意义，或者更为严格地说，显示两个相似的声音记号有不同的语法。
“我们能够想象无尽列的树？”这是个多么奇怪的问题!如果我们谈论“无尽列的树”，我们无疑还是要它意味的东西和我们“看到树列”“数树列”“测量树列”等等取得的经验连接起来。“我们能够想象无尽列树吗？”当然，一旦我们确定我们根据它要理解的东西；这就是一旦我们把这个概念与所有这些事物关联起来，与为我们定义数列这个概念的经验关联起来。
经验中，作为无限的数列的标准是什么？因为它会向我显示这个断定是可以理解的。或者，如果你没有给我提供标准，那么我应该如何对待“无穷树列”这个概念？这个概念到底与我通常称作树列的东西有什么关系？或者，在最后你只是意味极长的一列树？
“但是，我们确实熟悉经验，当我们沿着树列行走时，我们可以称这个列要到尽头了。那么，无尽树列是我们从没有过的经验。”——但是，这里的“从没有”意味着什么？我熟悉根据这个语词描述的经验“他在这个小时内从没有咳嗽过”，或者“在他的生活中从没有笑过”。我们不能谈论类似的经验，那里的“从没有”不指称时间区域。并且类似再次把我们带入尴尬境地，我必须试图从头开始，“从没有”这个词这种情况下如何被有意义地使用。——我们知道，这样的使用可以被发现，但它们的规则要在它们自身中被审查。例如，树列无限长(或者我们从不能到达它的尽头)这个命题，会成为与惯性定律一样的自然规律，当然假设在某种条件下，物体沿直线匀速运动；并且这里它确实可以被表达为在这些条件下，该运动永远不会停止。但是，如果我们问这样的命题的验证，主要被表达的事物是它是假的，如果该运动(树列)达到终点。这里不会有验证的讨论，并且这意味着，我们正在处理命题类的主要不同(或者那个语词在不同意义上的命题)。自然的，我不想说这只是“无限树列”或语词“从没有”(在所有永恒中)表达式的重要意义的使用。但是，每一个这样的使用必须在其自身的意义上被描述，并且有其自己的规律。我们在日常语言中找到现成的表达方式对我们来说没有帮助，因为这个语言使用其语词的每一个都有其很不相同的意义，并且理解该语词在语境中的使用并不能使我们从研究它在其他语境中的语法解放出来。因此，我们认为“想象无限长的生命仍然是可能的，因为人生活的时间无限长，他就从没有死”。但是，语词“从没有”的使用不是那么简单。
我们现在要在假设(参见惯性定律)的意义上讨论一下永生，并且生活其中的人连续在1和2之间，2和3之间，3和4之间如此等等以至无穷，任意选择小数，并且把它写下来。它给我们提供“从那些区间中选择”了吗？不……(参见146条。)
“但是，我们想象一下成为越来越擅长从区间中选择的人，他会花一小时做第一个选择，半个小时做第二个选择，15分钟做第三个选择，如此等等，直至无穷。在这种情况下，他会在两个小时后完成所有工作!”我们现在想象一下这个过程。这个选择可能包括，假设，他把这个小数写下来，并且因此移动他的手。这个移动会变得越来越快；然而，它变得快了，仍然有最后一个在特定时间内被处理的区间。对我们的反对理由的思考依赖1+1/2+1/4+…的和，但是它当然是系列和的界限，并且不是在如1+1/2+1/4这个意义上的和。如果我要说“他需要一个小时做第一个选择，半个小时做第二个，15分钟做第三个，如此等等以至无穷”，那么，只要我不问在时间t=2时选择的速度，这个评论还是有意义的。因为我们的计算没有给它(因为没有值c=无穷大，就我们所涉及到的问题来说，因为我们没有任何与它相关的经验)提供值。我的规律给我提供了在t=2之前的任意瞬间的速度，并且因此它在某种程度上是可应用以及有序的。因此，这个错误仅存在于语句“在那种情况下，他会在两个小时内完成所有工作”中。(我可以称其为错误，因为这个语句在那个语境中事实上缺少意义。)
我们现在考虑一下这个假设，在某种条件下，有人会掷出数字π(假设，在6进制系统中)。那么，这个假设，根据我可以做出任意投掷的点数显示，是一个规律。但是，如果我们把这个假设修改成在某种条件下，有人不会掷出数字π呢？它不该也有意义吗？但是我们如何能够知道这个假设是正确的？因为直到任何给定的时间，他可能已经投掷出与π一致的数字，同时它不会驳倒这个假设。但是，它确实只意味着我们不得不做不同种类的假设；没有做出规定的这种命题在它的语法中就证明其为假。并且对我来说称其为“命题”或“假设”或其他什么不同的我喜欢称呼的东西都是一样的。(π不是小数，而是根据小数被形成的规律。)
