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• 哲学评论(维特根斯坦) - 方义译

哲学评论

Ⅰ

1.一个命题，如果在语法上是完全清楚的，那么在逻辑上就是被完全分析了的。无论它可能使用什么习惯用语写成或表达。

现在，在我心里没有现象学上的语言，或者如我过去称谓的“原初语言”作为我的目标。我不再认为这是必要的。所有可能的和必须的是把本质的东西和非本质的东西在我们的语言中区分开。

那就是说，如果我们这样描述服务于它们目标的语言的类别，那么在这样做时，我们就显示了对它们来说最为本质的东西，并且给予直接经验以直接表达。

每当我说代替如此表达，你也可以使用这另外的表达时，我们就朝着把握被表述物的本质的目标前进了一步。

如果语言要表达，对语言中什么是本质的，什么是非本质的的认识，认识我们语言中不发挥实际作用的部分，意味着现象学语言的构建。

物理学不同于现象学，它涉及确认规则。现象学仅创建可能性。因此，现象学会成为描述那些物理学构造其理论的事实。

解释多于描述；但是每个解释都包含描述。

每个尖角点都是纯粹颜色的八面体，例如提供颜色空间的描述，并且这是一个语法表达，不是心理上的表达。另一方面，比方说在如此情形下，你能看到(比方说)红色的影像便是心理学的显现。(这也许是事实，也许不是——其他的则是先验的；我们能根据经验建立起其中的一个，另外一个则不能。)

八面体的显示是对语法规则的一目了然的表现。

我们的语法主要缺少的就是一目了然。

马赫称为思想实验的当然根本不是实验。说到底，那是语法研究。

2.为什么哲学这么复杂？别忘了，它应该是非常简单的。哲学解开我们思维中的结，我们把这些结以荒唐的方式纠结在一起；要做到这一点，它必须做出与这些结同样复杂的活动。尽管哲学的结果是简单的，达到这一点的方法却不是简单的。

哲学的复杂性不是它的问题，而是我们杂乱不堪的理解。

3.如果逻辑涉及的是“理想的”语言而不是我们的普通语言，这多奇怪!这个理想语言要表达什么？可能是我们的普通语言中现在所要表达的东西；在这种情况下，这就是逻辑必须研究的语言。或者是别的什么：但是在那种情况下，我怎么会知道那是什么？逻辑分析是对我们拥有的东西的分析，不是对我们没有的东西的分析。因此，是对它们作为命题的分析。(如果人类一直在谈论，又没有把真正的命题联结起来，这就很奇怪。)

当小孩子学习“蓝色是一种颜色，红色是一种颜色，绿色、黄色都是颜色”时，他没有学到有关颜色的新东西，而只是学到在这样一些命题中的变项的意义：“那幅画中有着美丽的颜色”等等。第一个命题告诉他变项的值。

如“颜色”“声音”“数字”等词，可以出现在我们语法章节的标题中。它们不需要出现在章节中，那里给出它们的结构。

4.和声理论不是至少部分是现象学的并且也是语法的吗？

和声理论不是爱好问题。

如果我能描述语法规则的要点，通过假设它们由某种颜色的属性构成的必要性，那么这个规则就是多余的，因为在这种情况下，我能够准确地说出该规则排除了我正在表达的东西。相反，如果该规则是必要的，即如果语词的某种联结必须作为无意义的而被排除，那么正是由于这个原因，我不能够引证使得该规则为必要的颜色的属性，因为该颜色不应该具有这个属性，并且我仅能通过违反该规则来表达。

说一个颜色比另一个高三度音程没有意义是得不到证明的。我只能说：“如果有人与我在相同的意义上使用这些语词，那么他也不能够把这个联结与有意义联系起来。如果这对他有意义，他必定与我在这些语词上有不同的理解。”

5.语言表达的随意性：我们是否可以说，小孩理当学说某一特定语言，但是不必学习如何思维，即即使不学习任何语言，小孩也天生地能思维？

但在我看来，如果小孩思维，那么思维也是为其自身形成图像，并且在某种意义上这些图像是任意的，也就是说，其他图像也起到相同的作用。另一方面，语言当然也是自发地产生，即，很可能有第一个使用口语语词表达明确思想的人。再有，整个过程都是无关紧要的，因为一个学习语言的小孩只是通过在开始思考它时学习的，是突然开始的。我的意思是：在小孩已经使用语言中，没有预备阶段，可以说，他是为了交流，而不是为了思考它。

当然，普通人的思想过程包含了符号的混合物，严格意义上的语言也许只构成一小部分。

6.如果我指着某个东西向某人解释字母“A”的意思，并且说“这是A”，那么这个表达式可能以两种不同的方式意指。或者它自身已经是一个命题，其中的事实仅在“A”的意思被了解时才能被理解，即我必须提供一个选择，他是否与我有相同的理解。或者这个句子是一个定义。假设我对某人说“A病了”，但是他不知道我通过“A”意指的是谁，所以我指着这个人，说“这是A”。这里，这个表达式是一个定义，但是，只有通过他对该命题“A病了”语法的理解，在获知它是什么对象类型时才能被理解。可是这意味着，语言的任何说明都预设了语言的存在。并且在一定意义上，语言的使用是某种不能被传授的东西。即我不能通过语言传授，某人不能通过语言学会演奏钢琴。当然，另一种表述方式是：我不能在语言之外使用语言。

7.语法是一种“逻辑类型的理论”。

如果能够在命题中被证明合理，我就不能称表达习惯为规则：命题描述被表达的东西以及显示该表达是充分的。语法习惯不能由描述被表达的东西而证明合理。任何这样的描述已经预设了语法规则。就是说，如果任何事被当作语法上将要被证明合理的东西都没有意义，那么，它就不能同时在证明它合理的命题语法上被误认为是意义(等等)。

你不能在超出明确显示的可能性之外使用语言。

解释这些事物的可能性始终依赖其他人也在与我以相同的方式使用语言。如果他说出的某个字符串对他有意义，并且对我没有意义，我只能假设在这个语境中，他在不同于我给予它们的意义上使用的语词，或者是在不假思索地谈论。

8.“那不是喧闹声，是颜色”，会有人认为这么说话有意义吗？

另一方面，你当然可以说“不是喧闹声而是颜色使我感到紧张”，并且这里看起来像是把颜色和喧闹声作为变项的值。(“声音和颜色可以被当作交流的工具”。)显然，这个命题与“如果你听到枪声或看到我挥手就跑”是相同的种类。因为这是建立在听到或看到语言函项基础上的一种约定。

9.当被问及哲学家迄今为止一直在说无意义的话时，你可能回答：不，他们仅是没有注意到他们在非常不同的意义上使用语词。在这个意义上，如果我们说一事物与其他事物是同一的是无意义的，这需要条件限制，因为，如果有人非常确信地说，那么那时他通过语词“同一的”(也许是“大的”)意指某种东西，但是他没有意识到，他在这里使用的这个词与在2+2=4中有着完全不同的意义。

Ⅱ

10.如果你把命题当作制作模型的说明，它们的示范性会变得更清晰。

因为，为了使一个表达可能成为我的手的向导，它必须与期望的动作有着相同的多样性。

并且这也正好解释了否定命题的本质。因此，例如，有人可能在准备模型时，通过摒弃红色表明他对命题“这本书不是红色的”理解。

它和其他与其类似的命题也表明，在什么方式上，这个否定命题有着否定命题的多样性，并且不是那些或许能够取代它为肯定的命题的多样性。

11.说“固然，我看不到任何红色，但是如果你把颜料盒给我，我就能够为你指出它来”的意思是什么？你如何能够知道如果……你能够把它指出来；并且，当你看到它时，你就能认出它来？

这可能意味着两类不同的事物：如果给我看的话，它可能表达我对它的预料，在相同的意义上，我能预料如果我被击中了头部，我会头痛；那么，可以说，它是属于物理上的预料，这与物理事件的出现相关的任何其他预料有着相同的背景。抑或，它与物理事件的预料无关，并且因此也不是我的命题遭到了窜改，如果这样的事件没能出现。相反，似乎是这个命题正在假设我有一个实例，我会随时把这个颜色与其相比较。(并且这里的“会”是一种逻辑的可能性。)

按照第一种解释：观察某一颜色时，如果事实上我确实给出了识别的记号，我又如何知道它是我意指的颜色呢？我们的语法命题与物理命题始终是相同的形式，并且与直接处理的“原初”命题不是相同的。

12.当你听到或读到一个语词时，你“想象”语词的意义这个观念，是有关语词意指的简单概念。并且事实上，这样的想象提出了与语词意思相同的问题。因为，举例来说，如果你想象蓝色天空以及把这个想象应用于作为识别或寻找颜色的基础，那么我们仍然不得不表明该颜色的想象与实际被看到的颜色不一样；并且在这种情况下，人们又如何能够把二者进行比较？

然而，这个形成想象的简单理论不能是完全错误的。

人们说“语词只在命题的语境中才有意义”，那么这就意味着，它仅在命题中才起到语词的作用，我认为不能这么理解，就好比不能说一把扶手椅在房间中才能完成其功能一样。或许更确切地说：齿轮仅在与其他齿轮咬合在一起的时候才起齿轮的作用。

13.语言必定与信号机有相同的多样性，该信号机引发与命题相符合的行动。

须注意的是，理解语言的问题与意志的问题相关联。

执行命令之前理解命令，这与执行计划之前有行动意愿相类似。

就如同控制室中的操作柄被应用于诸多不同的事物一样，因此语言中的语词相当于操作柄。一个是弯曲的操作柄，它能够不断地得到调整；一个是电闸，并且只能扳下或扳上；第三个是可以调三挡和三挡以上的电闸；第四个是泵的操作柄，并且仅在它被上下移动时才工作；等等。但是所有的操作柄都是通过手来操作的。

14.语词仅在命题的语境中才有意义：就像说，木棍仅是使用中才是杠杆。只是使用才使它变成杠杆。

每个说明都能被解释为一个描述，每个描述都是可被解释为一个说明。

15.把命题理解为命题系统中的一个环节是什么意思？(就好像我说：语词的使用不是在瞬间发生的，就像使用杠杆一样。)

想象一下变速箱，它的变速杆能够处于四个挡位。当然现在它能够连续地处于这些挡位，并且这需要时间；假设变速杆仅能处于其中的一个挡位，因为否则变速箱会被损坏。变速箱难道不是仍然有四个挡位？难道不可能调四挡？

任何见到它的人都会看到它的复杂性，并且它的复杂性仅通过该使用的意图而事实上没能通过检验而得到解释。类似地，在语言的情形下，我想说的是：所有提到的显示，它们发现自身的用途，它们才有意义。

你可能会说：命题的意义就是它的目的。(或者，对语词来说“它的意义是它的意图”。)

但是，语词应用的自然史不能被逻辑学关注。

16.如果我期待一个事件，并且按照我的期望该事件发生了，问该事件是否真的是我期望的有意义吗？也就是说，被断定命题如何会被证明？显然，把我期望的表达与已经发生的事件相比较是我在这里的知晓来源。

我如何知道我称为“白色的”纸的颜色与我昨天在这里看到的一样？通过再次识别它；并且再次识别它是我在这里唯一的知晓的来源。在这种情况下，“是一样的”意味着我再次识别它。

那么当然你也不能问它是否确实是相同的颜色，以及是否我可能会出错。(是否是相同的颜色而不只是看起来像是相同的颜色。)

当然，说该颜色(与我昨天看到的)是相同的也是可能的，因为化学分析没有揭示任何变化。

因此，如果对我来说看起来不一样，那么就是我错了。但是尽管如此，必定仍然有些东西是被直接识别出来的。

并且我能够直接识别出来的这个“颜色”以及我通过化学分析建立起来的颜色是两种不同的东西。

一个来源只能产生一个东西。

17.我们在说话时，有时是半自发的，有时是完全自发的，这是对我的观点的反驳吗？如果有人问我“这个房间的窗帘是绿色的吗”，并且我看了看说“不，是红色”，我当然没有对绿色产生幻觉并且把它与窗帘比较。不，只是看一眼窗帘就能够自动地产生答案，可是这个回答却是逻辑学感兴趣的，相反，假设在看到红色时我无意识吹的一声口哨却不是逻辑学感兴趣的。逻辑学是不是只对这个作为语言系统一部分的回答而感兴趣呢？这个系统写在我们的课本上。我们是否可以说逻辑学关注语言的整体？并且因此，是与语法一样的方式。你会不会说，如果仅仅是无意识的说话，逻辑学就与它无关？逻辑学自身，是否应该关心该命题有无真的被彻底思考了？

并且那个标准是什么？当然不是与表达相伴的生动的想象游戏，显而易见的是，我们已经进入了与我们的问题毫不相干，并且是我们应该最大限度地退出的区域。

18.这里，我们遇到的显然是微不足道的问题，逻辑学通过语词——墨迹，一系列的声音理解的是什么，人们是否有必要把它与意义联系起来，或者应该联系而没有联系起来，等等。这里，最原始的概念显然必定是唯一正确的。

并且，因此我会再一次讨论“书”，这里我们有了语词，如果某种笔画碰巧看起来像是一个语词，我说：那不是一个语词，它仅看起来像，这显然是无意义的。这只能是站在一般意义的立场上处理。(在其自身中设有一个理解的转折是非常奇特的。)

我认为逻辑学不能在超出普通意义上讨论语句，如我们说，“这里写着一个句子”或“不，它只是看起来像个句子，但它不是句子”等。

“什么是语词？”这个问题与“什么是棋子？”这个问题完全类似。

19.难道一致与不一致不是原始的吗，就像认识是原始的而同一是次要的一样？如果我们看到一个被证明的命题，为了辨别它是否确实为真，我们还可以向哪一个更高级的地方申诉？

命题与实在的一致只是类似于图像与它描绘的东西的一致，相同程度上，也是记忆的图像与当前对象的一致。

但是，我们能够研究认识，像研究记忆一样，但确是以两种不同的方式：作为过去的和同一性概念的源泉，或者作为核查过去发生的事以及核查同一性的方式上。

如果我能看到彼此相邻的两个色块，并且说它们有着相同的颜色，和我说这个色块与我早先看过的色块颜色相同，同一性判断意味着两种情况下不同的事物，因为它们有着不同的验证方式。

认识到它们曾是相同的颜色是某种不同于认识到它们现在是相同颜色的东西。

Ⅲ

20.你能够从描述中得出一个计划。你能够把描述翻译成计划。

这里的翻译规则本质上同于从一种口头语言翻译成另一种口头语言的规则。

当然，对语言发挥功能的错误构想将摧毁整体的逻辑学以及所有与之相关的东西，并且不仅仅是带来某些局部的干扰。

如果你从语言中排除了意向的因素，它的全部功能就将崩溃。

21.意向中本质的东西是图像：被意向的东西是图像。

看起来，引入意向时，我们是在将不可控制的，或者说是形而上学的因素引入我们的观察中。但是，在图像概念与罗素、奥格登和理查德的概念之间的本质差异是：前者把再识别看作是内在的关系，后者把再认识视为外在关系。

这就是说，对我而言，在思想为真的事实中仅涉及两个事物，即思想和事实；相反，对罗素而言，有三个，即思想、事实和第三事件，如果该事件发生了，也仅仅是再识别。这第三事件，就像一种饥饿感的满足(其他两个是饥饿和食用特定种类的食物)，比方说，是快乐的感觉。我们在这里如何描述这个第三事件完全无关紧要；它与该理论的本质无关。

语言和行为之间的因果关系是外在关系，相反，我们需要一种内在关系。

22.我认为罗素的理论总的来说可以做如下表述：如果我给某人一个指令，他这么做后使我快乐，那么他执行了我的指令。(如果我想吃个苹果，并且有人在我的胃上打了一下，把我的胃口打没了，那么正是打的这一下是我最初想要的。)

这里，给正在发生的事一个解释的困难在于，如果有人给语言运作的方式一个错误的假设，并且试图给出某种解释：即语言被设想以这种方式发挥作用，那么，结果不是错误，而是无意义。

因此，我不会根据罗素的理论，由发生的事使我感到快乐而假设该命令得到执行来表达事物，因为，我还要再认识快乐，并且这需要我无法预先描述的应该发生的其他事物。

23.假设现在你要说：图像确实出现了，但它们不是有规律的东西；可这多奇怪，它们居然出现了，并且在真与假之间出现了两个矛盾的标准。它又该如何裁决以对谁有利？

当然，在这种情况下，在命令和撤消命令之间就不会有差别，因为它们都以相同的方式被执行。

如果在初次学习语言的时候，就把语言与行动联结起来——即把操纵杆和机器联系起来一样——那么问题就产生了，这些联结有可能断裂吗？如果它们不能断裂，那么我必须把任何行动作为正确的接受；另一方面，如果它们能够断裂，我有什么标准确认它们已经断裂了？我有什么方法来把最初的约定和随后的行动做出比较？

罗素理论中忽视的就是这样的比较。并且比较不存在于该描述与它描述的东西之间的对比上，通过这个比较，如我说过的，经验现象自身不能被预先描述。

(经验决定的是命题为真或为假，而不是它的意义。)

24.图像的意思是什么？意向从来就不存在于图像自身中，因为无论该图像如何形成，它始终能够以不同方式意指。但是，这不意味着图像被意指的方式仅出现在当它引入某种行为时，因为意向已经通过把图像与实在相比较的方式得到了表达。

哲学上，我们始终处于符号标示法虚构的事实或者是心理学神话的危险中，而不是仅仅说出每个人都知道以及必须承认的东西。

如果有人玩国际象棋，当他被将死时说“看，我赢了，因为这就是我的目标”，那会怎么样？我们会说这样的人不仅仅不是在玩象棋，而是另有所好；相反，罗素一定会说，如果任何人这样玩象棋并对结果感到满意，那么他就赢得了棋。

我期望这个木杆有2米高和它现在1.99米高有相同的意义。

25.期望的实现不以发生的第三件事为主要部分，你也可以用其他方式描述而不仅仅是“期望的实现”，例如，满足感或快乐感或者其他什么。因为期待P成为事实必定与期待这个期望被实现一样；相反，如果我错了，期待P将不同于期待这个期望得到实现。

是不是这样：我的理论在这样的事实中得到彻底的表达，事态满足P的期望通过命题P被表达出来？并且因此，不是通过完全不同事件的描述。

26.我想说，如果仅有外在联结就根本不会有联结能够被描述，因为我们只是根据内在联结描述外在联结。如果缺少这个，我们就失去了我们所需要的描述一切的基础——就像除非我们双脚站稳，我们不能移动任何东西一样。

因果关系依赖观察的一致性。这不意味着我们观察到的一致性将持续下去，但是这个事实必须被建立起来：事件发展到现在一直存在着一致性；它不能依次成为不是作为论据的事实而是其自身经验系列的不可靠的结果，而是依赖另一个相同的不可靠的系列，等等。

如果我希望P是事实，但P不是事实，在希望的状态下P必定有一个替代物，就如同在希望的表达中。

在回答这个问题“p指导你做什么？”时，我只能说，即给出它另一个记号。

但是，我们不能通过展示给某人看如何做某件事来指导他吗？当然可以，进而你必须告诉他“现在，照这个做”。也许你以前就有这样的例子，但是现在你必须向他说明现在发生的以前也发生过。这始终意味着：迟早会有一个从记号到被标记的东西的飞跃。

27.问题的含义在于回答它的方法：那么“根据语词‘白色’，对两个人来说真的会有相同的意思吗？”这个问题的意思是什么？

告诉我你是怎么寻找的，我就会告诉你，你在寻找什么。

如果我理解一个命题，但是不去完成它，那么理解它仅存在于代替执行它的过程中，并且因此是在不同于它的执行过程中。

我想要说，假设成为图像的替代过程没有把我带到任何地方，因为它甚至没有处理从图像到被描绘的东西的转换。

如果你要问：“我期待未来本身，抑或仅仅是某种类似未来的东西呢？”那是无意义的。或者你说，“我们永远不能保证那是我们真正期待的东西”，同样也是无意义的

信号的约定始终包含一般性的东西，否则该约定就是不必要的。这是一种在具体的事实中才能被理解的约定。

如果我对某人说，明天会是好天气，那么他当时给出他的理解却不是试图现在证明这个命题。

28.期待与寻找相关联：寻找某物以我知道我在寻找什么为前提，而不是我寻找的东西必定存在。

以前我会这样表达：寻找以复合物的构成元素为前提，而不是以我曾经寻找的这个结合体为前提。

这是很好的比喻：因为在语言的情形下，会通过命题的意义仅以某个语词在语法上的正确使用为前提而得到表达。

我如何知道我已经找到了我正在寻找的东西？(我期望的东西出现了，等等。)

我不能使先前的期望同面对发生的事相联系。

替代期望的事件是对它的回答。

但是，如此必然地要有一些事件取代它的位置，并且这当然预示着期望与被期待的东西处于相同的空间。

在这个语境中，我讨论的仅是必然实现或落空的事物：因此没有期望处于虚空中。

29.取代期望的事件对期望做出了回答：也就是说取代构成回答，因此，是否它真的是确定回答这样的问题不会产生。这样的问题意味着把命题的意义带入讨论中。

“我希望看到红色斑点”，我们假设，它描述了我当下的精神状态。“我看到红色斑点”描述了我期待的东西：这是与前者完全不同的事件。你会不会问，“红色”这个语词在这两种情形下有着不同的意义？是不是第一个命题看起来使用外在的及无关紧要的事件描述我的精神状态？也许是这样：现在我发现自己处于期望状态，假设由我看到红色斑块这一事件得到满足来描述其特征。这就像我要表达“我饿了，并且从经验得知，吃某种具体的食物将会满足我的饥饿感”。但是，期望则与它不同!期望不是通过引用被期望的东西而给予的外在的描述，像饥饿时引用食物满足它的东西那样——最后诉诸于恰当的食物仍只是想象的问题。根据被期待的东西描述期望是提供一种内在描述。

“红色”这个语词被应用的方式是它在所有这样的命题中都有这样的应用：“我期待看见红色斑块”，“我记得红色斑块”，“我害怕红色斑块”，等等。

30.如果我说“这个事件与我期望的一样”，和“这与发生在那个场合下的事件一样”，那么“一样”这个语词有两个不同的意思。(并且通常你不会说“这与我期待的东西一样”，而是说“这正是我期待的东西”。)

我们能够想象在任意一种语言中，在不使用P的情况下，期待P得到描述？

这不是与在语言中不使用P的情况下就可以表达~P一样不可能的吗？

这不就是因为期望使用了与它被实现的观念一样的符号吗？

因此，如果我们用记号思考，那么我们也用记号期待和希望。

(并且你可能会说，有人会用德语希望而恐惧英语，反之亦然。)

31.另一个属于这个系列的心理过程，并且与这些事联系在一起的就是意图。你可以假设语言就像是有着特定意图或为某个具体目标而设立的控制室。

如果一个机械装置意图起制动作用，但由于某种原因却加速了机器的运转，那么这个机械装置的作用仅从它自身就看不出来。

那么，如果你说“那是制动杆，只是没发挥制动作用”，那么你是在谈意图。这就与我们仍然称一个损坏的钟为钟一样。

(期望、联想等心理学上的琐碎讨论常常忽略真正重要的东西，并且你注意到它们讨论的那些东西不触及重要观点。)