时间的无限不是连续的
如果我们问：“无限时间的构成是什么？”回答会是“没有一天是最后一天，第一天都由另一天紧随其后”。但是，我们再次根据虚假的类似看到的情景被误导。因为我们正在把日子的连续与事件的连续做比较，诸如钟表的敲击声。在这种情形下，我们有时在经历了第4次敲击声之后的第5次敲击声。鉴于此，谈论跟随第4次之后的第5次有意义吗？并且会有人说“看，我告诉过你：我说在第4次之后还会有另一次”？(你也许只是说，第4次之后是第5次是经验。)但是我们在这里不是讨论太阳在第4次之后会继续移动，像以前一样，那是真正的预测。不，在我们这种情况下，它不是预测的问题，没有事件被预测；我们要说的是这样的东西：根据任意一次的日出或日落，都可以有意义地谈论下一次。根据时间段选派其所意味的东西当然和正在发生的事联系在一起：钟表指针的运动，地球的运动，等等；但是，当我们说“每个小时都由另一个小时跟随”，根据特定指针(作为一个范例)的旋转定义一小时，我们仍不能使用这个断定来预测，这个指针会继续以相同的方式永恒下去。但是我要说：它“可以永远以相同的方式继续下去”；并且它仅是一个涉及我们决定时间的语法的断定。
我们比较一下这两个命题：“我正在做有关假设这种情形会持续两年的计划”以及“我正在做假设这种情形会持续永远的计划”。“我认为(或期望，或希望)它会经过无限的时间而保留下来”这个命题有意义吗？
我们可以说“我正在做以后三天或10年的安排等等”，并且也可以说“我正在为一个不确定的时期做安排”；但是，“为无限的时间做安排”也可以吗？如果我“为不确定的时期做准备”，确实可能提到时间，至少在我不再做准备时。这就是说，“我正在为不确定的时期做准备”这个命题不表明每个如“我正在为n年做准备”任意这样形式的命题。
想想这个命题：“我怀疑这种形式会继续这样没有尽头!”
或者，这个反例听起来好笑：“你说这个钟表机械永远运行良好，现在，它已经停了。”我们感觉到，每个太长的有限的预测也会被事实驳倒，并且在有些意义上，或其他的反驳与该主张不可比较。因为说“这个钟表机械不会在无限时间内运行，但是10年后(或，更滑稽点：“但是仅10年后就停了”)停了”没有意义。
如果有人说：“你必须非常勇敢地预测100年的事，这多奇怪；但是，你必须有多勇敢才能预测无限时间内的事，就如牛顿在他的惯性定律中做的!”这让人觉得惊奇。
“我认为它会继续，就像永远一样。”——“说你认为它会像10 000年一样继续下去，难道还不够(对所有的实践目的)吗？”——这就是说，我们必须问：对这个信念存在理由吗？它们是什么？假设它会持续1000年的理由是什么，假设它会持续10 000年的理由是什么？并且，现在，无限假设的理由是什么？!这就是使得语句“我怀疑它会无止境地持续下去”如此滑稽的东西；我们要问，你为什么怀疑它？因为我们要表达，说你的怀疑……缺少意义：因为讨论这样的怀疑的理由缺少意义。
我们考虑一下这个命题：“这颗彗星在方程……的抛物线中运行。”这个命题是如何被使用的？它不能够被验证；这就是说：我们没有为它的语法(当然它这不意味着我们不能说它是真的；因为“p为真”表达的与“p”一样)验证做出规定。这个命题可以把我们带入某个确定的观察。可对那些有限的预测始终起相同作用。它也决定某个确定的行为。例如，它可能阻止我们在这样的地方寻找彗星。但是，确定的主张就足够了。假设的无限性不包含它的大，而是在它的开放性中。
“最终，这个世界将走入它的尽头”：无限的假设。
最终——在无限的未来——某个事件(例如，世界的尽头)将会出现，这个命题与我们称为重言式的命题有类似之处。
无限的可能性
“这个方向上可以有三个对象”和“无限多对象可以存在于这个方向上”，这两个命题中的语词“可以”有着不同的使用。在什么意义上，就是说，这样讨论拥有的方式用的是什么语法？例如，我们可以说：“在自然数系列中1， 2， 3， 4，…无穷多数可以跟随着这个‘1’”；这就相当于说：“可以不停地应用运算+1(或无止境的)”。并且如果这样，例如，有人写数字100 + 1于数字100之后，规则给予他这样做的权力。另一方面，在这里这样说没有意义：“如果写下无限多的数是允许的，那么，就把无限多的数写下来(或者试着写下来)!”