32.我只使用期望、思想、希望等等这样的术语，P是有着多样性过程的事实，并且仅当这些过程被表达出来时，在P中才能找到它的表达式。但是在这种情况下，它们是称为记号说明的东西。

我只把被言语表达的过程称作思想，因此你可以说“仅有用言语表达的才称为思想”。(分泌唾液——即使很适度——都不是我称为期待的东西。)

也许我不得不说，“记号的解释”这个短语是误导性的，并且取而代之的是我应该说“记号的使用”。因为“解释”听起来就像是人们现在要把红颜色归属于“红”这个词(即便红颜色不存在)等等。现在问题又产生了：记号与世界之间的联系是什么？如果寻找事物的空间不在那里的话，我能够发现事物吗？

该记号与世界的联结在哪里？

33.希望得到某种东西确实是期望的表达。换句话说，你如何千万百计地探求，表明了你期待的东西是什么。

因此，这个观点可能是这样：期望与实在的共性是它指向同一空间与另一个点发生关系。(“空间”是一般意义上的。)

我看到斑块离我期望的地方越来越近。

如果我说我记得一个颜色——假设，某一本书的颜色——你可能把它当作这个事实的证据，即我能够使这个颜色和我对它的识别相容，或者说别的颜色或多或少与我记忆中的那个颜色不同。

可以说，期望准备了衡量事件的标准，当该事件出现时，并且更为重要的是以这样一种方式，用其中的一个衡量另一个必定是可能的，无论该事件与期望的刻度线是否一致。

假设我看到一个人并猜测他的身高，说“我认为他有170厘米高”，然后举着手用尺子量他的高度。即使我不知道他有多高，我也知道他的高度需用尺子量，而不是用称来称。

如果我期待看到红色，那么我就为红色做思想准备。我可以为一块木头准备一个盒子把它放进去，就是因为这块木头，无论它什么样，都必须有体积。

如果期望这一行动与实际之间不发生关联，你的期待就是一个荒谬的行为。

34.对P的期望和P的实现也许就像物体的空洞形式与现实形式之间的关系一样。这里的P与体积形状一致，并且给定形状的不同方法，相当期望与实现之间的差异。

如果我说“我能够在任何时候为你描绘出这一点”，那么这就预设了我与所涉及的事物处于同一空间。

我们的期望参与了该事件。在这个意义上，它制作了该事件的模型。但是，我仅能做出我们身处其中的世界的事实的模型，也就是说，这个模型必定主要与我们生活世界相关，并且更为重要的是，独立于它的真或假。

如果我说这个表达式必须论及我的世界，那么你就不能说“因为否则我不能证明它”，而是说“因为否则它甚至不会对我有任何意义”。

35.期望中，与在空间中搜寻的部分相对应的是人们关注点的指导。

确实，有关期望的奇怪的事是我们知道它是一个期望。因为，例如我们不能想象下列情形：有一些图像或其他什么东西在我眼前并且我说：“现在，我不知道它是否是期望还是记忆，抑或是与实际没有任何关系的图像。”

并且这就是表明期望直接与实际相关联的东西。

当然，你不能说这个期望谈到的未来——我的意思是说这个未来的概念——只是真正未来的代表。

因为我是在与我等待同样真实般期待。

你或许可以这样说：除非你能够描述当下的实际，否则你不能描述期望；或者，除非你能给出一个比较期望与当下之间形式的比较，否则你不能描述期望：现在我在这里看到一个红色的圆，并且期望接下来看到蓝色的四边形。

这就是说，语言的标准必须被应用于当前这一点上，然后再超越这一点上进行预设——大致来说，朝着期望的方向。

36.如果我设法发现对象，给对象测量长度才有意义——因为否则的话我就不能将标准应用于它。

我曾称为简单“对象”的东西，只是那种我不需要冒着它们可能不存在的风险指向的东西；也就是说，不是那种既不是存在也不是非存在的东西，并且这意味着：我们能够谈论的东西，无论是什么都可以是事实。

视觉中的桌子并非由电子构成。

要是有人对我说“我期待三声敲门声”并且我回答“你如何知道三声敲门声存在？”会怎么样？这个问题不就像在有人说“我认为A有183厘米高”后，有人问“你如何知道有183厘米”一样吗？

37.绝对的寂静能够与不熟悉声音概念的内耳聋相混淆吗？如果是这样，那么，你就不能把缺少听觉与缺少任何其他感觉区分开。

可这不就恰好与这个问题一样：“一个看不到当前周围有任何红色的人，不就是与不能看到红色的人处于同一状态吗？”

当然，你可能会说：这个人仍然可以想象红色，但是，我们想象的这个红色与我们看到的红色不一样。

38.我们的普通语言无法描述特定颜色的深浅，譬如我桌子的棕色。因此，就不能产生这个颜色的图像。

如果我想告诉他人某种布料的颜色，我就送给他一个样品，并且显然这个样品属于语言；并且同样的，我通过语词唤起属于语言的一种颜色的图像和记忆。

该记忆和实际必定在同一空间中。

我也可以说：这个想象与实在处于同一空间。

如果我把眼前的一个颜色样品与另一个做比较，以及如果我把对样品的想象与颜色样品比较，这是与我将两根靠在一起的木杆的长度进行比较，而又将两根木杆分开加以比较类似。在这种情况下，如果我水平地移动目光，我可以从一根木杆的顶端移向另一根的顶端，也许我会说，它们一样高。

事实上，我从未见过一块黑色斑块逐渐变得越来越浅，直到它变成白色，然后变红，直到完全成为红色；可我知道这是可能的，因为我能够想象它。也就是说，我在颜色空间操纵我的想象，并且在其中可以做用颜色可能做的任何事。并且我的语词从这样的事实中获取它们的意义，它们或多或少地完全反映想象的运行，以这样一种方式，被用于描述一段被演奏的曲子， 但是，不重现单个音符的重音。

语法给予语言必要的自由度。

Ⅳ

39.彩色八面体是语法，因为它表明你能够谈论红色的蓝，而不是红色的绿，等等。

如果我仅能看到黑色的东西并且说它不是红色的，我如何知道我不是在说胡话，也就是说，我如何知道它可能是红色，我如何知道有红色？除非红色是与黑色处于相同的刻度。“那不是红色”和“那不是咒语”之间的区别是什么？显然，我需要知道描述(或有助于描述)真实事态的“黑色”，就是在描述中用“红色”来代替的东西。

可这意味着什么呢？我是如何知道“红色”代替的不是“软的”？你能说红色与黑色的不同小于红色与软的不同吗？当然，这是无意义的。

40.在什么范围内，你可以把颜色与色图表上的刻度点相比较？

你能说从黑色到红色的方向不同于从黑色到蓝色的方向吗？

因为，如果在我面前有黑色，并且我正期待着红色，那么，这不同于在我面前有黑色并且我期待着蓝色。并且如果存在着与标准的有效比较，那么“蓝色”这个语词给我提供一个从黑色到蓝色的方向，所以说这是我达到蓝色的方法。

我是不是也可以这样说：“命题必定给予蓝色的命题提供一个结构，事实必须做到这一点，如果这样或那样成为蓝色的话”？

我能够表达出一个颜色比另一个颜色更接近我期待的颜色的事实就在这里。

但是，这些不同的方向如何在语法中找到表达式？这与我看到灰色并且说“我期望这个灰色再深一点”不是同样的事实吗？语法如何处理“更浅”和“更深”之间的不同？或者，这个标准如何能够在特定的方向上从白色到黑色被应用于灰色？

看起来灰色仍然只是一个点；位于此点我如何能够在其中看到两个方向？然而，我应该能够想办法做到这一点，这样对我来说在这些方向上得到一个具体的位置是可能的。

41.感觉似乎是为了否定P，～P在某种意义上首先为真。有人问：“什么东西不是这种情况？”除了不能以

P

实际上为真这种方式表达，这是必须被表达出来的。

有着红/绿色盲的人与普通人有不同的辨色系统。他会成为那种头部被固定在一个位置并且有着不同种类的空间的人，因为对他来说，只有他独有的视觉空间，例如他没有“后面”。

当然，对他来说，并不意味着欧几里得空间是有限的。但至少就看到的事物而言——他不会获得欧几里得空间的概念。那么这个问题是不是：对于那些不知道红色和绿色像什么的人能够真的看到我们(或者我)称之为“蓝色”和“黄色”的东西？

当然，这个问题必定与有着一般视觉的人是否真的和我一样看到相同的东西一样没有意义。

42.如果我想谈论灰色变得更深或更浅是可能的，灰色必定被想象为存在于从浅到深的空间中。

因此，你可能还会说：该标尺必定已经被应用，我不能任意应用这个标尺；我只能在标尺上选出一点来测量。

这等于说：如果我被绝对寂静包围，我就不能任意地加入(构造)或不加入这个寂静的听觉空间，也就是说，或者对我来说“寂静”与声音相对，或者“寂静”这个语词对我没有意义，即我不能在内在的听和内在的聋之间做出选择。

并且在相同的方式上，当我看到灰色时，我不能在一般的内在视觉和部分的或完全的色盲之间做出选择。

假设，我们有一个装置能够完全切断我们的视觉活动，以至于我们会失去我们的视觉；并且假设我就这样把它切断了：在这种情况下，我能说“我在红色背景下看到黄色的斑点了”？这种说话方式对我有意义吗？

43.我宁愿这么说：对于任何问题，总会有一个对应的发现方法。

或者你也可以说，问题意指一种寻找的方法。

你仅能在空间中搜索。因为只有在空间里，你才与你没有身处其中的地方处于某种关系中。

理解命题的意义意味着知道它为真或假的问题如何被确定。

我们称为意志的东西的本质直接与给定的东西连续性相关联。

你必须找到从你所处的地方到问题被解决的地方的方向。

你不能错误地寻找；你不能用你的触觉寻找视觉效果。

你不能把图像与实际相比较，除非你能把它设置为一个标准。

你必定能够把命题与实际相对应。

实际被理解为图像的替代。

如果我要阐明两点之间是否有某一确定的距离，我必须看看把它们分开的距离。

44.“形式上被证明的命题”是如何成为可能的？它是那种经过观察就能说出它为真或为假的命题。但是，你如何能够通过检查该命题或思想发现它为真？该思想必定是某种不同于该命题所说的事实。

测量的方法，例如，空间测量方法与某种具体的测量方法的关系就如同命题的意义与它的真或假的关系一样。

标准的使用、应用不以任何被测量对象的具体长度为前提。

这就是我能够知道如何在一般意义上测量，而不是测量每个可测量对象的原因。(这不是简单的类似，事实上是个例子。)

我所需要的是：我必须能够确定我能够应用我的标准。

因此，如果我说“再有三步，我就会看到红色”，这就预设了无论如何我都能够应用长度和颜色的标准去测量。

可能会有人反驳，标尺上标出的具体刻度的高度能够表达某物有这样的高度，而不是什么东西有这样的高度。

那么，也许我会回答，我能够做的是说在某个方向上距离我有3米远的某物有2米高。

45.我会把任意事实，它的获取是命题有意义的前提，归于语言。

一个尺子与被它测量的对象必定处于相同的空间，这是很容易理解的。但是，在什么意义上，语词与被语词描绘的对象的长度处于同一空间，或者语词与颜色处于同一空间，等等？这听起来有些荒唐。

黑色能够变得更浅，但不能变得更大声。这意味着它处于浅/深空间，而不是大声/小声的空间中。可对象确实在当它变得更浅的时候，将不再是黑色的了。但是，在这种情况下，它曾是黑色并且仅在我看到某种改变时(在一般意义上)，我看到一种颜色的改变。

单位长度是符号标示法的一部分。它属于投影方法。它的长度是任意的，但它是包含特殊空间元素的东西。

并且因此，如果我称长度为“3”，这个“3”通过该符号标示法中的单位长度的预设指称。

你也可以把这些情况用在时间上。

46.当我构筑用于表达一个坐标系空间中的事态的语言时，我在语言中引入了它不常用的元素。这个方法当然是允许的。并且它显示了语言与实际之间的关联。没有带坐标系的书写记号是缺少意义的。那么，我们不该使用类似的东西表达颜色吗？

如果我说某物有三英尺(1英尺约等于0.3米)长，那么这就预设了，我以某种方法被给予一英尺的长度。事实上，它通过描述被给予：在某某地方，有一根木杆有一英尺长。“某某地方”间接地描述了到达那里的方法；如果不去的话，该参数就缺少意义。“伦敦”这个地名只有可以找到伦敦时才有意义。当命令无论在什么情况下都是有意义的，那么该命令才是完整的。我们也可以说：当它被完全分析了的时候，它才是完整的。

Ⅴ

47.当我们环顾四周，在空间中移动，感觉我们自己的身体，等等，这都没有使我们感到异常，这表明这些事对我们来说是多么地自然。我们没有注意到，我们远距离地观察空间或者我们的视觉域，在某种意义上，模糊了空间的界限。它没有让我们感到异常，并且从不能让我们感到异常，因为这是我们知觉的方式。我们从未考虑，并且也不可能考虑，因为没有什么东西与我们这个世界的形式相矛盾。

我要说的是，那些把实际归于事物而不是观念的人，就像观念一样毫无质疑地到处活动，并且从未长期地离开它，这就很奇怪。

换句话说，被给予的东西是理所当然的。如果这是从间接的、歪曲的角度获取的微小图像，那将是非常离奇的。

我们当作理所当然的生命，应该是某种偶然的、次要的东西；在此同时，一般来说从没有进入我心灵的东西，是根本的东西!

那就是，我们既不能也不想超越的东西不会成为世界。

人们一次又一次地尝试着使用语言确定世界的界限并强调它——但是却做不到。世界的理所当然就在这个语言能够并且仅仅指向它的事实中表达它自身。

因为语言只从它的意义方式，从世界中获得意喻，不表达世界的语言是不可想象的。

48.如果事实的世界不受时间限制，我们究竟如何谈论它？

生命之流，或世界之流，奔腾不息，而我们的命题可以说只是在瞬间被证实。

我们的命题通过当下而被证实。

因此它们必定如此构成，以至于它们能够由当下来验证。并且因此它们必定以某种方式与当下相称；以及它们不能不顾及它们的时空性；相反，这必定与它们的相称性相关联，就像尺子的实体存在性与它的延展性一样——就是使它能够测量的东西。在这种情况下，你也不能说“尺子不能测量，别看它实体存在；当然，仅有长度的尺子似乎很理想，是个纯粹的尺子”。不，如果物体有长度，那么没有物体就没有长度，并且尽管我意识到在某种意义上仅尺子的长度能够测量，放在我口袋里的仍然是尺子、是物体，不是长度。

49.也许这全部困难来自时间概念取自物理学上的时间，并且把它应用于直接经验的过程中。这是电影胶片的时间与它放映的图像的时间的混淆。因为“时间”在我们把记忆当作时间的来源和我们把它当作保留在过去事件中的图像时，有不一样的意义。

如果我们把记忆当作图像，那么它是物理事件的图像。这个图像逐渐消逝，并且，我注意到当我把它与过去发生的其他证据相比较时，它是如何消逝的。在这种情况下，记忆不是时间的源泉，而或多或少是实际发生的事件的可靠的托管人；并且这是我们能够以其他方式知道的东西是一种物理事件。如果我们现在把记忆当作时间的源泉那是完全不同的。在这里，它不是图像，并且也不能消逝——不是在图像逐渐消退的意义上，变得不再忠实地表达它的对象。两个表达方式都正确并且彼此平等，但是不能混在一起。当然，把记忆说成是图像显然是个比喻；就像把观念说成“我们心灵中对象的图像”(或者其他这样的短语)是比喻一样。我们知道图像是什么，但是观念确实根本不是一种图像。因为，在第一种情况下，我能够看到图像和作为图像的对象。但是在另一种情况下，事物显然是完全不同的。我们刚使用过比喻，现在比喻开始为难我们。在比喻的语言中，我们不能走出比喻。如果你努力使用比喻的语言把记忆说成是我们知识的来源，它必定导致无意义，我们可以在物理世界谈论现在、过去和将来的事件，而不是现在、过去和将来想象的观念。如果我们称为观念的东西不再是另外一种物理对象(比如，取代物体的物理图像)，而恰好是当下。因此，我们不能将时间概念，即物理对象的名称拥有的句法规则，运用在观念的世界，即我们采用完全不同的表达方式的地方。

50.如果记忆不是回顾过去的那种，我们究竟如何知道它被当作指向过去的？我们记住一些事件并且怀疑在我们的记忆里我们是否有过去的或将来的图像。

我们当然可以说：我看不到过去，仅能看到过去的图像。但是，除非它是记忆图像的本质，我如何认识过去的图像？我们是从把这些图像解释为过去的图像的经验中得知的吗？但是在这个语境中，“过去”究竟意味着什么？

然而，它与每个我理解过去的物理时间概念相矛盾，并且它看起来还是不意味任何东西，而仅仅是在第一个系统中的时间概念必定完全不同于物理学中的时间概念。

我可以在视觉空间的事件中但却不在声音事件中想象发生的时间吗？看来是这样。然而，事物应该能够有一种形式，这个形式又可以被想象为没有内容，这很奇怪。或者一个被给予听觉的人也理解了随听觉而来的新的时间？

传统的问题不适合现象的逻辑研究。现象提出产生自其自身的问题，或者更确切地说为其自身提供回答。

51.如果我把直接经验的事实与屏幕上的图像做比较，以及电影胶片上的图像和物理事实做比较，在电影胶片上有当下的图像以及过去和未来的图像。但是在屏幕上，仅有当下。

这个图像的特征是在使用它时，我把未来当作是预先形成的。

未来事件是预先形成的这种说法是有意义的前提是不会中断是时间的本质。那么我们就可以说：某事将会发生，只是我不知道它是什么。并且在物理世界，我们能够表达它。

52.奇怪的是，在日常生活中，我们不会被现象正在从我们身边溜走以及外观不断变化的感觉困扰，而只是在哲学思考时才有被困扰的感觉。这表明这里被谈论着的思想是由语言的滥用引起的。

我们有的这种感觉是当下消失在过去当中，而我们却不能阻止它。这里，显然我们正在使用电影胶片的图像冷酷地从我们身边经过，我们却不能让它停下来。但这显然是图像的误用：如果根据时间，我们意指该变化的可能性，我们就不能说“时光流逝”。我们在这里研究的东西是运动的可能性，并且因此是运动的逻辑形式。

在这个关联中，当我们把记忆和当下的经验比较时，它显现给我们记忆似乎是某种次级的经验。我们说“我们只能回忆它”。似乎在原初的意义上，记忆有点模糊并且是最初在我们面前很清楚的东西的不确定的图像

物理对象的语言中，我说：“我对这个房子仅有模糊的记忆。”这是对的。

53.为什么不能让这些问题顺其自然？因为这种表达方式确实能够表达我们想要表达的东西，以及任何能够被表达的东西。但是我们希望它也能够以不同的方式表达出来；并且这才是重要的。

似乎另一种方式的侧重点不同。因为语词“看起来”“错误”等等，有某种不属于现象本质的情感色彩。在某种方式上，它与意志而不仅仅是与认识相关联。

例如，我们谈论视觉错觉并且把这个表达与错误的观念联系起来，当然，这里存在任何错误不是必须的；并且如果在我们的生活中外观比测量的结果更为重要，那么语言也会表明对这一现象的不同的态度。

没有原初语言与我们的普通语言相对——就像我过去相信的那样，所谓的“次级”语言。但是有人会谈论原初语言作为对我们的普通语言的反对：在原初语言的范围内，不会允许对某一现象的表达方式有优于其他表达的特权；所以说，原初语言必定是绝对公正的。

54.属于世界本质的东西不能通过语言表达出来。

由于这个原因，语言就不能说一切都是流动的。语言仅能表达那些我们也能以其他方式想象的事物。

一切都在流动在语言的应用中一定被表达了，并且事实上不是在与其相对的其他类型的表达中使用，而是在这个应用中。在我们曾称为语言的应用的任何事物中。

根据应用，我理解了究竟是什么使得声音或标记联结成语言。在这个意义上，是应用使得带有标记的木杆变成测量杆：使语言与实际相对。

我们假设：仅当下这个时刻的经验具有现实性。那么第一个反应一定是：与什么相对？

我今早没有起床？(因为如果是这样，那么它就是值得怀疑的。)可它不是我们意味的东西。它是否意味着我此刻回忆不起来的事件没有发生过？也不是。

仅当下经历的命题具有现实性似乎包含唯我论的最后结果。并且在某种意义上是这样；只是它和唯我论一样没能够表达出什么东西。因为属于世界本质的东西不能被表达出来。并且哲学，如果它要表达什么的话，也只能是对世界本质的描述。

但是，语言的本质是世界本质的图像；并且哲学作为语法的监护人事实上能够把握世界的本质，只是不在语言的命题中，而是在排除无意义的记号联结的语言规则中。

如果有人说，仅当下的经验具有现实性，那么“当下”这个语词在这里必定是多余的，就像“我”这个语词在其他语境中一样。因为它不意味当下与过去和未来相对。通过语词，某些东西必定能够被意指，某些东西不在空间中，而是空间本身。这就是说，没有什么东西在其他东西的边缘(因此，可以从中确定界限)。并且因此，语言没有理由加以突出某些东西。

我们这里讨论的当下不是恰在此刻投影仪镜头前胶片的图像，这一图像与前后已经存在那里或者还没出现的图像是相对的；而是在屏幕上的图像，如果把它称为当下是不对的，因为“当下”在这里的应用不会把它与过去和未来区分开。并且因此，它是无意义的语词。

55.非常有趣的是，存在着公认的、非常重要的普遍命题，因此描述实际经验的命题可能以其他形式存在，就像它表现出来的样子。例如，我只有一个身体。我的感觉从未超出这个身体(除了特殊情况下，某人被割断了肢体，比如手臂，但他仍然感到手指痛)。这些是奇怪而有趣的事实。

但如果有人说我不能回忆未来不属于这一类。因为它没有意义，并且就如同它的反面，是不可想象的。

当我醒着的时候，我一直用眼睛看，是另一个奇怪而又有趣的事实。同样，我的视觉域几乎是不断地处于流动状态，这也是很重要的。

“我”显然指向我的身体，因为我在这间屋内；并且“我”是在这个地方的主要的东西，并且在这个地方与其他的身体一样处于同一空间。

“实在论”“唯心论”等等一开始就是形而上学的名称。也就是说，它们表明它们的支持者相信他们能够表达有关世界本质的具体事物。

56.任何希望为只有当下的经验才是真实的这个命题辩护的人也许会问，是否“尤里乌斯·恺撒穿越阿尔卑斯山”仅描述我当下关注该事件的心灵状态。回答当然是：不。它描述的只是我们相信发生在2000前的事件。也就是说，语词“描述”以这样的句子“‘我正在写’的命题描述我当下正在做的事”相同的方式解释。尤里乌斯·恺撒这个名字指一个人。可整个句子要表达什么呢？看起来，我害怕真正的哲学回答!论及人的命题，即包含人名，可以不同的方式证明。我们可能发现恺撒的尸体：与有关恺撒命题的意义直接相联。但被发现的手稿也可能表明这样的人从未出现过，并且有关他存在的陈述都是为某个特定目的编造的。因此，关于恺撒的命题一定有包含这种意义的可能性。如果我说出这个命题：我看到一个横穿绿色斑块的红色斑块，那么，在“尤里乌斯·恺撒穿越阿尔卑斯山”中提供的可能性就不在当下，并且，在这个意义上，我可以说这个有关恺撒的命题比上个命题在更为间接的方式上有其意义。

如果它发生了，那么任何合理地确认信念的事物决定这个信念的逻辑本质。这就是说，它表明有关这个信念的逻辑本质的东西。关于恺撒的命题只是承认不同验证的框架(像有关其他任何人)，尽管不是所有这些都允许其他的人验证——例如，活着的人。

在该命题和它的验证之间，不存在通过这个验证的媒介，这不是我的全部意思吗？

即使我们的普通语言当然也有预防各种不确定的情况。并且如果我们对它有任何哲学上的反对意见的话，它也只能这样，因为在某种确定的情况下，它引起了误解。

Ⅵ

57.在我们的语言中，引起误导最多的表达方法之一是语词“我”的使用。尤其是当它被应用于表达直接经验时，如在“我看到一红色斑块”中。

以另一种不使用人称代词表达的直接经验代替这种表达方式是有益的；因为那样我们就能够看到先前的表达对事实来说不是主要的。这种表达不是在任何意义上都比原来的表达方式更为准确，而是借助于它清楚地表明在表达中，对逻辑来说至关重要的东西是什么。

哲学上最糟糕的错误始终产生于当我们试图把我们的普通——物理的——语言应用于直接既有物的领域中。

例如，如果你问，“这个盒子在我不看着它时，它还存在吗？”唯一正确的回答是“当然，除非有人把它拿走或摧毁”。不用说，哲学家不会满意这个回答，它会非常正确地阐述这个问题的荒诞。

我们语言的全部形式都得自普通的物理语言，并且在应用于认识论和现象学中，会扭曲它们对象。

正是“我可以觉察到X”这个表达式自身取自物理学的术语，并且X应当是物理对象——举例来说在这里就是物体。如果这个表达式被应用于现象学，X必定指向作为论据的事实，那么这就走入了歧途。因为这里的“我”和“觉察到”不能有它们先前的意义。

58.我们可以采纳下列表达问题的方式：如果我，L. W. 牙痛，那么这可以根据“牙痛”这个命题表达。但如果是这样，现在根据“A牙痛”这个命题可做如下表达：“A现在的行为就像L. W. 牙痛时一样。”类似地，我们说，“这是思考”表述为“A的行为就像L. W. 在思考时一样”。(你可以想象东方专制国家中，语言形成以君主为中心并且以他的名字代替L. W.。)显然，对我们从模糊性中而来的可理解性和明晰度而形成的问题而言，这种说话方式与我们的语言表达相当。可同样清楚的是，这种语言可以任何人作为它的中心。

现在，在所有以不同的人作为其中心的语言中，每一种语言我都能够理解，以我作为以我为中心的语言，有一定特权。这种语言尤其充分。我如何表达它呢？也就是说，我如何能够正确地表达它在语词中特殊的支配地位？这是做不到的。因为，如果我在语言中以我为中心，那么用它自己的术语描述其杰出地位不是非常恰当的，并且根据其他语言，我的语言根本不具有任何特权地位。享有特权地位的存在于应用中，并且如果我描述这个应用，这个享有特权的地位找不到表达式，因为这个描述依赖于它被表达的语言。现在，描述仅提供我在心灵中也依赖的应用。

它们的应用才真正表明语言之间的差异；可如果我们忽略这一点，所有语言都是一样的。所有这些语言仅描绘一个单一的、不可比较的事物，并且不能表达任何其他事物。(这两种方法必定导致相同的结果：第一，被表达的东西非许多事物之一，不存在与其相对的一面；第二，我不能表达我的语言的优越性。)

59.相信那些你想象不出如何验证的事物是不可能的。

如果我说，我相信某个人悲伤，就好像我处于悲伤的角度，通过悲伤的方法观察他的行为。可你能说“在我看来，似乎是我在悲伤，是我低垂着头”吗？

60.不仅认识论没有注意到真正命题的真或假，甚至那些一丝不苟地致力于其内容从物理学上看起来完全不可想象的命题的哲学方法也存在同样问题(例如，有人在其他人牙疼中感受到疼痛)。以这种方式，哲学强调它的领域包括任何能够被思考的东西这一事实。

说两个人有一个身体有意义吗？这是一个极其重要而又有趣的问题。如果它没意义，那么它就意味着——我相信——仅我们的身体才是我们个性化的原则。显然可以想象，我应该感到我称为自己的另一个身体上的手疼。现在假设，我原来的身体变得完全麻木和迟钝，并且从那时起，我仅感受到我的另一个身体的疼痛，那会如何？

你会说：哲学不断地累积大量命题而不关心它们的真或假；仅在逻辑学和数学的情形下，它才不得不只涉及“真”命题的探索。

61.在“感觉事实”这个术语的意义上，说他人应该拥有这些感觉事实是不可想象的，正是由于这个原因，它不能被说成他人没有这些感觉事实。并且出于同样的原因，说与其他人相反，我具有这些感觉事实是无意义的。

我们说，“我感觉不到你的牙疼”；当我们这样说时，我们是否仅意味着迄今我们从没有事实上感觉到他人的牙疼？难道不是说它在逻辑上不可能吗？

把他的牙疼与我的牙疼区分出来的是什么？如果“牙疼”这个词在“我牙疼”和“他牙疼”中意义相同，那么说他不会和我一样牙疼时意味着什么？牙疼如何相互区分？根据强度以及类似的特征，以及根据疼痛的位置。但是，假设这些在两者间一样会出现什么情况？但是，如果它被这样的理由反对的话：即区别仅在于在一种情况下我有这样的特征，在另一种情况下他有这样的特征；那么，牙疼的人是在定义牙疼自身的特征；那么“我牙疼”这个命题断定的是什么呢？什么也没有。

如果“牙疼”这个词在两种情况下有着相同的意义，那么我们必须能够在两个人之间做出比较；并且如果它们的强度等方面一致，它们就是相同的。就如同两件套装有着相同的颜色，如果它们在颜色的亮度上相同，等等。

同样，说两个人不能有相同的感觉事实是无意义的，如果“感觉事实”真的是最初意指的东西。

62.在解释“他牙疼”这个命题时，我们甚至可以这样说：“很简单，我知道对我来说，它意味着是牙疼，并且当我说他牙疼时，我意指的是他现在就和我过去牙疼时一样。”但是，“他”意味着什么以及“牙疼”意味着什么？这是曾经属于我的牙疼与现在属于他的牙疼之间的关系吗？因此，在这种情况下，我现在也会意识到牙疼和他现在的牙疼，就如同我现在能看到他手中先前在我手中的钱包一样。

“我疼痛，只是我没能注意到它”，这样说有意义吗？因为在这个命题中，我当然能够用“他疼痛”代替“我疼痛”。并且，反过来，如果命题“他疼痛”和“我疼痛”逻辑上等同，我一定能够在命题“我感觉不到他疼痛”中以“我疼痛”代替“他疼痛”。——我也可以这样说：到目前为止，只有在我可能会有我感觉不到的疼痛时，他才会有我没有感觉到的疼痛。那么，它可能仍然是这种情况，事实上我一直感觉得到我的疼痛，但是否认这一点一定有意义。

“我不疼”意味着：如果我把命题“我疼痛”与实际相比较，那么它的结果是假的。因此，我必须处于把该命题与事实相比较的位置。并且这样比较的可能性——即使结果可能是不对的——是我们意味的东西，即我们说：事实的东西必定与被否定的东西出现在同一空间；只是它必定以不同的方式出现。

63.应当承认，作为感觉事实的牙疼概念可以轻易地应用于其他人的牙齿，就如同它可以用在我的牙齿上一样，但是仅在它完全可能感觉其他人嘴里的牙齿疼痛的意义上。然而，根据我们当下的说话方式，我们不能用语词表达这个事实：“我感觉他牙疼”，而只能根据“在他的牙齿上我有疼痛感”。现在，我们可以说：当然，你没有他的牙疼感，因为他很可能说“我对这颗牙没有任何感觉”。并且在这种情形下，我是否应该说“你在说谎，我能够感觉到你的牙疼”？

当我为某个人的牙疼感到难过时，我把自己放在了他的位置。但是我把自己放在他的位置。问题是，这样说是否有意义：“仅A能够验证命题‘A处于疼痛中’，而我不能”。可如果它是假的，并且我能够验证它：这是否意味着我会感到疼痛？但是那会是验证吗？我们不要忘记了：说我必定感觉到我的或他的疼痛是无意义的。

我们也可以这样提出这个问题：在我的经验中，证明在“我感觉到了我的疼痛”中“我的”合法的依据是什么？证明这个词合法的感觉中，多样性在哪里？并且如果我们也能用另一个词替代它，它才能够被证明是合法的。

64.“我有疼痛感”，当我使用这个命题时，对我来说出自我口与出自他人之口是完全不同的记号；原因是在我知道它通过他人之口被表达出来之前，对我来说它缺少意义。在这个事实中的命题记号不仅存在于声音中，而且存在于这个声音出自某人之口的事实中。反之，在我表达或思考它的事实中，这个记号就仅仅是声音本身。

假设我的右膝刺痛，并且我的右腿会伴随每一阵剧痛抽搐。同时，我看到某个人的腿也像我的腿一样抽搐，并且他抱怨刺痛；同时我的左腿也开始像右腿一样抽搐，尽管我感觉不到我的左膝有任何的疼痛。现在我说：另外一个人的膝盖显然与我的右膝一样有相同的疼痛。但是我的左膝呢，它与其他人的膝盖疼痛有着相同的情况吗？

如果我说“A牙疼”，我使用以感觉疼痛想象的方式，与我谈论电流时使用流动概念的方式一样。

这两个假设，其他人牙疼以及他们表现出和我一样而实际上没有牙疼，可能有着相同的意义。也就是说，例如，如果我知道表达的第二种形式，我会以怜悯的声调谈论没有牙疼，但是表现出与我牙疼时一样的举动的人。

我可以想象我的指甲尖或我的头发疼痛吗？这是否与想象我身体任何部位在当下这一刻是否疼痛，以及想不起是否有过疼痛一样可想象或不可想象？

65.我们语言的逻辑在这一点上很难把握：我们的语言使用了这样的短语“我的疼痛”和“他的疼痛”，以及还有这样的表达式“我有(或感觉)疼痛”和“他有(或感觉)疼痛”。“我感觉我的疼痛”或“我感觉他的疼痛”，是无意义的表达式。并且在我看来，说到底，行为主义的全部争论就在这里。

感觉疼痛的体验不是“我”这个人有什么东西的体验。

我在疼痛中区分强度、位置等等，而不是在所有者那里区分。

如果没有人疼痛，那么疼痛会属于哪种事物？疼痛根本不属于人？

疼痛被描述为我们能够在觉察火柴盒的意义上觉察的某种东西。令人不快的自然就不是疼痛，仅仅是意识到它。

当我为某个其他人处于疼痛中而感到难过时，我当然是在想象疼痛，我想象着我有这个疼痛。

对我来说想象放在桌子上的牙的疼痛，或者茶壶的疼痛也是可能的吗？我们也可以这样说：茶壶处于疼痛中不是真的，但是我能够如此想象它？!

这两个假设，其他人有疼痛，以及他们没有疼痛而仅表现出像我疼痛时的样子，必定有着相同意义，如果每个可能的经验证实其中的一个，另一个也得到了证实。换句话说，如果区别建立在以经验为基础的两者之间，那是不可想象的。

说其他人没有疼痛，预设了说他人有疼痛是有意义的。

我认为，很明显，说其他人有疼痛是在与说椅子没有疼痛相同的意义上说的。

66.如果我有两个身体会怎么样，即我的身体由两组独立的器官组成？

再有，我认为我们看待自己的方式与其他人不同，因为如果其他每个人都有两个身体，我就不能这么说。

我能够想象两个身体的经验吗？当然不会有这种视觉经验。

我知道感觉牙疼的现象，是通过“我在某某牙上有疼痛”这一普通语言的习惯用法来表达的。而不是通过这类表达式“在这个地方，有疼痛感”来表达。这个经验的全部领域通过“我有……”这个形式表达，在这个语言中被描述。“N有牙疼”这个形式的命题被保留在完全不同的领域。因此，我们不必惊讶于“N有牙疼”这个形式的命题，没有与经验在与第一种情况相同的方式上相关联。

在思想方式上通过思考扩展经验的哲学家，应该想到可以通过电话传递言语，但是不能传递麻疹。

类似地，我不能任意地感受到时间的界限，或者感觉到视觉域的均质，等等。视觉空间和视网膜，这就像你要把一个球体垂直地投向一个平面，例如以在地图上描绘这个球体的两个半球的方式，并且有人可能认为围绕该球体的两个投影仍然与在球体上被发现的东西的可能扩展相符合。关键在于，这里的一个完整空间被投射到另一个空间的部分；并且这就像是词典中的语言的界限。

如果有人认为，他能够想象四维空间，那么，为什么不能想象四维颜色，该颜色除了饱合度、色彩和亮度，还容纳第四种决定方式。

Ⅶ

67.假设我有足够好的记忆力，能够记住我的所有感觉印象。这种情况下，乍看起来，没有什么能够阻止我描述它们。这将成为一种传记。为什么我不能够在这个描述中删去所有的假设呢？

举例来说，我能够表达可塑的视觉图像，也许用缩小比例的石膏像，我只会根据我实际看到的完成这个塑像，同时，根据阴影或者其他手段上色彩或雕塑方式表述出来。

到目前为止，一切进展顺利。但是，有关我做出如此表述的时间呢？假设我应该能够与“书写”这一语言的记忆同步——产生这一表述。但是如果我们假设我通读这一表述，这一表述不就是一种假设？

我们想象一下这样的表述：我似乎看到这个身体由机械装置以这样一种方式移动，它们会被固定在模型中的特定地点的两个眼睛给出被表达的视觉图像。那么，被描述的视觉图像就由模型中的眼睛的位置，以及身体位置和其运动来决定。

我们可以想象，这个机械装置能够通过转动曲柄驱动，并且以该描述“全部流利地读出”的方式。

68.这将是我们可能想象的最直接的描述，这不是很清楚的吗？这就是说，任何试图更为直接的东西都不再是描述。

除了描述，那么出现的将是不清晰的声音，许多作者喜欢以此开始哲学思考。(“根据我的知识，我有某物的意识。”)

你不能简单地在这个原始思想之前开始。

语言自身属于第二个系统。如果我描述语言，我主要是在描述属于物理学的东西。但是物理语言如何能够描述现象？

69.是不是这样：现象(似是而非的当下)包含时间，但不在时间中？

它的形式是时间，但是在时间中它却没有位置。

相反，语言在时间中展开。

我们通过“语言”这个语词理解的东西在物理时间中运行。(通过与机械装置比较，这一点变得很清楚。)

只有在原初世界中与这个机械运动相符合的才能够成为原初语言。

我的意思是：我称为记号的东西必定是在语法中被称为记号的东西；在胶片上的，而不是在屏幕上的东西。

“我不知道是否……”只有在这种情况下才有意义：我能够知道。如果不能够想象，就没有意义。

70.所以说，与我们的语言一道发现自我的是在胶片上，而不是投射的图像上。并且，如果我想使音乐伴随屏幕上发生的事，无论产生的音乐是什么，必须也能在胶片上演绎一遍。

另一方面，显然，我们需要一种能够表达视觉空间现象的说话方式，因此是独立的。

“我能够看到桌子上的一盏台灯”，表明它必须在我们的普通语言中得到理解，不只是对视觉空间的描述。“在我看来，我似乎正看着桌子上的台灯”当然是正确的描述。但是这种语词形式是误导性的，因为它看起来似乎没有什么实际的东西得到了描述，而仅仅是某些本质不清楚的东西。

然而，“看起来”的意思仅仅是要表达，某种作为普遍规则之特殊情况的东西被描述，并且所有不确定的是，是否存在更进一步的事件将能够被作为相同规则的特殊情况而被描述。

胶片上看起来似乎有我们能够看到的断断续续的正弦曲线。

这就是说，我们看到的能够通过胶片上的正弦曲线和光线上某些被阻断的点得到描述。

看起来，围绕圆K可以画出一个同心圆，并且画出来的直线a、b、c、d、e、f是它的切线。

71.例如，在某种情况下给我的手以及其他人的手以专名是实用的，结果是你不会在提到它们时与某个人关联起来，因此，关系对那些手本身而言不是重要的；并且表达的一般方式会引起起这个假象，以为它的关系对它的所有者来说是某种属于手本身的本质的东西。

视觉空间本质上来说没有所有者。

我们假设，和其他人一样，我总是能够看到视觉空间中的某个特定的对象——也就是我的鼻子。其他人当然不会以同样的方式看到这个对象。那么，这是否意味着我谈论的这个视觉空间属于我？并且因此是主观的？不，在这里它只是被主观地解释了，并且有一个客观的空间与其相对，然而，客观空间只是以视觉空间作为其基础的结构。在“客观的”语言第二层级的物理空间，视觉空间被称为主观的，或者更确切地说，在这个语言中，无论直接与视觉空间符合的是什么都被称作主观的。以相同的方式，人们可以说实数中的语言，在它们的领域内直接相应的基数都被称作“正整数”。

在上面描述的模式中，看到对象的两只眼睛，或是它们的位置，不一定要给出说明。那仅是一种表达方法。例如，就如同“被看到”的对象的部分一样，通过在上面画上阴影表达出来。当然，你始终能够从这个阴影部分的边界了解到眼睛的位置；但那只相当于从一种说话方式向另一种说话方式的转换。

最为基本的东西是视觉空间的表达是对象及不包含主体的暗示。

72.假设，我的身体的所有部分都能够被去掉，最后仅剩下一个眼球；并且它被牢牢地固定在某一确定的位置，保留它的视力。世界如何向我显现？我不能察觉我自身的任何部分，并且假设我的眼球对我来说是透明的，我也不能在镜子中看到我自己。在这一点上产生了一个问题：我能够根据我的视觉域确定我自己的位置吗？“确定我自己的位置”，当然这里仅意味着为视觉空间建立一个特定的结构。

有什么东西迫使我解释我通过我的窗子看到的树比我的窗子大吗？如果我有通过眼睛测量对象距离的感觉，这就是一个合理的解释。但它的解释是在不同于视觉空间的空间中，因为视觉空间中与树相应的东西确实明显地小于与窗子相应的东西。

或者我应该说：好，这全都依赖于你如何使用语词“较大”及“较小”？

并且这是正确的：在视觉空间中，我可以在两种方式上使用语词“较大”和“较小”，以及在一种意义上，视觉中的山比视觉中的窗要小，并且在另一种意义上比窗大。

假设我的眼球被固定在窗子后面，以便我能够通过它看到最多的东西。在这种情况下，这个窗子能够发挥我的身体一部分的作用。窗子附近的也是我附近的。(假设我能够用一只眼睛看到三维图像。)此外，我假设在我所处位置在镜子中可以看到我的眼球，并且察觉到了外面树上的类似的眼球。

在这个例子中，我如何能够辨别，或者实现这个假设，我通过眼球的瞳孔看到这个世界？当然不是在本质上不同于我通过窗子看世界的方式，或者说，通过我的眼睛紧贴着的木板上的洞孔看世界的方式。

事实上，如果我的眼睛被粘在树枝上，我的位置能够使我清楚地看到某个人把由远及近地把一个圆圈带到我的眼前，直到最后我能通过它看到所有的东西。他们甚至可以把我眼睛周围的东西：面颊骨、鼻子等移近我的眼睛，那我就能够知道它们各自的位置。

73.那么，这一切是否意味着视觉图像主要包含了一个主体或者预设了主体？

或者，这是不是说这些尝试给予我的只是纯粹的几何学上的解释？

这就是说，始终只涉及该对象的信息。关于实际的客观信息。

在视觉空间中，没有属于我的眼睛，也没有属于他人的眼睛。仅空间自身是不对称的，其中的对象是平等的。然而，在物理的空间中，它以这样的方式表达自身，平等的眼睛中的一个被挑选出来，并且被称为我的眼睛。

我想知道我身后发生了什么就转过身去。如果我转不了身，那么这是否意味着空间延伸这一观点就没有得到保留？并且，我可以通过转身试图看到现在我身后的对象。因此，转身的可能性导致了我的这个空间观念。结果，我周围的空间因此是视觉空间和肌肉感觉空间的混合。

没有了能够“转身”的感觉，我的空间观念将是本质上不同的空间观念。

因此，这个分离的、不可移动的眼睛不会有关于眼睛四周的空间观念。

74.直接经验不能容纳任何的矛盾。如果它超越所有言论和矛盾，那么对解释的需要也就不会产生：对所发生的事情必须有表达它的感觉，因为否则事情就会是有缺陷的。

当我们闭上眼睛时会怎么样：我们没有停止观看。可是我们在这种情形下看到的确实与眼睛没有任何关系。并且它与梦的图像一样。但即使在普通观看的情形下，显然，我身体的其他位置在视觉空间中仅取自位于我身体上的其他感觉，并且不是取自纯粹视觉中的事物。

尤其重要的是语词“视觉空间”不适合我们的目的，因为它包含了对空间并非本质的感觉器官的暗示，就像属于某个特定人的书对这个人无关紧要一样；如果我们的语言以这样的方式构造起来，即我们不能使用语言指派一本书除非把它和它的所有者联系起来的话，那么它就很具有误导性。它可能导致这样的一种观点，书仅存在于与人的关系中。

75.现在，如果现象学语言分离视觉空间，并且把其中发生的事与其他事分离开，它如何处理时间？“视觉”现象上的时间是我们普通物理学术语上的时间吗？

显然，我们能够认识时间的空间是均质的。例如，伴随着节拍器发出的嘀嗒声或者有固定时间间隔的闪光，我能够想象发生在视觉空间中的事。

为了简化问题，我正想象着我视觉空间中的变化是有节奏的，并与节拍器节拍一致。那么我就能给这些变化一个描述(其中我用数字指派给这些节拍)。

假设这个描述是现在验证了的预测。也许我心里知道它，并且现在把它与实际发生的事相比较。这里避免了任何的假设，除了包含在预设中的东西，我给出的这个描述独立于我对这一描写的思考。

这完全是一部有声电影，并且与屏幕上发生的事件相伴的、被说出来的语词与那些事件一样稍纵即逝，并且这与声音的磁带不同。这个声音的磁带不伴随屏幕上的场景放映。

我可能被精灵欺骗了或者我信以为真的描述根本不是真的，而只是记忆的欺骗，现在这样表达有意义吗？不，这没有意义。据推测，不能被揭露的错误不是错误。

在这种情况下，它意味着我记忆的时间，恰好是我正在描述的时间。

这与一直以来被理解的时间不同：因为后者有许多可能的来源，诸如其他人给出的陈述等等。可这里又涉及孤立这一时间的问题。

如果有三个分别流着黑色液体、黄色液体和红色液体的管子，并且这些管子中的液体在某一点上结合在一起而成为棕色，那么这个结合而成的液体也有了自己的流动方式；可我要说的是每一种单一颜色的液体也有自己的流动方式，并且我希望检查一下它们三种变成一种颜色前的流动方式。