类似的，如果我说除法产生无限多的小数，那么，就不存在被称为“无限多小数”的除法结果，在0.142是1:7的结果的意义上。除法不产生作为它的结果的一个小数，或者小数的数，而是我们不能谈及“它的最终结果”：它无止境地产生小数；不是“无限小数”。“无止境的”不是“无限的”。
我们想象一下下面的情况：我做了一种特殊的骰子，并且现在要预测“我要用这个骰子扔到π的各个数位”。这个主张不同于明显类似的“我要用这个骰子扔到π的第十个数位”。因为在第二种情况下，有一个命题“我要在一小时内扔出π的前十位数”，但是这个命题会是一个无意义(不是假的)的命题，如果我用“各个位数”代替“前十位数位”。在这个语句中“掷出任意数是可能的”，“可能的”等同于“逻辑上可能的”(“可想象的”)，那么它是一个规则，不是一个经验命题，并且是类似于“跟随1没有终点”的规则。但是，我们也可能把它解释为一种经验命题，一种假设：那么它可能是一种假设，没有验证支持它，仅仅是一个证明为假的，并且因此，它可能不同于经验命题的那类命题(不同意上的“命题”)：“用这个骰子掷三次是可能的”。这不同于“三次投掷是可以想象的”——可能意味着这样的东西：“这个骰子投掷三次后仍然可以用”。“用这个骰子投掷无限次数是可能的”这个假设可能意味着“无论你投掷多少次，这个骰子不会消失”。显然，这些命题是不同的种类，如果你认为无意义顺序“投掷它无限次数”或者“投掷到无穷”与有意义序列“投掷三次”相对。因为对指令来说，重要的是我们能够核查，无论它是否执行完成。
如果我们希望表达无限性是可能性的属性而不是实体的，或者“无限的”这个语词始终与“可能性”这个词以及相似性相伴，那么，就要说“无限的”这个语词始终是规则的一部分。
假设我们告诉某个人“我昨天买了一把无限曲率的尺子”。然而，这里的“无限”这个词确实出现在实体的描述上。但是，我永远不会有这样的经验，证明我说事实上有无限曲率半径的尺子，因为100100千米的半径确实也是如此。但是，在那种情况下，我不能有证明我在说这个尺子也是直的这种经验。并且语词“直的”(或者在另一语境中“平行”)和“无限的”处于相同的语境中。我的意思是：如果语词“直的”(“平行”“等长”等等)可以出现在实体描述中，那么因此“无限”这个语词也可以。
“所有是无限的都是可能性”意味着“‘无限的’资格，等等”。到目前为止，这就是它所做的，它是规则、规律的一部分。在描述经验中它就不再适用，当我们把“符合规律的经验”理解成无限的经验系列时。“所有无限的是可能性，不是实体”这个标语具有误导性。我们可以说：“在这种情况下，所有无限的是可能性。”并且我们无可非议地问：有关这个假设(例如，有关彗星的轨道)是无限的是什么？是否存在关于这个假设重要的东西，在这个思想中？
如果我们说“形成1除以3的小数位的可能性是无限的”，我们不对天然的事实采取行动，而是给出运算系统的规则。但是如果我说“我给你无限的自由发展在任何你喜欢的地方，我不会阻止你”，那么这不是阐明运算系统的规则，它是表达某些有关未来的东西。“是的，但始终是仅作为可能性的描述。”不，不是实体的描述!但，当然不是“无限多地方的描述”；这样说会坠入我们必须避开的语法陷阱。
它允许无止境的数的形成这个事实不会使无限的语法复杂。
为了解释无限的可能性，它必须足够指出导致我们假设这个无限可能性的记号的特征，或者更确切地说：从我们读出这个无限可能性的地方。在这个记号中给出的必须是充足的，并且该记号的可能性，即从这些记号的描述中能够再次出现，这不能进入讨论。并且所有的事物必定已经包含在记号“/1,x,x+1/”中——这个形成规则的表达式。引入无限的可能性中，我不必重新引入虚构的元素到语法中。如果我们描述1.∶3=0.3这个除法过程，也就是商为0.3，余数为1，与始终是相同结果相伴的无限可能性必定包含在这个描述中，因为我们当然不能被给予任何其他的东西，当我们看到“它必须总是以相同的方式继续下去”。
并且当我们“理解继续进行的无限可能性”时，我们仍然看不到当我们只描述我们看到的这个记号时没有被描述的东西。