当然“当下”这个语词在这里也不适合。因为，在何种程度上，我们可以表达当下的实际？当然，只有我们再次把它嵌入对它来说陌生的时间中。就其自身而言，它不在当下。相反，它包含着时间。

Ⅷ

76.人们的第一个观念是在同一时间同一地点两种颜色互不相容。接下来的是两个颜色在同一地点结合成另一个颜色。再有就是反对的观念：互补色是什么情况呢？红色和绿色的互补色是什么？也许是黑色？我们能否在黑色中看到绿色？可即使我们撇开互补色不说：混合色呢？例如，红色和蓝色的混合？这些都或多或少地包含了红色的元素，这意味着什么？说某物是红色的意味很明显：但是它包含了或多或少的红色吗？并且不同程度的红色彼此互不相容。有人可能想象根据假设某一少量红色加在一起会产生特定程度的红色来解释这一点。但是在这种情况下，如果我们说，例如，当前的红色是由5份的量构成的，这意味着什么呢？当然，它不是当下的1号量，2号量直到5号量的逻辑的产物；因为它们如何能够彼此被区分开？因此，5度红色这个命题不能这样分析。我也不能得出这样的结论命题，当下这一颜色全部都是红色；因为我不能用逻辑“和”红色的量来增加红色，所以就不再增加红色的表述是无意义的。

说一根3米长的木杆也是2米长，因为它是2+1米长，是没有意义的。由于我们不能说它有2米长和它有1米长。3米的长度是某种新的东西。

然而，当我看到两种不同的红蓝色时，我可以说：有比这两个红蓝色中的红更红的红蓝色。这就是说，从给定的当中，我们能够构造没有给定的。

你可能会说颜色有着基本的彼此类似的关系。

这使得它看起来好像基本命题中进行一种结构是可能的。这就是说，似乎在逻辑中存在着一个结构，它不根据真值函项而发挥作用。

更重要的是，看起来，这些结构元素对逻辑地得自其他命题的命题有影响。

因为，如果不同度相互排斥，它根据一个度的存在而得出其他度的不存在。在这种情况下，两个基本命题可能相互矛盾。

77. f(a)和f(b)相互矛盾，看起来又似乎是事实，这如何可能？例如，如果我说“现在这里有红色”及“现在这里有绿色”就是这样。

这与完整描述的观念有关：“这个斑点是绿色的”，完整地描述了这个斑点，并且没有给其他颜色留有空间。

从这个意义上说，红色与绿色在时间维度可能相互错过，这也是于事无补；因为，假设我们表达经由某一确定的时间段，一块斑点是红色的和它是绿色的，这会怎样呢？

例如，我说一块斑点同时是浅红色和深红色，我想我说的是一个色调遮盖了另一个。那么，说这个斑点有看不到的和被遮盖的色调还有意义吗？

说一个完全黑色的表面是白色的，只是我们没看到白色，因为它被黑色覆盖，这有什么意义？并且为什么是黑色覆盖白色而不是相反？

如果一个斑点有看得见的和看不见的颜色，那么无论如何，它是在非常不同的意义上有这些颜色。

78.如果f(r)和f(g)彼此矛盾，那是因为r和g都充分地填满了f，并且两者不能同时填充f。可这在我们的记号中没有显示出来。但是，如果我们观察这些符号而不是记号，它一定显示其自身。因为符号包含对象的形式，那么，在这个形式中，“f(r)·f(g)”的不可能性一定显示其自身。

在符号的使用中，矛盾显示其自身必定是充分的，因为如果我们谈论一个是红色的和绿色的斑点时，它肯定不是这两种颜色中的一种，并且矛盾一定包含在这两个命题的意义中。

这两个颜色不适宜在同一时间同一地点，这必定存在于它们的形式及空间形式中。

但是，符号确实包含颜色的形式和空间的形式，并且如果说一个字母当前表示一种颜色，下次又表示一种声音，那么它一定是在两种场合的不同符号；并且这表明事实上它们有着不同的句法规则。

当然，这不意味着推论不仅是形式上的，而且也是内容上的。意义得自意义以及形式得自形式。

“红色和绿色不适用于同一时间同一地点”，这不意味着它们作为事实从不会结合在一起，你不能说它们在一起，或者合乎逻辑的推论是，不能说它们从不在一起。

79.可这却意味着，我能够写下两个特定的命题，但不是它们的逻辑结果。

这两个命题相抵触。

命题f(g)·f(r)不是无意义的，因为不是所有的真理可能性都被驳回了，即使它们都被抛弃了。然而，我们可以说，这里的“·”有不同的意义，因为“x·y”一般来说意味着(WFFF)；可在这里，它意味着(FFF)。并且对于“xvy”也有类似的东西，等等。

80.黄色调不是黄颜色。

严格上说，我不能把黄色与红色混合在一起，例如，不能在同一时间严格地看到它们，因为如果我想在这个地方看到黄色，那么红色必须让位给黄色，并且反之亦然。

显然，就像我说过的，颜色包含黄色的5个色调这个命题，不能把它表达为它包含色调1号，它包含色调2号，等等。相反，这些该色调的叠加，在基本命题中必须出现。但是，这些色调是被链环串在一起的对象，就像以某种方式在链条中的一个环节；在我们现在谈论的有5个这样的环节的命题中，以及在其他的有三个环节的命题中，情况会怎样？这些命题不能拆开，但它们互相排斥。——然而，F5和F6也必须是互相排斥的吗？我不能说，Fn不意味着该颜色中只包含n个色调，而是它至少包含n个色调吗？它只包含n个色调可以由F(n).～F(n+1)这个命题表达。但即使如此，这个基本命题也不是彼此独立的，因为F(n-1)无论如何仍然得自F(n)，并且F(5)与～F(4)相互矛盾。

断定某一属性的程度的命题，与任意其他程度的详细说明相矛盾。另一种说法，这个命题得自任何更高程度的说明。

使用aRx·xRy·yRb的一个结果也是不充分的，因为我必须能够区分开事物x、y等等，否则它们没有差异。

一个混合色，或更确切地说，介乎于蓝色与红色之间的中间色，是这样一种颜色，它根据与蓝色和红色的结构的内在关系而得到。但是，这个内在关系是基本的。也就是，它不存在于表达“a是蓝色”和“a是红色的”逻辑结果的命题“a是蓝红色”中。

现在，表达一个特定的颜色在某个地方就是在完整地描述那个地方。

81.此外，比起声音或电荷来，颜色的情况没有什么差别。

在每一种情况下，它涉及同一点或同一时间的某一状态的完整描述的问题。

下列架构是否可能：在一点上的颜色不是由一个数字来描述，而是由许多数字来描述。只有这几个数字的混合才能构成该颜色；并且充足描述这个颜色，需要这个混合是完全的混合的命题。即没有什么东西可以被增加。这就像根据列举它的配料来描述品尝一盘菜肴；那么我必须在最后补充说明，这些全都是配料。以这种方式，我能够说这个颜色被明确地描述了，当所有它的成分被列举时，当然，这就是全部的成分。

但是，这个补充说明是如何做出的？如果是在命题的形式中，那么这个不完整的描述也要是命题的形式。并且如果不是命题的形式，而是根据在第一个命题中的某种指示，那么我如何能够指出相同形式的第二个命题与第一个命题的矛盾？

两个基本命题不能相互矛盾。

全部表面类似的命题情况怎么样？诸如：一个点式群体在同一时间只能有一个速率，电场上的点仅能有一个电荷，一个热面上的点在同一时间仅能有一个温度，锅炉的一个点上仅有一个压力，等等。没人会怀疑这些都是自明的，并且它们的否定才是矛盾的。

82.这就是并不局限在我的论文中所说的“和”“非” “或”等等语法规则所讨论的；真值函项的规则也涉及命题的基本部分。

在这种情况下，命题展现出比我先前认为的更像是一种标准。一个测量法很自动排除其他的量度。我自然地要说：就像木杆上的全部刻度，与这些刻度相当的命题，类似地应该放在一起。并且，我们不能只用一个刻度来测量。作为一个标准与实际相对的不是命题，而是命题系统。

现在，我们可以提出同一个刻度只能在一个命题中被应用一次的这个规则。或者与一个标准的不同应用相符合的部分应该综合起来。

“我没有胃疼”可以与命题“这些苹果没花钱”相比较。苹果们没花钱这一点，不是说得到它们没有付出任何的辛苦。零点是刻度尺上的零点。并且因为我不能在没有给出标尺的情况下给出标尺上的任何一点，我也不能得出零点。“我没有疼痛”不是指与疼痛完全无关的状态，相反，我们正在讨论疼痛。这个命题预设了感觉疼痛的能力，并且这不是“心理上的能力”——因为否则的话我们如何能够知道它是什么能力——它是逻辑的可能性。我是通过暗指不属于这个事实的事物来描述我当前的状态。如果这个暗示对描述来说是必要的(并且不仅是装饰)，那么，在当前状态下一定有某种使得提起(暗示)它成为必要的东西。我把这种状态与另一种相比较，那么它一定是可比较的。它也一定处于疼痛空间，既使不在同一个点上。否则，我的命题就会意味着这样的事物：我当前的状态与疼痛状态无关；当然，以这种方式我可能说这个玫瑰花的颜色与恺撒征服高卢无关。这就是说，它们之间没有关联。可我认为在我当前状态与疼痛状态之间存在着关联。

我没有根据提到的与它无关的东西描述事态，并且也没有根据说明与它无关的东西描述事态。那不会是一种否定的描述。

“意义存在于可重认性”，但它是逻辑的可能性。我必须与被期望的东西处于同一空间。

83.“基本命题”这个概念现在失去了它所有早期的意义。

我根据真—假标记法提出的“和”“或”“非”等等的规则，是这些语词语法的一部分，不是全部。

描述独立坐标的概念：举例来说，根据“和”联结起来的命题不是彼此独立的，它们形成一个图像，并且能够根据它们的相容性和不相容性而得到验证

在我过去的基本命题概念中，没有确定坐标的价值；尽管我的关于一个有颜色体在有颜色的空间中等等的评论，直接能够让我得出这样的结论。

实际的坐标仅被规定一次。

如果我想表达一般的观点，我会说：“对同一件事，你不该一会儿这样说一会儿那样说。”讨论中的问题会是一个坐标，我只能给它一个值并且只能是一个值。

84.如果我说我们不可以把两个不相容的属性归于同一对象，那是事实被歪曲了。因为就像看到的那样，看起来在每种情况下，我们必须首先研究两个规定相容或不相容。事实上，同一种形式(坐标)不可能有两个规定。

我们承认的仅是我们与尺度有关，而不是似乎与孤立的刻度有关。

在这种情况下，可以说每个陈述都存在于设置刻度(标准)的数量中，并且在两个刻度尺上同时设置一个度是不可能的。

例如，它可能是这样一个主张：一个……颜色的半径为……的有色圆圈位于……地方。我们可能想到船上的信号“停”“全速前进”等等。

顺便提一下，它们不一定是尺度。因为你不能将有两个信号灯的刻度盘称为一个尺度。

85.每个命题都以某种方式包含时间，当它与真值函项可以被应用于任何命题的事实相比较时，对我们来说都是偶然的。

前者看起来与它们作为命题的本质相关联，后者与我们遇到的实际的本质相关联。

通过命题，真—假，以及事实验证作用与实际一道得到表达。如果有人说：很好，你如何知道实际的全部能够通过命题得到表达？回答是：我仅知道它能够通过命题得到表达，在它能够通过命题表达的范围内，在能够表达的部分和不能够如此表达的部分之间画出一条线，这是我在语言中不能做的事。语言意味着命题的全部。

我们可以说：命题是事实验证作用可以应用其上的东西。事实验证作用对语言至关重要。

86.句法规则阻止了这样的命题“A是绿色的并且A又是红色的”(人们的第一感觉是这个命题似乎被不公正地处理了；好像作为命题，它的正确性被误导了)，可是对“A是绿色的”来说，命题“A是红色的”可以说并不是其他的命题，并且严格说来是句法规则固定的东西——是相同的命题的另外一种形式。

在这个句法分析中，从这几个命题得出一个逻辑。

如果我说我昨晚没做梦，我必须知道我会在哪里寻找梦(即“我梦见”这个命题应用于这样的情形至多是假的，它不能是无意义的)。

我通过设置否定记号指示“做梦——不做梦”中的一个来表达当前情境。可尽管有它的否定位置，我还必须能够把它从其他的记号指示中区分出来。我必须知道这是我手中掌握的记号指示。

现在，有人可能会问：这暗示着你已经感觉到了某种东西，也就是说，梦的迹象，使你意识到了梦会出现的地方？或者如果我说“我胳膊不疼”，这是否意味着，我有某种模糊的感觉，表明疼痛可能出现的地方？不，显然不是。

在什么意义上，当下的无痛状态包含了疼痛的可能性？

如果有人说“若要疼痛这个语词有意义，有必要使疼痛在它出现的时候就被认识到”，我们可以回答“这比不疼痛应该被认识到更不必要”。

可以说，“疼痛”意味着全部的尺度并且不是刻度尺上的一个尺度。它被设置在一个特定的刻度上，只能根据命题来表达。

Ⅸ

87.一般性命题“在红色背景上，我看到一个圆”，似乎是留下各种可能性的命题。

一幅不完整的图像。例如，没有画上眼睛的肖像。

但是，这个一般性与对象的全部会有什么关系？

必定存在着不完整的命题，一般概念得自这些命题的应用。

这个不完整的图像或正确或错误，如果我们把它与实际相比较：有赖于实际是否与我们从图像中读出的东西相符。

(概率论与下面这些状况相关联，一般的，也就是更不完整的描述比更为完整的东西更符合事实。)

因此，在这个意义上，一般性进入了基本命题的理论，并且不是进入了事实验证作用理论。

88.如果我不完整地描述我的视觉域，而只描述其中的一部分，显然，在事实间存在着空缺。有某些东西明显地被忽略了。

如果我要画这个视觉中的图像，我会把它放在画布的某个地方来表现。当然，这个画布也有一种颜色占用这一空间。我不会在没有东西的地方什么都不留下。

因此，我的描述必然包括全部视觉空间，以及它的颜色，即使它没有明确指出在每个地方的颜色是什么。

这就是说，它仍然要表达在每个地方都有一种颜色。

这意味着，这个描述，在它不彻底探讨常项的范围内，必定要彻底探讨变项？

对这一点，可能有人会提出反对意见，认为你不能脱离这个整体描述视觉域的部分，因为孤立的部分，它是不可想象的。

这个斑点的形式(逻辑形式)事实上预设了整个空间。并且如果你能仅描述这个完整的视觉域，那么为什么不能只是描述整个视觉经验之流；因为视觉图像仅能存在于时间中。

89.问题在于我能够在有讨论余地的命题中留下某些指定，同时没有明确指定被留下的可能性是什么？

一般性命题的情况下“一个红色的圆位于正方形中”本质上不同于数值等式的比较区别，如“我的裙子与裤子一样多”？后一个命题不是同“这个房间有许多椅子”完全相类似吗？当然，在日常生活中，你不必在数量的析取上走得太远。但是，无论你走多远，你必须停在某个地方。这个问题在这里始终是：我如何认识这样的命题？我能永远把它当作无限的析取吗？

即使第一种情况被以这种方式得到解释，我们能够通过测量给这个圆确定一个位置和尺寸，尽管如此，这个一般性命题不能被解释为析取式(或者如果这样，那么就是一个有限的析取)。那么一般性命题的标准是什么，这个圆存在于正方形中的标准又是什么？也没有什么东西与大多数方位(或尺寸)有关，或其他的处理有限数量的这类方位相关的东西。

90.假设这是我的不完整的图像：一个红色圆处于其他颜色x的背景中。显然这个图像可以被用作肯定意义上的命题，也可以用于否定意义上。在否定意义上，它表达罗素表达的的～(∃x)·ϕx形式表达的意思。

那么，在我的陈述中有类似于罗素的的(∃x)·x？这就意味着：有一个x，红色圆位于这个颜色的背景上不是真的。或者换句话说：有一个背景颜色，其上没有红色圆。并且在这个语境中它没有意义!

可命题“有一个红色球在这个盒子外”或者“有一个红色的圆不在这个正方形中”如何理解呢？这是对视觉图像的更为一般的描述。这里的否定似乎是以不同的方式被应用。看起来我能够表达这个命题“这个圆不在正方形中”，以至于“不”不在这个命题的前面。可那看起来是个错觉。如果你通过语词“这个圆”意指“我正指向的这个圆”，那么这种情况当然是真的，因为它表达了“它不是我指向的那个正方形中的圆”，但是它不表达我正指向的这个正方形外的圆。

它与这样的事实相关联，给圆一个名称是无意义的。这就是说，我不能说“圆A不在这个正方形中”。因为我说“圆A在这个正方形中”，既使它不在正方形中，上述命题才有意义。

91.如果一般性不再与事实验证作用联结成一个均质的整体，那么否定不能出现在量化范围内。

当然，我会说：“有一个红色圆在这个正方形外面”意味着“它不是所有红色圆在正方形中的情况”。但是这里的“所有的”指的是什么？

“所有的圆在这个正方形中”或者意味着“一定数量的圆都在这个正方形内”，或者“没有圆在这个正方形外”。但是，“没有圆在正方形外”这个命题是一般性的否定，并且不是否定的一般性。

92.如果有人使我们面对这样的事实，语言能够通过名词、形容词和动词的意指表达任何事情，那么，我们只能说至少有必要在全部不同种类的名词之间做出区分，因为它们适用不同的语法规则。它通过这样的事实表明，不允许它们彼此互相替代。这表明，它们作为名词只是外部特征，并且我们事实上涉及语言的不同部分。语言的这个部分只是由拥有语词的全部语法规则决定，并且从这个观点看来，我们的语言包括无数不同的言语部分。

如果你给一个物体一个名称，那么你不能在相同的意义上给它颜色、形状、位置、表面以名称。并且反之亦然。

“A”是一个形状的名称，就不是一组石墨颗粒的名称。

名称被使用的不同方式恰与指示代词的不同使用相符合。如果我说“那是把椅子”“那是它站立的地方”“那是它拥有的颜色”时，语词“那”以许多不同的方式被使用。(我不能在相同的意义上指一个地点、颜色等等。)

93.想象两个平面，在平面1上有我希望根据某些投射方法描绘在平面2上的图形。确定投射的方法对我们来说是开放的(诸如互相垂直的投射)，然后根据这个映射方法摹画平面2上的图像。但是，我们也能采纳完全不同的步骤：我们可能出于某种原因规定平面2上的图像应该是圆，无论平面1上的图形可能是什么。这就是说，平面1上不同的图形被以不同的投射方式映射在平面2上。在这种情况下，为了说明平面2上作为图像的诸圆，我不得不为每个圆假设属于它的投射方法是什么。可被表达在平面2上的图像作为一个圆的事实将无所说明。情况也是如此，如果我们把它映射在主谓命题上。我们使用主谓命题的事实仅是我们的标记法的问题。主谓形式不在其自身中等同于逻辑形式，并且是不同的逻辑形式的表达方式，像是第二个平面上的诸圆一样。命题的形式：“这个盘子是圆的”“这个男人是高的”“这个斑点是红的”，在形式上没有共性。

弗雷格理论中的一个困难是语词“概念”和“对象”的一般性。因为即使你能够数出桌子、声音、震动和思想的数量，仍然很难把它们归于一类。

概念和对象：但那是主词和谓词。并且我们说主谓不属于逻辑形式的一种。

94.这就是说，显然，一旦你开始做算术，你就不会对函数和对象关注过多。确实，即使你只决定处理外延，不可思议的是你仍然会完全忽略对象的形式。

从某种意义上来说，对象不能够被描述。

就是说，这个描述可以把它归于没有属性，它的缺少会使对象自身的存在减少到零，即这个描述不可以表达对象存在的基本的东西。

95.我在某个位置看到三个圆；我闭上眼睛，再睁开眼睛，并且看到不同位置的三个相同大小的圆。这样问是否有意义：这就是那三个圆，并且哪一个是哪一个？当然没有意义。然而在我看到它们时，我能把它们识别出来。(即使它们在我眼前移动，我能把这几个在新位置的圆与先前的那几个识别出来。)如果我给它们名称，闭上眼睛，再睁开眼睛，并且看到这几个圆在相同的位置，我还能给出它们每一个名字。(即使它们因移动而交换了位置，我还能这样做。)在任何情况下，我都能给一个位置命名(直接或间接地)。

有可能发现一个新颜色吗？(因为一个色盲的人处于与我们相同的位置，他的颜色系统就如同我们一样完整；他看不到容纳剩余颜色的间隙。)(与数学相比)

如果有人说物质是不灭的，那么他真正追求的是在任何语境中谈论“物质毁灭”都是缺少意义的，无论是肯定还是否定它。

“这是……”这个命题形式的特征仅是外在于所谓记号系统的实际以某种方式进入符号的事实。

96.罗素和弗雷格把概念解释为事物的某种属性。但是把语词“人”“树”“论文”和“圆”等解释为基本属性就很不正常。

如果桌子被涂成棕色，那么就很容易把该木制品看作是棕色属性的承担者，并且你能够想象当该颜色改变时剩下的是什么。甚至在一个特定的圆当下呈现出红色、蓝色的情况下。因此，很容易想象红色是什么，但是却很难想象圆是什么。在这种情况下，如果形式和颜色改变了，剩下的是什么？因为位置是形式的一部分，并且对我来说，可任意规定该圆心固定不变并且形式中唯一的变化是半径的变化。

我们必须再次遵循普通语言，并且假设斑点是圆形的。

显然，短语“属性的承担者”在这个语境中完全表达错了——一个不可能的——想象。如果我有一块色调，我可以把它当作形式的承担者，并且大致说来是这想象的出处。

“这个斑点改变了它的形式”和“这色块改变了它的形式”基本上来说是不同的命题形式。

你可以说“计算一下，那是否是一个圆”或者“看看那边是否有一顶帽子”。你也可以说“计算一下，那是否是一个圆或陏圆”，但不可以说“……那是否是一个圆或一顶帽子”；不可以说“看那是否是一顶帽子或红色”。

如果我指着一条直线并且说“那是一个圆”，那么有人可能反对说，如果它不是圆，它就不会是那样。这就是说，根据语词“那”我意指的东西必定独立于我对它断定的东西。

(“那是雷声还是枪声？”这里你就不能这样问，“那不是噪声吗？”)

97.大致说来，圆的方程式是概念“圆”的记号，如果它没有确定的值替换它中心的坐标和半径，甚或，如果这些仅在某个确定的范围内给出。落入该概念的对象是圆，它的位置和大小被固定。

如何区分两个相同大小的红色圆？这个问题听起来它们似乎是一个圆，并且只能根据细节来做出区分。

根据方程式表达的方法，共性的两个圆是根据方程的形式而被表达，并且根据圆心坐标的不同而有差异。

因此，它似乎与落入该概念的对象相符合的东西在这里是其圆心的坐标。

那么你是否可以说，不用“这是一个圆”，而用“这个点是圆的中心”？因为，成为圆的中心点是这个点的外在属性。

对给出中心坐标的数字同圆心事实上不是任何事物，这数字对描述的仅是符号中构成圆的“不同”的东西。

98.一本书在某一确定的位置，对于这个描述什么是必要的？这本书的内在描述，即概念的描述，以及它的位置的描述，可能根据三个点的坐标给出。命题“这样的一本书在这里”，意味着它拥有坐标的三个角。因为“这里”的详细说明不必预先判断这里是什么。

无论我说“这是一本书”还是“这里是一本书”不是在说同一件事吗？那么，这个命题意味着要表达“那些是这样一本书的三个特定的角”。

类似地，你也可以说“这个圆是一个球体的投影”或者“这是一个人的显像”。

我说的这一切回到这里：F (x) 必定是x的一种外在描述。

如果在这个意义上，我现在说在三维空间中“这是一个圆”以及在其他情形下“这是一个球体”，这两个“这”是相同的形状吗？这两者不是指称相关中心点的三个坐标吗？但是，这个圆的位置在三维空间中没有根据它的中心确定。

假设我的视觉域由两个蓝色背景下的两个相同大小红色圆构成：在这里出现两个存在的是什么，出现的一个存在是什么？并且在任何情况下这个问题意味着什么？

这里，我们有一个颜色，却是两个命题。

Ⅹ

99.我们可以问，数字是否对所涉及的概念来说是本质的。我认为这意味着要问，讨论不同概念的各种对象是否有意义。例如，说“a和b和c是三个对象”意味着什么呢？显然没有。应当承认，我有一种感觉：为什么谈论概念？当然，数字仅依赖于概念的外延，并且一旦被确定了，概念就可以退出了。概念仅是确定外延的一个方法，但是外延却是自主的，并且在它的本质上，独立于概念。因为重点不是用什么概念决定外延。这是外延观点的论证。对它的直接反对是：如果概念真的仅是为得到外延的辅助工具，那么算术中就没有给概念留下位置。在这种情况下，我们必须把类与恰巧与其相联系的概念完全区分开。但是，如果它不是这样，那么独立于概念的外延就只是妄想，并且在这种情况下，最好根本不要谈论它，而只谈概念。

“(∃x,y,z)·aRx·xRy·yRz·zRb.∨.aRy·yRx·xRz·zRb.∨.……”(全部联结)这个命题怎么样？我能否把它写成更容易理解的形式“(∃3)x·aRxRb”——表达“在a和b之间插入三个项”？这里我们形成了这个概念：“a和b之间的项”。

(这些墙之间的事物。)

如果我有两个对象，那么我当然能至少假设，把它们置于同一类，但是描述外延的特征仍然是这个类，并且包括它的概念仍然是临时的，一个假象。

100.数字是概念外延的图像。

现在，我们可以把概念的外延当作对象考察，它的名称，如同其他的一样，仅在命题的背景下才有意义。应当承认“a和b和c”没有意义，它不是一个命题。那么“a”也不是一个命题。

如果这里的ϕ和ψ是x=a′.∨.X=b等的形式，那么整个命题就成了关注正确相加的装置。

在符号学使用中，有一个实际相关性的分类，然而，在意义的层次上仅相关的可能性处于讨论中。

问题是：我们如何能够为可能碰巧存在的事做准备？

无穷公理是无意义的，如果仅因为表达的可能性能够预设许多无穷的事物——即试图要断定的东西。你可以说逻辑概念诸如无穷的概念，它们的本质暗示着它们的存在。

101．

这个表达式与3+4=7的替换规则不相等。

我们也可以问：假设存在着满足一个函项的4个对象，表达这4个对象是2+2个对象是否始终有意义？我当然不知道是否有把它们分成2和2的函项。表达这4个是由两个对象和两个对象组成的是否有意义？

我上面使用的标记法“(3+4)x”等已经包含了这样的假设，它把7解释为3+4时总是有意义的，因为右边的3和4的出处已经被遗忘。另一方面，我确实能够始终在记号1+1+1+1+1+1+1中识别3和4。

也许存在着分解？对我来说在我不能把7的记号分成3和4时，它是什么？这样的记号可以想象吗？

说两个对象间存在着关系有意义吗，尽管没有包含它们两个的概念？

102.我要说的是，数字仅能够从命题的形式中得到定义，独立于命题为真或为假的问题。

对象a、b、c、d中，只有3个对象有属性ϕ。它能够通过析取表达出来。显然，其他情况下，数字的断定不指向概念。(尽管你可使它看起来像是通过使用“=”做到的。)

如果我说：如果有4个苹果在桌子上，那么就有2+2个苹果在桌子上，这仅意味着4个苹果已经包含了被分成两个一组和两个一组的可能性，并且，我不需要等着它们真的根据概念被分组。这个“可能性”指向意义，不涉及命题的真假。2+2=4可能意味着“无论什么时候，我有4个对象，就有把它们分成两个一组和两个一组的可能性”。

103.我如何知道||||||||和||||||||是相同的记号？说它们看起来像是不充分的。因为有大致相同的形态不能成为构成相同记号的东西，而是它们在数目上相等。

如果你写下(∃ |||||)等·(∃ |||||||)等·⊃.(∃ ||||||||||||)——A，你可能怀疑我如何得出右边括号里的数字记号，如果我不知道它是左边记号相加的结果。我认为这个表达式显然仅是5 + 7 = 12的应用，但不表达等式自身。

如果我们问“5+7=12”意味着什么——这个表达式的意义或指向是什么——回答是，这个等式是记号规则，这些记号明确说明记号是应用特定运算于其他两个记号的结果。5+7=12的内容(假定有人不知道它)恰好是，当他们在算术课上要学这个命题时，孩子们感到困难的东西。

我们完全可以不考虑命题A的特殊结构，并且仅关注其中数字记号间的联系。这表明关系独立于命题——即独立于使它为重言式的结构特征。

因为，如果我把它当作重言式来研究，我仅察觉它的结构特征，并且察觉其中的加法定理，而不考虑对命题来说是本质的其他特征。

加法定理以这种方式在命题中(在其他地方)被承认，而不是根据命题。

这个思想当然无意义，如果它在这里涉及命题的意义问题，并且不是重言式结构发挥作用的方式。

104.你可能会回答：我在记号A中理解的以及在数字记号之间称作关系的只是把概念的外延汇集在一起。我把右边括号的5个短杠组合在一起，与左边括号中的5个短杠一对一对应，剩下的7个短杠与左边括号中的7个短杠一对一对应，这12个短杠就是这么来的，或者也可以其他方式。可即使我循着这个思路，基本认识始终是存在的，5个短杠和7个短杠恰好是12个短杠(并且，例如4 + 4 + 4也是相同的结构)。它始终是对这个结构内在关系的认识，并且它不是某些命题或其他的逻辑思考为我们提供的。并且至于涉及的这个重言式的认识，除这个数目结构外，其他的一切都是次要的；对算术命题而言，只有数目结构才是关键。(其他的属于算术命题的应用。)

因此，我想要说的是：属于算术的不是5和7加一起的原因，而是这样做的过程以及它的结果。

假设我写出命题A，可我在右边括号中写错了杠的数目，那么你会并且仅能根据比较该结构发现这个错误，而不是根据应用逻辑定理。

如果被问及你如何知道右边括号中的短杠的数目是正确的，我只能根据结构的比较对它做出解释。

以这种方式，会出现弗雷格在算术中称为“胡椒核桃立场”的东西仍然有正当理由。

105.现在，我认为类的外在概念和数的概念之间的关系作为逻辑结构的特征是清楚的：外延是命题意义的特征。

106.现在，如果在A中的这个转换仅是算术模式的应用，那么根据重言式替换它或定义它是可能的或必要的吗？

这就是说，对A来说，算术模式应用的最为一般的形式是什么样的？

如果A只是——并且因此主要的——该模式的应用，那么就这个事实的本质来说，不意味着任何事，而只是重言式。

或：这个模式自身必须是重言式，并且重言式只是模式。

在这种情况下，你也不会再说A是该模式的应用——A会成为模式，不仅把它自身当作工具，而且是有目的工具，没有它终究是没用的。

除了这个模式，A包含的仅是算术的应用所必需的东西。

但是，根本没有什么东西是必需的，因为我们在没有给它们增加任何东西的情况下，也能完全理解和应用算术命题。

但是，形成重言式主要不是在这里，因为我们能够完全从重言式自身理解它，因为否则的话，为了把它理解为重言式，我们应该必须承认另外一个是重言式，如此等等。

107.算术命题，就像乘法表以及那一类的事物，或者像两边都不是完整式子的定义那样，是为应用于命题服务的。并且无论如何，我当然不能把它们应用于任何其他事情。(因此，我首先不需要关于它们应用的描述。)

没有对概念的科学研究，唯有直接的认识能够告诉我们3+2=5。

这就是我们反对“A成为命题3+2=5”这个命题的假设的原因。因为使我们能够说出这个表达式是重言式的东西自身不能够成为概念思考的结果，但是必须是直接可见的。并且，如果我们说数是结构，我们的意思是它们必须始终是那种我们用来表达它们的方法的性质。

我的意思是：数是我根据数的范式在我的语言中表达的东西。

这就是说，我把语言的数字范式当作我知道的，并且表达数是那些数表达的东西。

当我说，数与运算(运算系统)一道进入逻辑时的意思与这是相符的。

108.我先前说过的有关算术等式的本质，以及有关等式不能通过重言式的解释替换——我认为——这就是康德坚持7+5=12不是分析命题而是先天综合命题时意指的东西。

在我数马厩里的马和数这个马厩里不同种类的动物时使用的数是同样的数吗？在我数行列中的短杠和不同的组群时呢(根据不同短杠数而被界定)？

它们是否是相同意义上的基数依赖于它们是否有相同的句法规则。

(一个房间里有没有人是可以想象的，但是说房间里应该有一个没有种族的人，是不可想象的。)

算术是数的语法。数的类仅能根据与它们相关的算术规则而被识别。

109.人们总是不愿意给出算术的论证，根据表达某物的应用方式。似乎在其自身中就有着足够牢固的基础。当然它得自这样的事实：算术是其自身的应用。

算术不讨论数，它用数进行运算。

运算以运算为前提。

数不是空间和时间的一种逻辑特质吗？

运算自身仅存在于空间和时间中。

每一个数学运算都是其自身的应用并且唯如此它才有意义。这就是在给算术论证时没有必要谈论逻辑运算的一般形式的原因。

基数适用于主谓形式，但不是对这个形式的每个种类。并且它适用的范围描述了主谓形式的特征。

一方面，在我看来，你可以完全自主地发展算术，并且它的应用是自为的，因为无论它可以应用于什么地方，我们都可以应用它。另一方面，数的概念的笼统介绍根据运算的一般形式——诸如我给出的——不会成为被需要的东西。

你可以说算术是一种几何学；即几何学中的东西是纸上的结构，在算术中是运算(纸上的)。你可以说它是更为一般的几何学。

并且在这个意义上，我能不能说象棋(或其他游戏)也是一种几何学。

但是，在这种情况下，实现象棋的应用完全类似于算术的应用必定是可能的。

你可能会说：为什么限定算术的应用，它是自为的。(我可以制作一把小刀，而不受困扰于它会把哪种物质切开：因为那很快就会知道。)

反对我们限定应用范围的理由是，我们能够理解算术而在眼前又没有这样的范围的感觉。或者这样说：直觉反抗任何不被限制在已经存在于我们面前的思想分析的东西。

110.“看，它总是以相同形式出现。”如我们看到的，我们完成了一次实验。我们使用了1+1规则，并且从中你不能直接看到它们在三种情况下会得出相同的结果。

我们惊讶于数字与它们的定义功能准确无误地分开。更确切地说：数字的规则能准确无误地实现(当它们不在这些定义的控制之下时)。

它与几何学的内在一致性相关(奇怪)。

因为，你能够表达这些规则始终是预设了这些定义。可在什么意义上呢？严格说来，说一个记号预设根本不在那里的另一个记号意味着什么呢？它预设了它的可能性，即它的可能性在记号空间(语法空间)中。它始终是一个是否以及如何可能表达算术应用的最一般形式的问题。并且这里奇怪的是在某种意义上，它似乎是不需要的。并且如果事实上它不是必须的，那么它也是不可能的。

其应用的一般形式看起来是通过关于它无所言说的事实而得到表达。(并且如果它是一个可能的表达，那么它也是一个正确的表达。)

数字的陈述的特征是，你可以一个数代替另一个数并且命题始终是有完整意义的；并且许多的命题形式系列也是如此。

111.算术是一种几何学，这个评论的要点在于算术的结构就像几何学的结构一样是独立的，并且因此说它们自身保证了它们的适用性。

因为这样说几何学必定也是可能的，它是其自身的应用。

这是算术的结构，并且在某种扩展的意义上也是一种几何结构。

假设我希望用这个运算解决下列问题：如果我有11个苹果，并且打算把它们以这样一种方式在一些人中分配，每个人给3个，那么这里可能有多少人？这个运算提供给我的答案是3。现在，假设我要完成这个分配的全部过程，并且最后4个人每个人手中有3个苹果。那么，我会说这个计算给出了一个错误的结果？当然不。当然这仅意味着运算不是实验的。

数学计算看起来可能使我们有资格预测。假设我给3个人每人3个苹果，并且还剩2个。但情况不是这样的。在做这个预测中，为我们预言的是物理学的假设，它处在计算之外。这个计算只是逻辑形式和结构的观察，并且其自身不能提供新的东西。

112.短杠与法庭上的案件不同，但是你仍然可以在日历上用短杠表示法庭案件。并且你可以用短杠来计算法庭案件的次数。

如果我想算出帽子的尺寸，情况就不是这样。用3条短杠表达3个帽子的尺寸就有点奇怪。就像我用3条短杠表示3米长这个尺寸一样。你当然可以这么做，但是“|||”却以不同方式表达。

如果纸上的3条短杠代表着数字3，那么你可以说数字3将以3条短杠被应用的方式得到应用。

3条短杠是什么东西的图像，它们就可以被当作它的图像使用。

113.自然数事实上是通过事物给出的形式，如同有理数，我的意思是通过实际的形式给出的一样，等等。以相同的方式，复数通过事实上多元形式的东西被给出。(符号是真实的。)

把概念的外延的数字的说明从这个变项域区分出来的是什么？第一个是命题，第二个不是。有关变项的数字的说明可以从变项自身中得出来。(它必须表现自身。)

但是，我不能根据“表达它的值是全部对象满足一确定的重要的函项”指定变项吗？在这种情况下，这个变项就不是形式!并且一个命题的意义依赖另一个是否为真。

有关变项的数字的说明存在于表达它的可见值的数这个变项的转换中。

114.“在5和8之间有一个质数”是哪种命题？我会说“它表现自身”。并且这是正确的，但是，你不能注意到这个内在事态吗？当然，你可能会说：在10和20之间搜索质数，有多少？那不是一个明确的问题吗？并且，它的结果如果正确的，那么它如何表达或被表达？“10与24之间有4个质数”这个命题意味着什么？

这个命题似乎把我们的注意力拉回到了这个问题的特定的一面。

如果我问其他人，“10与20之间有多少质数？”他可能回答：“我不能马上回答，但是我可以随时找到它们。”因为，似乎某些地方已经写出来了。

如果你想知道命题意味着什么，那么，你可以始终追问“我如何知道它”。我知道这个屋里有3个元素的6种排列方式，并且以同样的方式知道在这间屋里有6个人？不。因此第一个命题与第二个命题不同。

另一个同样有用的问题是“这个命题在实践中如何被使用”。并且这个得自结合理论的命题当然作为结论性规则来应用，在从一个命题转换到另一个命题中，每一个都描述实际，不是一种可能性。我想，你可以说，约束命题的使用是有关可能性的——及不可能性——始终是从一个真实命题过渡到另一个命题。

因此，我能够，例如，从这个命题“我把7个盒子按照a、b、c排列方式贴上标签”中得出，至少有一个标签是重复的。并且从命题“我把5个汤匙放在4个杯子里”中也可以得出结论，接下来就是有一个杯子里有两个汤匙，等等。

如果有人不同意我们有关这个屋子里的人数的观点，说有7个，在我们仅看到6个人时，我们能够理解他，即使我们不同意他。但是，如果他说对他来说有5个纯粹色，在这种情况下，我们就不能理解他了，或必定假设我们完全相互误解了。这个数在字典和语法中被定界限了，并且不是在语言中。

Ⅺ

115.数字的陈述并不始终包含一般性或不确定性：“AB线段被分成两个(3个、4个等)相等部分。”

数字的陈述中甚至不需要某种一般性元素来说是本质性的。假设，例如，我说：“我看到3个相等的圆彼此距离相等。”

如果我给出视觉域中的处于蓝色背景上的3个红色圆一个正确的描述，那么肯定不会出现“(∃x,y,z):x是圆的并且是红色的以及y是圆的并且是红色的，等等”这样的表达形式。当然，你可以写成这样：有3个有着红色属性的圆。但是，就这一点来说，在不恰当对象——视觉域、声音域等等中的颜色斑块——和认识的元素、真正的对象之间的不同出现了。

有关这3个圆的命题没有以(∃x,y,z)·φx·φy·φz这种形式的命题的一般性或不确定性，这是显而易见的。就是说，在这种情况下，你可以说：我当然知道3个事物有属性，但是我不知道是哪一个属性；并且你不可以在3个圆的情况下表达它。

“现在，在视觉域中有3个这样尺寸和在这个位置的红色的圆”完全决定了这个事实，并且说我不知道它们是哪个圆就没有意义。

思考一下这样的“对象”：一个闪电，两件同时发生的事，一条直线与一个圆的切点，等等；视觉域中的3个圆是全部这些事实中的一个实例。

你当然可以把主谓形式(或者，达到相同的事物，这个自变数——函数形式)当作表达的标准，并且无论我们什么时候使用数，数都可以被表达为谓词的属性，这是公认的重要特征。只是我们必须清楚，我们现在不是在处理对象以及把概念当作分析的结果这个事实，而是我们用来规定命题的规则。当然它符合规则是有意义的。但是，符合一个规则与分析相反。(如果你想研究苹果树的自然生长，你就不要研究葡萄树——除非你要看这棵树在苹果树的压力中的反应如何。)

这表明弗雷格的数的理论可应用于提供我们不打算给出的命题分析。这个理论解释了日常语言惯用语中数的概念。当然，弗雷格会说(我记得我们的对话)月食的出现和法庭审判的同时出现是一个对象。那么这错在哪儿？只是在这种情况下，我们使用模棱两可的语词“对象”，导致这个分析的结果被扰乱。

如果我说，“这间屋里有4个人”，那么看起来至少有一个选言判断涉及其中并起作用，因为它没说哪些人。但是这无关紧要。我们可以想象所有人都不能够从其他人那里区分出来，除了他们的位置(因此，人也就是处于一定空间位置的人类)，并且在这种情况下，全部不确定性就会消失。

116.如果我是正确的，不会有“纯色”这样的概念；命题“A有一种纯色”仅意味着“A是红色的，或黄色的，或绿色的，或蓝色的”。“那顶帽子属于A或B或C”和这个命题“这顶帽子属于这个屋子里的某个人”不是相同的命题，虽然，事实上只有A、B和C在这个屋子里，因为它需要先说明。“这个东西的表面有两个纯色”，意味着“这个东西的表面上有红色和黄色，或者红色和蓝色，或红色和绿色，等等”。

即使我不能说“有4种纯色”，仍把纯色和数字4以某种方式联结在一起，并且以这样的或那样的方式出现，例如，我说：“我能在这个表面上看到4种纯色，黄色、蓝色、红色和绿色。”

这种情况必定恰好类似于排列。AB的排列(不重复)是AB、BA。它们不是概念的外延，它们仅是概念而已。但是在那种情况下，你不能说它们是两个。并且，显然我们研究的只是组合理论。我觉得，作为相关性问题类似代数和算术中的归纳之间的关系。或者这个联结与几何与算术之间的联结一致？事实上，AB有两种排列，这个命题完全类似于一条直线与一个圆相交有两个交点的命题。或者，它同二次方有两个根的命题相同。

如果我们说，AB有两种排列，听起来像是我们已经做了一个一般的判断，与“这间屋子有两个人”类似，有关这些人无需进一步说明的东西，也不必知道。但是在AB情况下就不是这样。我不能给出AB、BA的更为一般的描述，并且因此这个两种排列是可能的命题不能表达任何比可能有AB和BA这两种排列的命题更少的含义。说3个元素的6种排列所表述的含义，例如，比通过模式显示的更为一般的东西：

ABC

ACB

BAC

BCA

CAB

CBA

因为在不知道它们是哪一个的情况下，就不可能知道可能的组合数目。并且如果不是这样的，数理学也就不能够得出它的一般形式。组合的形式中我们看到的规则通过等式p=n!得到表达。在相同的意义上，我认为，就像圆通过它的等式给出一样。——当然，我可以把数字2和组合AB、BA联系起来，就如同我能够把6与A、B、C的完整组合联系起来一样，但是这不能给出组合理论的一般原理——我在AB、BA中看到的是不能够被描述的内在关系。就是说，不能够被描述的东西是使得这组排列完整的东西。我只能计算实际在这里的东西，而不是可能性。但是，我能够计算，例如，如果他把3个元素的组合写下来，计算出人们必须写出多少行，并且直到如果不重复它就不能再进行下去了。这意味着他需要6行写下这些组合ABC、ACB等，因为这些就是“A、B、C的组合”。但是说这些是A、B、C的全部组合则是无意义的。

117.我们可以想象一组像俄罗斯算盘一样的组合计算器。

显然，这里有一个数学问题：“有多少种组合——假设——4个元素？”这与“25×18是什么”恰好是一类的问题。因为在这两种情况下，都有一般的解决方法。

但是，只有在涉及这个方法时，这个问题才存在。

3个元素有6种组合这个命题与组合模式相同，并且“3个元素的7种组合”这个命题不存在，因为没有这样的模式与它相符合。

你也可以说这个命题“3个元素的6种组合”与这个命题“这个屋里有6个人”相关，这与“3+3=6”恰好是相同的方式，你也可以在这个形式中计算“3+3中有6个单位”。并且就像在同一情形中，我能够数出组合模式中的行，因此在另一种情形中我能够计算出|||其中的短杠。

就如同我能够根据下列图式证明3×4=12一样：

OOO

OOO

OOO

OOO

我也能根据组合模式证明3!=6。

118.我说我有许多的汤匙能够和我的12个碗一对一相符，这是什么意思？

或者这个命题假设我有12把汤匙，在这种情况下，我不能说它们与12只碗关联起来，因为相反的情况是不可能的；抑或不假设我有12把汤匙，在这种情况下，它假设我能够有12把汤匙，并且这里是自明的，不用再说什么了。

你也可以问：这个命题表达的比我有12把汤匙少吗？它只有与其他表明我有12把汤匙的命题一起才得出这一结论的意思吗？如果p仅得自q，那么q已经表达p了。产生这一转变的思想的显而易见的过程，不包含在其中。

集的符号是一份表格。

我能在不知道有多少的情况下，却知道这个桌子上的苹果与梨一样多吗？并且不知道有多少意味着什么呢？也许是根据计算。显然，你能够根据相关性发现有相同的数目，而不计算这个集。

罗素的理论中，仅事实上的相关性能够表明这两个类的“相似性”。并非相关的可能性，因为它恰好存在于数目上的相同中。确实，这个可能性必须是概念外延间的内在关系。但是，这个内在关系仅通过这两个数目的相同而被给出。

基数是表格的内在属性。

119.我们根据不同种类的证据，把物理事件的出现区分为听到的、看到的、测量到的等等，并且理解在每种情况下，只有一个排列秩序的形式元素，我们称为空格。

3个圆和2个十字之间一对一关系的不可能性具有哪些类型？我也可以问——并且它显然是同一类型问题——哪种不可能性是根据画平行线做出的相关联的不可能性，如果按照图示显示的方法？

一一对应的可能性表现在那个有意义的命题中——真或假——断言了它的存在。并且上面讨论的相关性是不可能的，通过我们不能描述它的事实而得到表明。

我们假设在这个正方形中有两个圆，即使事实上有3个，并且这个命题不过是假的。但是，我不能假设这组圆由两个圆组成，也不能假设是3个圆组成，因为这表述了一种内在的属性。

说度有这样或那样的数是无意义的，因为这个数是度的内在属性。但是你可以把数归于汇集这个度的这个概念(就像你可以说，这个度满足这个概念)。

120.值得注意的是，在重言式或矛盾式的情况下，事实上你可以说弗雷格意义上的意义和所指。

如果我们称重言式的意味在于它具有同义反复这一特征，那么我们可以这里出现的这种方式称这个重言式的含义。并且对矛盾式也是如此。

如果，像拉姆塞提出的，“=”这个记号通过表达x=x是重言式得到解释，并且x=y是矛盾式，那么我们可以说这个重言式和矛盾式在这里没有“意义”。

因此，如果重言式通过这个意义给予这个所指的事实表达某些东西，那么，重言式在拉姆塞看来什么也没有表明，因为它是根据定义产生的重言式。

那么，“”这个记号和根据重言式和矛盾式可得到的等号之间有什么联系？

“p·q=～(～p∨～q)”是一种重言式吗？你可以说“p·q=p·q”是重言式，并且因为根据定义，你可以用“～(～p∨～q)”替换其中的一个记号“p·q”，前面的表达式也就是重言式。

因此，你不应该像这样写等号的说明：

x=x是重言式。

x=y是矛盾式。

但是必须说：当且仅当“x”和“y”根据该记号规则有相同的指称时，那么“x=y”是重言式；如果“x”和“y”根据该记号规则没有相同的所指，那么“x=y”是矛盾式。在这种情况下，像这样不同的定义，写下这个等号是合适的，把它从“x=y”中区分出来，表达记号规则并且表明我们可以用y替换x。这就是我从上面被说明的记号中不能得到的东西，而只能从它是重言式的事实中得到，可我也不知道它，除非我已经知道该替换规则。

在我看来，你只可以把数学等式与有意义的命题相比较，而不是与重言式。因为等式恰好包含这个表述的元素——该等式记号——不是被用来指派某物的。因为无论怎么表明自身，它表明的是自身而不表明等号。这个等号与在“p·(p⊃q).⊃.q”中的“.⊃.”不同，因为这个“.⊃.”仅是构成这个重言式的一个元素。它没有退出它的语境，而属于这个命题，“·”或“⊃”也以相同方式起作用。而这个“=”是系词，使得这个等式成为某种命题的东西。重言式显示某种东西，等式什么也不显示。相反，它的各项表明某些东西。

121.等式是句法规则。

这是否解释了我们不能有在原则上不可回答的问题的原因？因为如果这个句法规则不能被把握，它们就根本没用。并且同样的，它解释了为什么超过我们理解力的无限不能进入这些规则。形式主义者试图把数学看作有记号的游戏也是可理解的。

你当然可以把记号规则，例如定义，解释为有关记号的定义，但是你根本不必把它们当作命题。它们属于语言的辅助手段。不同于语言命题中另外的辅助手段。

拉姆塞的同一性理论犯的错误，会使得有人认为你可以把画也当成镜子，即使只是某一单一的姿势的反映。如果我们说，我们忽视对镜子是基本的东西恰好是你能从其前面的身体的姿势中推理出来的，反之，在绘画的情况下，你必须知道前面的姿势标签，你可以把这个图像解释为镜子的图像。

威尔的“异质的”矛盾：

122.我们可以把数学命题想象为一个自己知道其是否为真或为假的生物。(与真正的命题不同。)

数学命题自身知道它是真还是假。如果它是关于数的，它必定也概览其他数。

它的真或假必定包含其中，因为那是它的意义。

这样的命题如“(n)～Chr n”的一般性只是真正的、实际的、数学的一般性的说明。似乎它只是一般性命题的描述，而不是一般性本身。似乎这个命题仅以纯粹外在方式形成一个记号，并且你仍需从中给这个记号一个意义。

我们觉得这个通过数学断定的一般性不同于被证明命题的一般性。

数学问题如何与它的答案相关？

我们可以说：数学命题暗自指向证明。

一般性不能既是经验的又是可证明的。

如果命题要有明确的意义(并且否则它就无意义)，那么它必须——检查——完全理解它的意义；一般性，只有在它被完全确定的情况下才有意义——例如，它的变项的全部值。

Ⅻ

123.根据一系列的测试，如果我沿着无限延伸的线路前行，为什么在这种情况下它应该是不同的？并且在这种情况下，我当然是永远达不到终点。

但是，如果我仅仅沿着无穷延展的线路一步一步向前，那么我就根本把握不了这个无穷延展。

因此，我以不同的方式把握它；并且如果我掌握了它，那么有关它的命题仅以理解这个命题的方式得到证明。

因此，它不能通过假定的无穷地前行得到证明，这样的前行也不会达到目的，因为，这个命题当然能够像前面的无限一样越过我们。不，它只能通过一步而得到证明，就像我们仅能在一个步骤中把握数的全部。

我们也可以说：没有通向无限的路，甚至没有无限的路。

这种情况可能是这样的：我们有一条无限长的树列，并且为了观察它们，我在它们旁边开通一条路。好，这条路必定是无限的。但是，如果它是无限的，那么这恰好意味着你不能走到它的尽头。就是说，它没有把我置于观察的位置。(据推测不是。)这就是说，无尽路不是有“无限远”的尽头，而是没有尽头。

124.“对我们人来说”，一个一个地把握自然数不只是不可能的；它是完全不可能的，它没有意义。

你也不能说，“命题不能一个接一个地把握所有数，因此，它必须根据数的概念把握它们”，似乎这是一个权宜之计：“因为我们不能这样把握它，我们必须以其他方式把握它。”但它不是这样的：当然，一个一个地把握数是可能的，但是不能导入全部数。因为这个全部数仅是作为概念而存在。

“如果我穷尽该数的系列，我最后或者得出该数所需要的属性，或者永远得不到”，对这个反对意见，我们只需要回答，认为你最终达到数以及你永远都达不到那个数一样没有意义。当然，说101是或不是讨论中的这个数是正确的。但是你不能谈论全部数，因为没有全部数这样的东西。

125.你能说，你不能预见6-4恰好是2，而只有当你完成时才能理解它吗？

在逻辑概念(1,ξ,ξ+1)的情况下，其对象的存在是通过概念被给出的，它自身的存在表明它(概念)决定它们(对象)。

而且，显然每个数都有其自身的不可还原的个性。并且，如果我想证明数有某种属性，我必须始终以某种方式把数自身带进来。

在这个意义上，你可能说，特定数的属性不能被预测。你仅能在你达到那时才能理解它们。

有人可能会说：即使我不能把310写下来，难不成也不能证明它？好，310已经是这个数，只是写下来的方式不同。

基础的只是重复运算。重复的每个阶段有它自己的个性。

但它不像我们使用的从一个到另一个的个别运算，以至于该运算会成为从一种个性到另一种个性——像交通工具一样停在每一个我们能够研究的数字上：不，3次应用加1这个运算结束后就是数字3。

“极其复杂的规律”意味着根本没有规律。你如何知道它是极其复杂的？只是根据有无限多与这个规律近似的东西。但这不表明它们事实上接近无限吗？或者是这个质数数列的许多描述被称为近似规律？不，因为没有对有限线段的描述会使得我们更接近完整描述的目标。

那么，极其复杂规律如何能够在这个意义上根本不同于没有规律？

在这种情况下，这个规律至少会运行“任何如其所是的东西”。

126.然而，对数的一般性描述看起来仍然好像没有意义。我的意思是：你不能确切地说出“(n)·n”，因为“所有的自然数”不是有界限的概念。人们也不应该说一般性命题得自有关自然数的本质命题。

但是，在这种情况下，在我看来我们根本不能使用一般性——所有，等等——在数学中。没有作为“所有数”这样的事物，只是因为有无穷大。并且因为这里不是“所有的”模糊的问题，如“所有的苹果都是成熟的”。这个集合通过外在描述给出：而只涉及必须作为结构本身而给定的结构的整体。

可以说，当我们谈论所有的苹果时，到底有多少苹果与逻辑无关。然而，在数的情况下就不同了：那里，逻辑对它们中的每一个都有自己的责任。

127.像“(∃n)·4 + n = 7”这样的数学命题意味着什么？它可能是“4 + 0 = 7·∨·4 + 1 = 7·∨·4 + 2 = 7·∨·如此等等以至无穷”的析取。但是这又意味着什么呢？我可以从头到尾地理解命题。但是人们也能理解一个没有结尾的命题吗？

人们根据你可能形成的无限多无穷命题给出无限规则，我发现这是可以理解的。但是，无尽命题是什么意思？

如果没有有限的逻辑结果使命题为真，那么它就意味着没有逻辑结果使它为真。并且因此它不是逻辑结果。

128.那么，我是否可以这样说一个等式，“我知道它对某些替换无效——我现在已经忘记了有什么替换；可我不知道它是否在普遍上无效”吗？它没有意义，并且它与不等式的一般性不相容吗？

这是回答吗：“如果你知道不等式适用某些替换，那不意味着‘对于无穷系列的某些(任意的)数的替换’，但是我始终知道这个数介于1和107之间，或者在某些界限内。”

我能够知道一个数满足该等式，没有被标记出作为它出现于其中的有限系列中的有限部分吗？不能。

“上帝能否知道π的所有位数？”对经院学者来说是一个好问题。在所有的这种情况下，回答都指向“这个问题没意义”。

“这个亮度不会伤害到我的眼睛”意味着，我观察过我以前的经验与一般形式的规律相符。

129.有关所有的命题或所有的函项的命题，是先天的不可能：这样的命题试图所要表达的必定会通过归纳来证明的。(例如，与所有命题～2np表达相同。)

这个归纳本身不是命题，并且它排除了一种循环论证。

当我们构造“命题”这个概念时，我们要把什么与它区分开？

这不是就一般意义上的我们仅能给出命题的外在描述吗？

同样的，如果我们问：有一种规律的一般形式吗？与其相对的是什么？当然，规律必须填满全部的逻辑空间，并且因此我不再能够对其作进一步的限定。

数学上的一般性根据归纳而被阐明。

归纳是数学一般性的表达式。

假设一个游戏规则之一是“写出一个0和1之间的分数”。我们能理解它吗？我们在这里需要任何的界限吗？并且，“写出一个大于100的数”，其中的规则是什么？这两个完全是可理解的。

我一直在说你不能说出所有的数，因为没有“所有的数”这样的东西。但那仅是感觉的表达式。严格说来，人们应该说“数学中，我们从不谈论有关所有的数，并且如果有人还是以这种方式谈论，那么可以说他虚构了某种东西——无意义的——补充到数学事实上”。(虚构出的任何东西作为对逻辑的补充必定是无意义的。)

130.很难使你自己完全从这个外延的观点上脱身，你继续思考：“是的，但在x3+y3和z3之间存在内在关系，因为这个外延，只有在我理解它时，会显示这个关系的结果。”或者也许是：“它确定必须对所有的n都有这个属性，或者不是，即使我不理解它。”

如果我写下“(∃x)·x2=2x”，并且把“(∃x)”理解为并不是无限延伸的，它仅可能意味着：“如果我就用这个规则解释这样的等式，我就会得到一个特定的数，这与我得到一个恒等式或者是一个被禁止的等式的情况相反。”

狄得金德对无穷概念解释的缺陷在于“所有的”概念应用于独立的形式内涵中，如果人们能够这样提出问题——进入它的概念的对象是有穷数目还是无穷数目。简单的解释是：如果这个适应一个对象，那么另一个也一样。它根本不考虑全部对象，它仅表达此刻眼前的对象的某些东西，并且它的应用是有穷的或者可能在某些情况下是无穷的。

但是，我们如何知道这样一个命题？它如何被验证？与我们意指的东西真正相符合的根本不是命题，它是从ϕx到ψx的推论，如果这个推论是允许的——但是，这个推论不是通过命题而被表达的。

说一条直线可以被无限延伸是什么意思？“依此类推乃至无穷”这种情况是不是完全不同于数学中的归纳？根据以前发生过的事，更进一步延伸它的可能性的表达存在于描述被扩展直线的意义中，或扩展它的行动中。它根本不像是与数联系在一起。我可以想象正在画这条直线时不停地移动并且始终保持这个动作的铅笔。但是，不该存在伴随这个过程的可数的过程可以想象的吗？我认为没有。

131.欧几里得证明的一般性。我们假设这个证明在一个三角形中被完成了，但是，这个证明在所有三角形中都有效——或者在任意三角形中有效。首先，对一个三角形有效的，对其他每个三角形都有效，这很奇怪。对一个医生来说，检查一个患者，于是得出结论，他在这个病例中发现的必定对其他人来说也是真的，这显然不行。并且如果我现在测量一个三角形的角并把它们加起来，事实上我不能得出结论，每个其他三角形的三个角的和都是一样的。显然，欧几里得证明对三角形的整体无所说。一个证明不能超越其自身。

再多证明的构思都不是实验的，并且如果它是，它的结果对其他情况不能提供任何证明。于是对这个构思没有必要用铅笔和纸完成，但是对该构思的描述必须满足显示本质的全部东西。(实验的描述不足以为我们提供实验的结果，它必须被实际完成。)欧几里得证明中的构思恰与借助于俄罗斯算盘的2+2=4的证明一样。

并且，难道这不是由p、q、r等等阐明的逻辑重言式所拥有的一般性种类吗？

这些事实中的主要观点是，被阐明的不能根据命题而被表达。

132.如果我说“这个世界最终要走向灭亡”，那么，如果这个日期无限向人们开放，就根本没有意味着任何事。因为它与这个世界在你提到它的任何一天都存在这个陈述相容。无限的是该命题形式“n天以后，这个世界将会走向尽头”中数的可能性。

为了理解问题的意义，需要考虑它的回答是什么。

对“A是我的祖先吗？”这个问题，我能想象的唯一的回答是“A会在我祖先画廊里被发现”或“A不会出现在我祖先的画廊里”(根据我祖先的画廊，我理解关于我祖先各类信息的全部)。但是，在这种情况下，这个问题只是与“A会在我祖先的画廊里发现吗？”意思相同。(祖先的画廊有尽头：这是句法命题。)如果上帝要向我透露A是我的祖先，但是又没告诉我是哪一代，这个启示对我来说仅意味着，我会在我的祖先中发现A，如果我寻找得足够久；但是，因为通过N个祖先寻找，这个启示必定意味着A是这些N中的一个。

如果我问在π的展开中有多少个9直接跟在3.1415的后面，意味着我的问题指向这个展开，回答或者是在这个扩展的展开的最后(第N位)，我们穿越一系列的9，或者9紧随其他直到第N位。但是，在这种情况下，这个问题可能仅有这个意指：“π的最前面的N位数——5位全都是9吗，或者不是9呢？”——当然，这不是我们感兴趣的问题。

133.哲学上，它始终是任何小孩子都知道的纯粹简单的基本原则系列的应用，并且这个——巨大的——困难仅是应用这些于我们语言造成的困惑中。它从来不是最近的外来物种实验的结果，或者数学上最新的发展结果。但是，这个应用于基本原则之上的困难动摇了我们在这些原则自身之上的信心。

134.这是哪类问题：“在这张纸条上，你可以看到位于黑和白之间的全部灰色色调的差别吗”？乍看起来似乎我们正在讨论无穷多种色调。

确实，在这里我们陷入一种两难的境地，并且在它们之间的区分只能是有限的多种颜色，并且我们看到一种连续的过渡。

想象一种特定的灰色与在黑和白之间的无穷多种灰色同样是不可能的，就像是把切线t想象为无穷多从t1到t2转变的一个阶段一样。如果我看到一个卷尺从t1到t2滚动时，如果它的运动是连续的，这个意义上没有单独的中间状态，当这个切线t处于静止时，我看到t；或者我仅看到这样的有穷数的命题。

但是，如果在这种情况下，我似乎是从一般命题中推断特定事实，那么这个一般命题就不会从经验中得出，并且这个命题也不是命题。

举例来说，如果我说：“我看到这个尺子从t1到t2运动，因此，我必定看到它在t处，这里我们没有提供有效逻辑推理。”就是说，如果我意指的是这个尺子对我来说必定出现在t处——如果我在谈论的这个命题在视野中——那么它至少不是从前一个命题中得出的。但是，如果我正在谈论的是关于物理上的尺子，那么当然对这个尺子来说跳过位置t是可能的，并且，对视野中的这个现象保留了连续性。

135.拉姆塞提出，通过否认这个形式的全部命题来表达满足函项的无限多对象的命题：

～(∃x)·φx

(∃x)·φx·～(∃x, y,)·φx·φy

(∃x, y)·φx·φy·～(∃x, y, z)·φx·φy·φz, 等等

但是，我们假设仅有3个对象，即仅有3个有意义的名称。那么我们不再可以写下这个系列的第4个命题，因为它这样写没有意义：～(∃x, y, z, u)·φx·φy·φz·φu。因此我没有根据否认这个系列的全部命题达到无限性。

“我们根据描述就知道无限性。”那么，仅有描述并且没有其他。

136.在什么程度上，无穷的标记法预设了无限的空间和无限的时间？

当然不能预设一张无穷大的纸。但是，预设它的可能性怎么样？

我们确实可以想象一种穿越时间而不是空间的标记法。如谈话。这里我们也清楚地发现想象无穷的表达是可能的，但是这样做，我们当然没有做任何有关时间的假设。时间对我们来说是基本的无限的可能性。

确实，从我们对它结构的了解看，它显然有着无限性。

当然，数学应该依赖涉及物理空间的假设是不可能的。并且在这个意义上，视觉空间不是无穷的。

并且，如果它不是关于实际的，而是关于无限空间假设的可能性的问题，那么这个可能性必定在某处是预先存在的。

这里，我们遇到视觉空间扩展中也显现的这个问题，即可见的最小差别的问题。这一差别的存在与连续性相矛盾，并且这两个必定彼此调和。

137.如果我有黑白相间斑条系列，通过连续平分，我不久就会到达我不再能够区分黑白斑块的界限，就是说，这里只有灰色地带的痕迹。

但是，这不意味着我视觉中的条状地带不能无限期地被平分下去？并且我看不到中断，当然，我也不会看到中断，因为我仅能看到不连续性，如果我没有到达可分辨性的界限。

这看起来非常荒谬。

但是，各个条列之间的连续性如何？显然，存在着倒数第二个可分辨斑点的条列和最后的灰色条列；但是，你能从最后一排分辨出，它事实上是根据倒数第二个条列的划分而得到的吗？显然不是。另一方面，你能分辨出倒数第二个条列，它不再能够被平分？在我看来，不能。在这种情况下，不会有一个可视范围内最后被划分的条列!

如果我不能更进一步明显地划分这个线段，我甚至不能尝试，并且因此不能看到这个尝试的失败。(这就像是可见空间的无限性的问题。)

显然，相同情况也出现在颜色间的差异中。我们视觉域中的连续性存在于我们看不到的中断上。

138.但是，如果我始终能够看到有限数目的事物、分隔、颜色等等，那根本没有无穷，无论任何意义的无穷。这里的感觉是：如果我始终能够看到一点点，那么，就不会有更多。似乎它是这样的事实：如果我仅看到4个，那么就没有100个。但是，无限在这里没有数的作用。这的确如此：如果我仅看到4个，就没有100个，甚至没有5个。但是有这个无限的可能性，不是通过一个小的数目也不是通过一个大的数目占据，并且事实上只是因为无限可能性自身无大小。

当然，我们都知道说有无限的可能性和有限的现实性，这意味着什么，因为我们说空间和时间是无限的，但是我们始终只能够看到或经历它们的有限部分。但是从这里，我们究竟得到了任何无限的知识了吗？在某种意义上，我必定有两种经历：一个是有限的，并且不能超越有限(这样的超越的观点是无意义的，即使是在其自身的意义上)，和一个无限的。这就是它的方式。经验，作为事实的经验给我提供的是有限性；对象包含这个无限性。当然，不是指一种同有限经验相竞争的量的大小，而是指一种内在性。不像我能够把空间看成实际的虚无，仅有非常有限小的经验于其中。但是，我能够在空间中看到有限经验的可能性。这就是，对空间而言，不存在经验能过大或者正好填补它：当然不是因为我们熟悉每个经验的大小以及知道空间比所有的体验大，而是，因为我们把它理解为属于空间的本质。在空间的最小部分上，我们认识空间的这种本质的无限性。

离谱开始的地方是我们把大数而不是小数当作接近无限的习惯。

就像我说过的，无限不与有限相竞争。无限的本质不排除任何有限。

“任何”这个词出现在这个命题中，并且这不应该被解释为无限的连词表达，相反，“本质上不”和“任何”应该被放在一起。毫不奇怪，我只能借助无限自身来解释无限，即不能解释它。

空间没有扩展，仅空间中的对象被扩展，但是无限是空间的属性。

(这本身就表明，无限不是无限的扩展。)

这一结论也适用于时间。

139.无限分割是怎么回事？我们回忆一下有一种观点，说我们能够想象任意有限数，但是不能想象一个关于部分的无限数；可这恰恰是构成无限可分的东西。

“每个”在这里不意味着我们能够想象所有部分的总和(我们不能，因为没有这样的事物)。但是有可变的“可分性”(即可分性的概念)，它对实际的可分性不设限制；并且它构成了它的无限性。

但是，我们如何构思无限的假设？如有无限多恒星(显然，最后仅有限实际能够与其相符)。再有，它只能通过规则而被给出。我们思考一下无限红球的序列。我们思考一下无限电影胶片。(它能给出屏幕上的任何有限事物的可能性。)这是假设达到无限假设的典型的事实。对我们来说，没有经验与其相符是显然的。它仅存在于“第二个系统”中，也就是语言中；但是，它如何在那里被表达？(如果一个人能够想象无限的胶片，那么就他关心的来说，有一个无限的实际，并且数学中的“真无限”也是如此。)它通过这个命题形式表达：“(n): (∃nx)·φx”。任何与无限可能性相关的事物(有关这个胶片的所有无限的表述)，在这个表达式中的第一个括号中反映出来，并且限制这可能性的实际与第二个括号中的它相符合。

但是，可分性与实际分割的关系是什么？如果某些从未被分割事物可以成为可分的。

确实，在原始的给定物中，可分性意味着什么？你如何能够在实际与可能性之间做出区分？

像我这样把无限可能性控制在有限的范围内必定是错的。

因为这使它看起来似乎是无限的现实性是可以想象的，即使没有这样一个实际并且看起来是可能的无限扩展和实际上是有限的问题：似乎无限可能性必是无穷数的可能性。

并且，当我们说“这条直线可以被分成3个部分”，以及在我们说“这条直线始终能够被无限划分”，再次表明我们正在处理“可能的”这个词的两个不同的意义。(这也是根据上面的命题指明的，是否在视觉空间中有实际的和可能的问题。)

说视觉空间中的斑块能够被分成三个部分，这是什么意思？确实，它可能仅意味着以这种方式描述一个被分割斑块的命题有意义。(如果它不是物理对象的可分性和视觉中斑块之间的混淆问题。)

然而无限的——或者更确切地说是无条件的——可分性不意味有描述被分成无限多部分的线段问题。因为没有这样的命题。因此，这个可能性不是根据任何记号的实际给出的，而是根据在记号自身中的不同种类的可能性。

如果你说空间是无限可分的，那么严格说来这意味着：空间不是由个体事物(部分)构成的。

在某种意义上，无限可分性意味着，空间是不可分的，它不受任何分割的影响。上述诸事物：它不是由部分组成。更多的是它似乎要表达实际：你可以在我(空间)这里做你想做的。(你可以像你愿意的那样在我这里做出划分。)

空间给予实际无限分割的条件。

并且这就是在第一个括号中只有一个字母的原因。显然仅一个机会，没有更多的了。

140.时间要素是无限的吗？就是说，它是无限可能的吗？即使它仅由记忆所及的范围里得到实现，绝不表明它是有限的。它在相同的意义上与视觉的三维空间一样是无限的，并且运动空间是无限的，即使事实上我仅能看到我的房间的墙。因为我看到的预设了看得到更远的可能性。就是说，我可以正确表达我仅根据无限形式看到的。

想象有一个尽头的时间或者有两个尽头的时间(起点和终点)是可能的吗？

现在能够发生的，过去也能够发生，并且如果时间保持不变，将来总会发生。但这不依赖于将来的经验。现在的时间包含所有未来的可能性。

但是，时间自身表明，在无限集合的最初概念的意义上，时间不是无限的。

并且对空间来说也是一样。如果我说我能够想象一个向无限扩展的圆柱体，这就已经包含在其本质中了。再有，被包含在圆柱体的同质本质中，并且包含在空间本质中了——以及其中的一个预设了另一个，并且这个同质性是我看到的有限中的部分。

人类运动的空间在与时间相同的方式上是无限的。

141.数字系统的规则——假设，十进制系统——包含有关数是无限的所有东西。例如，这些规则没有为左边和右边的数设置界限，这是包含了无限表达的东西。

有人可能会说：是的，但是这些数仍然根据它们的使用、书写以及其他因素而被限定。是这样的，但是它不在使用它们的规则中被表达出来，并且它仅在它们的真实本质中被表达。

m=2n这个关系与所有数的类和它的次级类相互关联吗？不。任意数和其他数相互关联，并且以那种方式，我们达到无穷多相互关联的类对，但是从不与这样的类和次类相关。也不是某种意义上的无限过程自身或者其他这样的类对。

在m=2n中，即类和它的次级类相互关联的偏见中，我们有的只不过是一个模糊的语法情况。

更重要的是，它全部附着于现实性和可能性的句法规则上。m=2n包含与任何其他数相关联的可能性，但它没有将所有数与其他数联结起来。

“可能性”这个词当然是误导的，因为有人会说，应该让可能的东西都变成现实。在思考它时，我们从中得出数学与时间无关这个事实，数学中的可能性在事实中(已经)是现实了。

(但事实上，情况相反，并且数学上被称为可能性的东西恰好与时间中的可能性一样。)

m=2n指向沿着数的系列，并且如果我们把“无限”包括在内，只意味着它不指向确定距离的对象。

142.无穷数系列其自身仅是这样的可能性，清楚地出现在表现它的单一符号“(1, x, x + 1)”中。这个符号本身是箭矢，第一个“1”是这个箭的箭尾，“x + 1”是它的箭头，描述其特征只是箭矢的长度是非本质的一样——变项x在这里表明，从箭头到箭尾的长度，它是非本质的。

谈论这个箭矢方向上的事物是可能的，但是谈论位于箭矢方向上的全部可能的事物的位置作为与这个方向自身等同的东西则是无意义的。

探照灯向无限空间放射出光，并且因此照亮了这个方向上的每个事物，但是你不能说它照亮了无限。

你也可以这样把它提出来：可以有意义地说在一个方向上有无限多对象，但说有无限多却是无意义的。这与语词“可能”通常意义上的使用冲突。因为，说一本书在这张桌子上有意义，说它正放在那里也是有意义的。但在这里，我们被语言困惑。这个“无限多”可以说被当作副词使用，并且要被相应地做出理解。

就是说，“在这个方向上有3个事物”这个命题和“在这个方向上有无限多事物”这个命题明显的是以同种方式被组织起来的，但事实上，这个结构中不同的是：第二个命题中的“无限多”与第一个命题中的“三个”不起相同作用。

再有，只是我们语言的模糊性使它表现出如果数词和语词“无限”都是作为相同问题的回答而被给出。然而，有这些语词作为回答的问题，事实上是根本不同的。

(通常的概念事实上接近于这样的观点，缺乏界限是它自身的界限。即使它没有直接表明这一点。)

如果两个箭矢指向相同的方向，在这种情况下，称这些方向一样长，这不荒谬，因为位于一个箭矢方向上的东西，也存在于另一个箭矢的方向上。

数学中的一般性是方向，箭矢的运行指向根据运算系列。并且你甚至可以说箭矢指向无限；但是，这是否意味着它指向的——无限——某存在物，作为一个事物？以这种方式解释，当然，它必定导致无休止的无意义。

似乎是这个箭矢描述了它前方位置的可能性。

143.在什么意义上，无限时间是可能的东西而不是现实的东西？有人可能会反对我，认为时间与颜色一样肯定是现实。

可是，只要颜色不在特定的时间里处于一定的方位，其自身不也仅仅是可能性吗？空洞的无限时间仅是刚成为现实性的事实的可能性。

但是，难道不能设想已实现的无限的过去，并且不产生无限实际吗？

并且如果有无限的实际，那么也就存在着无限中的偶然性。例如，无限十进制数也不是通过规则而被给出。拉姆塞概念中的每一件事物都在其中。

一方面，我们不能预设一种无限的时空，另一方面，又看到没有哪一天是最后一天，因此时间不能有尽头。因此，我们不是把时间理解为无限的现实，而是理解为内在的无限。

我们也可以说：无限处于时间的本质中，它不是偶然的延伸。

我们当然是从我们眼前的一段时间中去认识时间——如其所是的那样。如果我们能以这样的方式把握它的无限扩展，那是非常奇特的。(在这个意义上，就是说，如果我们自己与无限时间同步，我们就能把握它。)

事实上，我们在时间中的地位与在空间中的地位一样。我们熟悉的真实的时间是有限的(有穷)。无限是时间形式的内在属性。

144.无限数列仅是有限数列的无限可能性。说出全部无限数列，它似乎也是一个扩展，这是无意义的。

无限的可能性通过无限的可能性而得到表达。记号自身仅包含这个可能性并且不是它们复本的现实性。

是否可以得出这样的结论：这些事实是有限的，事实的无限可能性在对象中。这就是它被指出而不是被描述的原因。

与其相符合的是这个事实，数——当然是被用于描述这些事实的——是有限的，然而，它们与事实的可能性相符的可能性是无限的。它在符号标记法的可能性中找到表达式，如我说过的。

这个感觉是，在数学中不能有可能性和现实性。它们是在一个层面上的。并且在某种意义上说是真实的。

并且这是正确的。因为数学与它的记号表达的是在同一层面上；即它不是有时谈论它们的可能性，有时谈论它们的现实性。甚至它都不能谈论它们的可能性。它的记号中存在着可能性，即这个可能性在数学被应用的真正的命题中被发现。

并且当(像在数量学中一样)它试图表达它们的可能性时，即当它与它们的现实性相混淆时，我们应该还其本来面目。

我们很少考虑这样的事实，记号确实不能比记号本身意义更多。

符号中无限可能性仅与有限延伸的本质相关联——即指向——有限延展的本质，并且恰恰由此而不给定其大小。

如果我说，“如果我了解无限扩展，那么它就可以谈论真正的无限”，这实际上就是在说“如果存在胡言乱语的意义，那么就可以谈论胡言乱语的意义知觉”。

我们看到连续的颜色转换和连续的运动，但是在这种情况下，我们看到的不是部分，不是跳跃(不是无限多)。

145.什么是一个无规律的无限小数？你能根据非数学的以及外在的描述给出无穷数的序列，而不是根据规则来描述吗？(必须有双重把握，这是很少见的。)

“当一个人无休止地投掷骰子时，作为结果的数字”，看起来是无意义的，因为从中得不出无穷数。

但是，为什么想象没有尽头的生命比想象空间中无尽的序列更容易？这是因为我们把无止境的生命当作永远不能完成的，然而，空间中的无穷序列应该作为整体存在。

我们想象一下生活在无限时间中的人，他对我们说：“我刚写下π的最后一个数，是2。”他生活中的每一天写下一个数，没有开始的时间；只是刚刚完成。

这看起来非常荒谬，并且是对一种无限整体概念的不合理的证明。

假设，我们沿着直线走在欧几里得空间，并且说每隔10米我们会遇到一个某一确定直径的铁球，循环往复；这是一种结构吗？看起来是。奇怪的是，你可以根据某一规律构造这样一个无限复杂的球作为无止境重复相同的球——可是，当你把这些球体当作各自有其特性时，它们的无限数目看起来就没有意义了。

我们想象一下无穷的树列，树的高度不同，但都在3—4米之间。如果有一个规律支配着这个不同高度的方式，那么这个树列就被定义了，并且能够根据这个规律被想象(我们是在假设，这些树除它们的高度外没有区别)。但是，如果高度任意变化了呢？那么——我们就被迫假设——仅有一个无限长的、无止境的描述。当然，那不是描述!我可以假设无穷树列的无限多的有限延伸的无限多描述，但是，在这种情况下，根据支配它们结果的规律，我必须知道这些无限多描述。或者，如果没有这样的规律，我还需要对这些描述的无限的描述。并且那同样又没有任何结果。

现在，我当然可以说，我意识到每棵树必定在高度上与先前不同的规律。确实，这是个规律，但是，还不能定义这个树列。如果我现在假设有任意序列，那么这个序列，根据它的本质，除了我不理解它这个事实，我对它一无所知。更确切地说，它是不可知的。这是否就是“人类智力不充足，而更高的智力可能会成功”的情况？人类理解框架这个问题究竟是如何产生的，沿着这条道路出发，到达不了它的尽头？

无止境的无限仅是无止境自身。

146.是什么给予乘法公理以可能性？当然，是在我们事实上能够做出选择的类中的有限类的情况下(选择)。但是，在无限多的次级类的情况下呢？显然，在这样的情况下，我们仅能认识一种选择的形成规律。

我们现在可以在诸类的有限类中做一些如随机选择这样的事。但是，这在诸类的无限类的情况下是可以想象的吗？这在我看来是无意义的。

我们想象一下某个人过着无止境的生活，并且在1和2，2和3等以至无穷的间断中选择一个任意的间断。这是否让我们在这些间断中获得一种选择？不，因为他没有结束。可虽然如此，我们能否说所有这些间断都考虑在内，因为我不能引证任何他还没有最终达到的东西？但是，从被给予的任意间断这个事实看，不能得到他最终会对全体间断都光临过。

但是，它不是始终给予这个产生无尽选择过程以描述？并且不意味着一个无尽选择形成了吗？但是，这里的无限仅是在规则中。

想象下列假设：在空间中有红色球的无限序列，每一个距离其前面的球1米。有什么可以想象的经验能够与这个假设相符合？例如，我想我沿着这个序列行走，并且每天穿过这些红色球的一个确定的数n。在这种情况下，我的经验应该存在这样的事实中，未来每个可能的一天，我看到n个球。但是，什么时候我们才算有了这个经验？永远不会!

147.针对“但是，假如确实有无限多的东西呢”这个异议，你只能回答“然而，并不存在无限多的东西”，并且使我们认为也许有的仅是我们把物理上的事物与认识元素相混淆了。

由于这个原因，我们也不能推测有这样一个假设：一个无限视觉空间中的无限序列的红色斑块是可见的。

我们在物理空间中想象的不是原初的东西，我们只能够在或大或小的程度上了解它，然而，我们对物理空间能够知道的表明原初达到的有多远，以及我们必须如何解释物理空间。

“这个红色斑块a位于b和c之间的某个地方”这个形式的命题如何被分析？它没有这个意指：“这个斑块a与位于b和c这两个数字之间的无限多数字中的一个相符合”(这不涉及选言判断)。显然，a在b和c之间命题的无限可能性不在命题中被表达出来。就像在“我把他锁在这间屋子里”一样，这个被关起来的人的无限多可能的位置不起任何作用。

“每个事物都有一个并且仅有一个前者；a没有后继者；除a的每个事物有一个且仅有一个后继者。”这些命题似乎是在描述一个无穷系列(并且也可以说有无限多事物。但是这会预设该命题有意义)。它们似乎是盲目地描述一种结构。我们可以按照这些命题勾画出它们明确描述的结构。但是，我们在哪能够发现这个结构？

但是，我们不能把这个命题组仅当作属于物理定理的命题，着手的是科学的假设吗？在这种情况下，它们必定会是不可攻讦的。但是，如果生物学家发现一新的动物种类，其中每个个体似乎是早期种类的后裔，并且把这个当作一个假设会是什么样的？

在这种情况下，我们是否被那个问题的外表的假象误导了——即在这种情况下，动物的种类的个体——是简单的对象？

就是说，这不是我们能够想象的乘以无限绝不是事物本身，而是事物根据它们的无限可能形成的组合吗？

事物本身也许是4个基本元素，颜色、空间、时间和其他相同种类的给定物。

在这种情况下，恒星系列中每一个有前者(在特定的特殊方向上)会怎么样？并且这个假设会与无止境的生活一样以相同的方式出现。这在我看来是有意义的，因为它不与我不能做出任何有关对象数目的假设这一洞见存在矛盾(事实的元素)。它的分析仅预设了空间和时间的无限可能性及经验元素的有限数目。

XIII

148.我们可能也要问：当我们还不知道某一命题如何被证明的时候，我们仍可问“它能够被证明还是不能”，并且继续寻找证明，如果我们“试着证明它”，我们会做什么？这个探索基本上是非系统的，并且因此严格说来根本不是探索，或者能够有这样的计划吗？我们回答这个问题的方法引导我们解决未证明的——或者是作为还不可能证明的——命题是无意义或者是有意义的问题。因为，在非常重要的意义上，每个有意义的命题必须通过它的意义告诉我们，无论命题为真或为假。“每个命题表达如果它为真的事实。”并且对数学命题来说，这个“是事实的”必定指向它要被证明的方式。然而——这是关键一点——你不能有逻辑有计划去探索你不知道的那种意义。这个意义会成为，就是说，向我们显露：因为它不能仅从命题记号中推断出来——在与它的真理对比中向我们揭示，在那里，真理是由命题自身告诉我们如何寻找它的真以及与真做比较。

这就相当于问：是否可以依据一般性教学命题确认除是与否外的东西？(即确切的意义。)

我的说明不能消除数学问题的存在。这就是说，似乎不是只有某个数学命题，在它(或它的逆定理)被证明后才产生意义。(这意味着它的逆定理永远不会有意义。)另一方面，它将失去其作为问题特征的某个明显的问题——关于是与否的问题。

149.就像这样：我在证明的每一步需要一个新的观点？这与每个数的个性特征问题相关联。如下种类的事物：假设有某种一般规则(因此一个包含着变项)，我必须每次总是要先弄清楚，这个规则在这里是否可以被应用。没有预测行为能够让我从这个洞察行为免除责任。因为这个形式对被应用的规则来说，事实上在每一步上都是不同的。

一个相关的证明，在它还没有证明这个命题时，它就是证明(将会显示为了考察这样的命题采用的方法的形式)，以及如此才能够使这样的证明可能。它不会到达梯子的顶端，因为那需要你经过每个台阶；但是仅表明这个梯子导向这个方向。就是说，没有越过每个台阶的替代，并且无论这样做和什么一样，都必须在它的转折拥有与这样做有相同的多样性。(在逻辑上没有替代物。)也没有一个箭头替代经过所有台阶，直接朝向一个特定的目标。这也与证明等级阶梯的不可能性相关。

等级观念是不是每一个问题都必须先于一个证明，即该问题有意义的证明？那么我就要说，意义的证明必须是完全不同于一个真题的证明，不然一个证明要以另一个证明为前提，并且使我们进入无穷的回归。

关于适用关系问题与有意义相关联吗？如果有关联，该公理与这个命题有关联或没有就始终是可能的，并且在这种情况下，这个问题必须始终是可以被做出判断的，并且因此第一类的问题已经被做出判断了。并且如果它不能被做出判断，它就是完全缺少意义的。

除了费马证明，让我们关注Xn+Yn=Zn…(F) 这个等式的是这样的事实：我们从没有偶然发现满足这个等式的基数；但是，那没有给出对一般性公理的任何支持(或然率)并且因此没有给出我们关注这个公式以任何好的理由。相反，我们可以仅把它当作具体的一般形式的标记法，并且问我们自己这个句法规则是否是在任何意义与这个形式相关。

我说过：你找不到答案的地方，你也不能提问，这意味着逻辑方法找不到解决方案的地方，问题也不会有意义。

只有存在解决方法的地方才会有问题(当然这不意味着“只有当解决方案已经找到时才会有问题”)。

这就是，我们只能够从某种启示发现中得到解决方案的地方，甚至没有问题。启示不与任何问题相对应。

这就像我们想要向我们还不曾拥有的感觉经验提问。我们的存在被给予一个新的感觉的东西，我会称之为启示。

我们也不能去寻找新的感觉(感官知觉)。

150.我们回到这个问题：在什么程度上，我们能够断定数学命题？这就是：无所意义的东西会表达为，如果它是正确的，那么我才能断定它。不，能够做出一个断言，我必须涉及它的意义，不是它的真理性。如我已经说过的，对我来说，我能够断言一般的命题或多或少与这个等式一样：3×3=9或3×3=11。

这几乎是站不住脚的，由于一个传一个的错误表达式把一个问题封闭得如此密不透风，以至于实际上得到它是不可能的。

使理解困难的是解决方案仅作为——附属的——使得到的数满足该等式的辅助的一般方法的错误观点。然而，它在其自身中使该等式的本质得到理解。再有，它不是为发现延伸的附属工具，它自身就是结果。

涉及形式如fx=φx能够产生什么问题？——fx=φx是否成立(x作为一般常项)？该规则产生了这个等式的解决方案了吗(x为未知项)？该规则禁止了这个形式形式fx=φx吗(x被解释为空集)？

这些情况中没有任何一个可以从经验即外延的角度进行检验。

后两种情况也不是，因为我看到，例如“x2=4”成立，它从72=4得到的不少于22=4，并且x2=-4不成立根据22≠-4向我们显示的，同于82≠-4向我们显示的方式。就是说，在具体的事实中，我在这里看到的仅是规则。

“哪些数满足这个等式？”这个问题没有意义，“等式通过数得到满足”，或者“等式通过所有的(没有)数得到满足”表达的也没有意义。

重要是即使在32+42=52情况下，我不应该说“(∃x,y,z,n)·xn+yn=zn”，因为从外延上看它并不意味着什么，并且从内涵上看它不提供证明。不，在这种情况下，我应该表达的仅在第一个等式中。

显然，我只可以写下一般命题(使用一般常项)，当它类似于25×25=625这个命题时，并且我将知道用a和b计算的规则，就如同我知道6、2、5一样。这准确表明，称a和b为常项所意味的东西，即常项形式。

它是不是这样：在我不掌握解答方法的时候，我就不能用“产生”这个词，因为产生指向的是我没有指派的结构，除非我知道它。因为这个结构必须被表达。

每个命题都是证明的指示牌。

如果我主要以内涵方式说明“产生”这个词，那么“等式G产生解决方案a”这个命题无意义，只要“产生”这个词不代表一种特定的方法。因为它正是我希望指称的。

在此，我只不过表述了这样一种情况，即在我没有从逻辑上弄清这两个整体之间的联系时，我不能说这个两个整体处于一种联系之中。

“该等式产生a”意味着：如果我根据某个规则转换这个等式，我得到a，就像等式25×25=620表达的那样，如果我应用这个规则于25×25的乘法运算得到的是620。但是，这些规则必须在语词“产生”有意义以及该等式是否产生a这个问题有意义之前就已经被给出了。

因此，在我能够根据基数寻找这个等式的解决方案前，费马的命题就没有意义。

并且“寻找”始终意味着：系统地寻找。盲目地在无限空间寻找一枚金戒指，那就不是寻找。

你只能在系统内寻找：并且必然会有些东西你寻找不到。

151.我们只能在数学中提出问题(或做出猜测)，当这里的回答是“我一定能把它解决”时。

但是，我不也能说这是1∶3=0.的情况，这不是延伸的结果，而是归纳关系的形式？但即便如此，我们必定对这个归纳关系也有清楚的认识，如果我们期望它。

这就是我们仍然不能在空虚中推测或期望。

“数学问题”与真正的问题共同之处仅是它们可以被回答。

如果在1∶3=0.中指向确定的方法，那么与F相关联的0.110没有意味，因为这里缺少方法。

我没有意识到的规律不是规律。

数学问题必定像数学命题一样精确。

“这个等式有多少个解决方案？”这个问题是掌握解方程的一般方法。并且，一般来说，是数学中的问题所意味的东西，即掌握一般方法。

我几乎不需要说排除第三种情况的命题不应用的地方，其他逻辑命题也不应用，因为在那种情况下，我们不处理数学命题。(威尔和布劳威尔持相反的观点。)

数学中没有困难的问题，因为如果有什么是困难的，它就不是问题，这会导致谬论吗？

但是，它不像是这样：困难的数学问题是那些我们还没有书写系统的解决方案。寻找解决方案的数学家就有了某种心灵的标记法系统，在图像中，“在他的头脑中”，并且努力把它写在纸上。一旦完成了，其他的事就简单了。但是，他没有这样的系统，也没有书写的或非书写的符号，那么他就不能寻找解决方案，充其量只是摸索一下。当然，现在你可以根据任意的摸索发现某些东西。但是，在这种情况下，你找不到它，并且从逻辑的观点看，这个过程是综合的；然而，寻找是一种分析的过程。

人们能够把握的才是问题。

仅在能够存在问题的地方才会有被断定的东西。

如果我知道初等三角学的规则，我就能核查命题sin2x= 2sinx·cosx，而不是命题sinx=x-+……。但是这意味着初等三角的正弦函数和更高一级的三角的正弦函数是不同的概念。如果我们给它以相同的名称，我们这么做有充分的理由，因为第二个概念包含在第一个的自身多样性中；但是，就初等三角系统而言，第二个命题没有意义，并且它在问是否sinx=1成立等等这样的问题中当然缺少意义。

152.如果我们问是否有可能把一个角三等分，这是一个真正的问题吗？并且，它的证明不可能用尺子和圆规是哪种命题？

我们可能会说，因为它是不可能的，人们甚至永远不能试图发现结构。

我不能试法解决更高等三角学的问题，直到我看到两方面的更大的系统。

我不能问一个角是否能够用尺子和圆规三等分，直到我能够看到“尺和圆规”这个系统被植入一个更大的系统中，在那里这个问题被解决了；或者更确切一点，在那里问题是问题，这个问题在那里有意义。

也是根据这样的事实表明，为了不可能性的证明，你必须走出欧几里得系统。

可以说，一个系统是一个世界。

因此，我们不能寻找系统：我们能够寻找的是不成文符号中给予的系统表达式。

一个掌握了基本三角学知识的学生，被要求验证sinx=x-这个等式等等，他找不到着手处理这个问题的东西。如果这个老师仍然期望他给出一个解决方案，他假设这个解决方案预设的句法规则的多样性在某种方式上提供了不同于学生头脑中的形式——以这种该学生理解的基本三角学的标记法提供的作为不成文标记法的一部分，并且现在把其余的从不成文形式转换成书面形式。

确定运算的规则系统，因此也决定了它的记号的意义。更为严格的：这个形式和句法规则等价。因此如果我改变这个规则——比方说，表面上补充了它们——那么也我改变了该形式，该意义也就随之改变了。

我不能划定出我的世界的界限，但是我能划定我的世界内部的界限。我不能问命题p是否属于S，但是我能够问它是否属于S中的部分s。因此，我能够在这个更大的系统中锁定一个角的三等分这个问题，但是不能在欧几里得系统中问它是否可以解决。我应该用什么语言问它？用欧几里得语言？但是，我不能在欧几里得系统中问角的二等分的可能性。因为在这个语言中，将被归结为一个关于可能性的问题，并且这样的问题始终是无意义的。

但是这里找不到我们能够称为类型等级的东西。

在数学中，我们不能一般地讨论系统，只可在系统中讨论。它们仅是我们不能讨论的东西，也是我们不能寻找的东西。

学生们缺少回答第二个问题的方法，不能是仅难以回答它，他甚至不能理解它。(它就像是童话里国王给铁匠的任务：把“喧闹”给我带来。)

每个合理的数学命题必定树起一个解决它提出的问题的梯子，以12×13=137这个方式一样——我可以爬上去，如果我选择的话。

这对任何程度的一般性命题有效。(注意，没有“无穷多”梯级的梯子。)

现在，假设我有两个系统：我不能只询问包含它们两个的系统，因为不仅我不能搜寻这个系统，甚至在包括两个类似于最初的那个系统其中的一个出现的情况下，我明白我永远也不能去找它。

153.证明相同事物的证据可以相互转换，并且在某种意义上，是相同的证据。它不适用的唯一证据如：“从两个事物中，我推论他在家，第一，他的夹克在大厅里，第二，我也能听到他吹的口哨声。”这里，我有两个独立的获知途径。这个证据需要来自外部的理由，反之，数学证据则是数学命题的分析。

什么是证据的可证性？它不同于命题的证据。

可证性的证据也许是命题有意义的证据？但是，这样的证据将不得不依赖完全不同于那些命题依赖的证据的原则。不存在证据的等级!

另一方面，不可能在任何重要的意义上存在一种形而上数学。任何事物必须成为一类中的一个(或者不在类型中)。

现在，是否表明这样一种可能性：公理等同于命题(即证明它或证伪它)，而没有实际把这些命题带入直接产生这些命题的公理中？这就是说，是否只有我们到达那里时才知道它们是相等的，还是有可能在先前阶段就知道？并且，这是检查36×47=128作为证据的可能性？显然，可以有意义地说“我知道你如何检查它”，即使在你这样做之前。

因此，说P是可证的还不充分，我们必须说：根据特定系统是可证明的。

再有，这个命题不断定P在系统S中是可证的，而是在它自己的系统中，在系统P中。P属于系统S不能被断定，它必须自己显示。

你不能说P属于系统S；你不能问P属于哪个系统；你不能搜寻系统P。理解P意味着理解了它的系统。如果P在一个系统中出现，又进入另一个系统，那么P事实上改变了这个系统的意义。

拉姆塞认为，我称为对该系统有效的东西不是别的，只是应用——也许没意识到——一般的数学命题。因此，如果我知道sin3α=5cosα的正确性是可判定的这个问题，我只是从sin(α+β)等等中把它推论出来的。但是，这不是正确的。相反，我是从有这样的一个规律这个事实中得到它的，而不是从它的内容中推断出来的。

154.我可以把数字等式和字母等式放在一起：根据某种规则转换左边的形式，无论是否能够产生右边的结果。

但是，如果是这样，等式两边(注意，这是一般的等式)都必须是可通约的。

哲学家和物理学家所做的分类就像那些根据云的形状给云分类的那些人所做的分类。

数学命题表达的始终是其证据证明的。就是说，它表达的不会比它的证据证明的更多。

如果我有个方法能够把有解决方案的等式和没有解决方案的等式区分开，那么“(∃x)·x2=2x”这个表达方式就有意义。

我可以问“等式x2=2x的解决方案是什么”却不能问“它有解决方案吗”。如果没有解会是怎么样？只有在我知道如果它为假时，事实是什么的情况下，命题才有意义。但是，假设这个备选的事实是像“(∃x)·x2-2x-x(x-2)=0”的等式呢？在这种情况下，无论如何命题(∃x)·x2=2x都会有意义，并且它会根据这个事实得到证明：这个规则不允许我们缩减两边。在回答“xn+axn-1+……+z=0这个等式是否有解决方案”这个问题时，我们可以始终问一句：“与什么相对？”

25×25=625。在这个事实中，该系统的构成向我显示公约性的体系在哪里？

确实，以这种形式写下来的两个数相乘始终给我提供了相同的形式，并且这个形式的两个数字记号的规则决定它们是否指派相同的或不同的数。

我们也可以把这个观点描述如下：对我们来说，发现适用于我们熟悉的新类型的规则是不可能的。如果对我们来说它们是新的规则，那么它就不是原来的形式。如果我们用概念工作，规则的结构必须是完整的——我们不能在句法规则中有任何发现。因为，只有规则群才能定义我们的记号的意义，并且任何规则的改变(举例来说，补充)都意味着意义的改变。

就像我们不能在没有改变概念自身的情况下改变概念的特征一样。(弗雷格)

一个系统是一种形式系列，并且它恰好在系列规则中，该迭代计算产生它的连续数是被描述的。

“P适用所有的数是必然的”，相对的是“P适用所有的数不是必然的”，而不是“P不适用所有的数是必然的”。但是我们现在想：如果P适用所有数不是必然的，它仍然是可能的。可这是错误存在的地方，因为我们看不到，我们已陷入一种延伸的观点：命题“p适用所有的数是可能的——尽管不是必须的”没有意义。因为数学中，“必要的”和“所有的”是紧密相连的。(除非我们以更少令人误解的用语全部替换这些习惯用语。)

155.它属于哪种类型，举例来说，舍费发现我们能够把所有的真值函项还原为p|q时向我们表明的？或者发现提出立方根的方法？当我们在数学中诉诸技巧时会发生什么事？(就像我们解决方程或积分时。)在这里，就像是解开一个结。我可以随意尝试任何一种方式，并且这个结可以更为混乱或者被解开。(无论发生什么，每一操作都是允许的，并且会导致某种结果。)

我要说，发现解决先前仅能根据分离的方法一步一步解决的问题的系统不只是发现一个更为便捷的工具，而是先前我们根本没有的完全新的东西。这种统一的方法恰好不仅是构造一个对象的方法，它与无论对象如何被构造的方法一样。这个方法不是把我们带到我们要达到的目的工具，不管我们如何到达这一地点。

就是说：我认为，数学中不是目标的方法是找不到的。你不能说：我已经有了全部这些结果，现在我所做的是发现更好的通向这些结果的途径。只能说这个途径是我们先前未有过的一个新地点。这个新途径意味着一个新的系统。

这是否表明我们不能知道在数学中新对象的任何新的东西，因为，如果我们这样做了，它就是新对象了吗？

这归结为：如果我听到一个，比方说，数字理论的命题，但是不知道如何证明它，那么我也不理解这个命题。这听起来非常矛盾。它意味着，就是说，我不理解有无限多质数这个命题，除非我知道它被称为证据。当我知道这个证据，我就知道一些完全新的事物，并且不仅是通向我已经熟悉的目标的途径。

但是，在这种情况下，我应该承认它是模糊的，当我得到这些证据时，它是这个命题确切的证据，或者根据这个命题归纳的证据。

我想说，数学命题不是无聊的议论，它是精确的表达式。

不可能存在一个数学命题的两个独立的证据。

156.解开数学中的结：有人能够试图解开一个随后表明不可能解开的结？人们成功于解决三次方程，他们却不能成功于用尺子和圆规三等分一个角；在人们知道如何解决其中的一个问题与另一个是不可解决的以前，他们就与这些问题进行了长期尝试。

我们思考一下某种表现为结的东西，事实上由许多的线段组成，并且也是一些松散的线头。现在，我给某个人解开这个结的任务。如果他能看清这些线段的排列，他会说，“这不是结，并且因此没有解开它的东西”。如果他仅能看到混乱的线团，那么他会试图解开它，任意拉不同的线头，或者把线团翻过来转过去，以便能看清楚结的某些部分，尽管他没有看到它作为整体的结构。

我要说，我们仅可以说在某种程度上真正试图解结，是当结的结构被清楚地看到时。在某种程度上不够清楚看到，任何事都是在黑暗中摸索，因为任何看起像是一个结的对我来说根本不是，这是可能的；最好的证据是，事实上我没有方法找到解决方案。我们不能把这里发生的和当我有条理地为某物寻找空间时发生的事相比较，并且因此发现它不在那。因为在这种情况下，我在寻找的是一个可能的事物，而不是一个不可能的事物。

但是，我现在想说，以类推的方法比喻结并不恰当，因为我可以有结，并且对它知道得越来越多，但是在数的情况下，我想说，对我来说，不可能比我已经在记号中获知更多的东西，它始终是认识以及指派给某物新东西的问题。

我不知道，我们自己制造出来表达某物的记号应该如何让我们解答问题。

这更像是我们逐步显露出越来越多的结或纠缠在一起的混乱，并且我们根据我们所看到的情况不断地获取有关它的图像。我们不知道还没有向我们揭露的结的部分像什么，并且无论如何不能做出关于它的推测(比方说，根据我们已经知道的部分的图像进行研究的方法)。

157.当人们发现有无限质数时，他们发现了什么？当人们认识到有无限基数时，他们发现了什么？是否是类似的承认——如果这是一个认识的话——欧几里得空间是无限的，之后我们才形成这个空间中对象的定理。

空间研究意味着什么？因为每一个数学研究都是一种对空间的研究。显然，我们可以研究的是空间中的事物——而不是空间本身!(几何与语法始终相互对应。)

我们回忆一下，数学中的记号本身是在做数学运算，它们不描述数学。数学记号就像算盘珠。并且这些珠子在空间中，珠子的研究就是对空间的研究。

没有被预见到的，就是不能被预见的；因为人们缺少可以用来预见的系统。(以及已经预见的系统。)

你不能写数学，你仅能运算它。(并且正是由于这个原因，你不能“窜改”数学中的记号。)

假设，我想构造一个有规律的五边形，但是不知道如何构造，并且随意试着去构造，最后偶然地建成一个正确的结构：我们这里没有通过试错解开这个结的真实情况吗？没有，因为如果我不理解这个结构，就我而言，它甚至还不是五边形的结构。

当然，我可以偶然写下二次方程的解决方案，可我不能偶然来理解它。我到达的这条道路消失在我理解的事物中。我理解我理解的事物。这个偶然性只是与表面性相联系，这就像是当我说“喝过浓咖啡之后我发现了它”一样。咖啡已不再内含于我已发现的东西中。

158.两个系统之间的联结的发现与这两个系统在同一空间不同，并且如果这个发现在相同的空间，它就不会成为发现(而只是学生作业题的解答)。

联结被认为存在于先前不被人知的地方，以前没有缺口，不完整的事物现在被填充了!(这时，我们不能在这个处境下说：“关于这个问题我知道的就这么多，这里开始对我来说是未知的。”)

这就是我说数学上没有空白的原因。这与通常的观点相悖。

数学上，不存在“还没有”以及“暂时就这样”(除在无关紧要的意义上，我们还没有把两个千位数相乘)。

归纳方法与一个类(当然，是无限类)的乘法有些共性的东西。但尽管如此，它不是一个类的乘法，并且现在它被称为无限类。

举例来说，如果我说“如果我理解一个螺纹，我就理解全部螺旋形物体”，严格说来，它意味着：如果我知道螺纹的规律，那么在许多方面类似于我知道全部螺纹体的情况。但却是“有限的”整体，因为那是仅有的类型。我们不能说：我同意它在许多方式上类似于一个有限整体，但在另一方面，它完全类似于无限的整体；归纳不完全类似于整体是我们能够表达的全部。

数学不可能是不完整的；即像意义一样完整。凡是我能理解的，我一定是完全理解。它与这样的事实相关，我的语言如其所是井然有序，并且逻辑分析不必为了达到完全清晰的目的而在我的命题中加入任何东西给当下的意义。因此，即使看起来最不清楚的命题在分析后仍然保留着它以前完善的内容，并且改变的仅是它的语法更清楚了。

159.但是，是否存在着全体质数的一个有限数目——一旦你接触到这个概念——这难道不应该是一个问题？因为看起来是在我引入质数这个概念时，我可以问“有多少个质数呢？”就如同给予我“在这间屋里的人”这个概念一样，我可以马上问“有多少个人”。

如果我被这个类比误导，它仅仅是由于“质数”这个概念是在完全不同于一个真正概念的方式下给予我的。因为，“7是一个质数”这个命题严格的表达式是什么？显然，它只是根据小于7的数去除7总会产生一个余数。不会有不同于它的另外一种表达式，因为我们不能描述数学，我们只能运算它。(并且它自身消除了任何“数量论”。)

因此，一旦我写下质数的一般形式，即在任何类似于“质数的数”的表达式毕竟被包含其中，那么就不再有“多少”质数这样的问题，并且直到我这么做时，我也不能提出这个问题。因为我不能问“质数系列最终会到达终点吗”，也不能问“还有另一个质数可能在7后面吗”。

因为对我们来说在普通语言中保留短语“质数”是可能的，即使承认有指派给它的数的严谨表达式之前，对人们来说，错误地形成有多少质数这个问题也是可能的。这就是产生先前的问题现在被解决了这个印象的东西。文字语言看起来允许前后两个问题存在，并且这就产生了这样的错觉，真正的问题被真正的解决方案成功解决了。反之，在精确的语言中，人们一般没有什么东西可以问有多少的，并且其后才有一种人们可以直接读出它的多样性的表达式。

因此，我要说：仅在我们的文字语言中(在这种情况下导致了逻辑形式的误解)，有数学上的“尚未解决的问题”或“每个数学问题的可解性”有限的问题。

160.对我来说，数学家们饱受折磨的关于数学公理无矛盾的观点，是基于一种误解。

这就和这样的事实联系在一起，数学公理不被看作是它们所是的东西，即句法规则命题。

并不存在可证性的问题，并且在那个意义上，也没有可证性的证明。对可证性的证明是一种归纳法，对归纳法的认识就是一种对新系统的认识。

无矛盾的证明不能成为公理应用的基本要素。

标准只适用于表达式。该“公理”是表达式的标准。

161.数学探索与极地探险之间的比较。进行这种比较有意义而且很有用。

如果地理的探险是不确定的，无论它是否有目的，并且无论它是否有任何的线路，它都会变得很奇怪。我们不能想象这样的事物，它是无意义的。而在数学探索中正是这样。并且因此，把这个比较放在一起也许是一个好主意。

它会是一次它身处其中的空间未确定的探险!

数学中怎么可以有推测？更确切地说：数学中看似推测的是哪类事物？诸如有关质数分配的猜测。

举例来说，我可能想象有人正在我面前写下质数序列，而我不知道它们是质数——比方说，我可能相信他正在写下的数字就是它们出现在他面前一样——并且我现在试图发现它们中的规律。现在我可能真的形成有关这个数列的假设，就像我能够根据物理学中的实验产生任何其他数列一样。

现在，在什么意义上，我这样做会形成有关质数分配的假说？

你可能说，数学中的假设的价值在于，它可以把一种想法同确定的对象——我的意思是指在具体的领域——并且我可以说：“我们确实会发现有关这些事的有趣的事。”

我们的语言使用每个这样的词如“问题”“疑难问题”“考察”“发现”指向不同的事物。这与“指向”“命题”“证据”一样。

问题产生了，哪种验证可以适用于我的假设？或者，我能够——退而求其次——承认以经验为主的对象适用于时间范围内，只要我还缺乏“严格的证明”？不，只要不存在这样的证明，假设与质数“概念”之间的联结就根本不存在。

我可以根据质数概念这种一般性规则检验一个数是否是质数。

仅这个所谓的证据建立起了我的假设和质数本身之间的任意关联。并且根据这样的事实而得到显现——如我说过的——直到这个假设能够被纯粹属于物理学的东西说明——另一方面，当我们已经提供证据时，它也不能证明究竟推测的是什么，因为我不能推测无限。我仅能推测能够被确认的东西，但是，经验仅能够确认推测的有限数量以及你不能推测证据，只要还没获得证据，就不能推测证据。

“质数”概念是研究相关属性的数的一般形式；“可分”这个概念是可分性研究的一般形式，等等。

162.当舍费发现根据p|q表达p∨q和～p时，他发现了什么？人们过去没有办法寻找p|q，并且如果有人有朝一日发现了，也不会有多大的差别。

在这个发现之前，我们不知道的东西是什么？这不是我们所不知道的东西，它是我们不熟悉的东西。

如果你想象有人反对说，p|p根本不是根据～p要表达的东西。当然，回答是，它仅是p|p这个系统的问题，等等，有着必要的多样性。

因此，舍费发现了有着必要的多样性的符号系统

如果我没意识到舍费的系统，并且假设我要构造仅有一个逻辑常项的系统，它还是在寻找某种东西吗？不!

系统当然不总是在一个空间，因此，我可以说：有3个或2个逻辑常项的系统，并且我现在试图以相同的方式减少常项的数量。这里没有“相同的方式”。

我们也可以这样说：完全解析式的数学命题是它自身的证明。

或者像这样：数学命题仅是完整证明的直接可见的外表，并且这个外表却事先就限制着证明体系。

数学命题——与真正的命题不同——本质上是显示这一命题正确或错误的论证的最后一个环节。

我们可以想象每个命题作为完成某种运算的结果而被表达——转换——以特定的“公理”作为基础的标记法。(大概与化学物质相同的方式被表达，根据诸如“三甲醇”等等。)

经过几次修改，这样的标记法可以根据罗素和怀特海的《数学原理》中的命题函项的前言中的说明而被构造出来。

数学命题与它的证明之间的关系，就像物体的表面与物体自身的关系一样。我们可以谈论属于该命题的证明体系。

只有假设在这个表面之下有一个物体，该命题对我们来说才有意义。

我们也可以说：数学命题是一个证据链的最后一环。

XIV

163.“a + (b + c) = (a + b) + c”……A (c)可以被解释为一种系统的基本规律。因此，它只能被规定，但不能被肯定，或者被否定(因此不是被排除的第三种情况的法则)。但是，我也能实际上把该命题当作证明的结果。这个证明是回答问题的吗，并且如果是，那么是哪一个问题？它表明一个断言为真并且因此它的否定为假了吗？

但是，现在它看起来是我根本不能在它是系统的基本原则这一意义上证明这个命题。相反，我只能证明有关它的某些东西。

它与这样的问题相关：你是否能够否认2=2，就像你能否认2×35=70一样，并且你为什么能够否认定义。

学校里，孩子们当然学到了2×2=4，却没有学到2=2。

如果我们要知道被证明的东西，我们应该研究的只是证据。

我们不该弄混事实上被证明的东西和它应用的无限可能性。应用的无限可能性不是被证明的!

有关递归证明的最为显著的事是，得不出预先要证明的东西。

这个证据显示，“a+[b+(c+1)]=(a+b)+(c+1)”…“A(c+1)”这个形式得自(1)“A(c)”与规则(2)“a+(b+1)=(a+b)+1”…“A(1)”一致。或者，根据规则(1)和规则(2)“a+[b+(c+1)]”这个形式能够被转换成“(a+b)+(c+1)”得出相同的事物。这实际是证明中的事物的总和。其他的，以及所有常见的解释都在于它的应用的可能性。通常的错误在于混淆其应用延伸与它实际包含的东西。

当然，定义不是我能否定的东西。因此，它也没有意义。它是我可以遵循的规则(或者不得不向前)。

我不能否定一个系统的基本规则。

斯科勒姆的证明中，“c”在证明中没有任何意义，它代表1或在证明中还可能会得出的什么数，并且在这个证明后，我们合理地把它当作某些数或其他数字。但是它确实一定在这个证明中意味着某些东西。如果是1，那么我们为什么不写“1”来代替“c”？并且如果还有其他东西，又是什么？

如果我现在假设，我希望把命题应用于5、6、7，那么，这个证明告诉我，我当然有权这么做。就是说，如果我在[(1+1)+1]等这个形式中写出这些数，那么，我可以确认该命题是这个系列命题中的一个，这是斯科勒姆证明链上的最后一个命题系列上的一环。再有，这个认识不可证明，但却是凭直觉获得的。

“每个符号都是其所是的东西，并且不是别的符号。”

难道没有仅显示在十进制系统中，每个根据这些规则的乘法运算必定产生一系列的十进制的数？(因此，认出相同的数制是基于对一个数学命题的真理性的认识。)

通过 [(1+1)+1] 等等的形式的加法总是不断产生这种形式的数字。那么，它能够被证明吗？证明显然在于这样的表达式的加法规律中，即在这个定义中并且仅在定义中。

确实，我们也可以根据这个证明提供的答案回答这个问题：那么，你还期望这个加法获得什么？

164.递推证明仅是对任意特殊证明的一般指导。显示每个特定命题的线索形成一个特定的回归方式。它向命题2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4说：“沿着这个方向走(穿过这个螺纹线)，你就到家了。”

在什么程度上，我们可以称这样的指导一般命题的证明为证明？(这就像在问：“在什么程度上，我们可以称路标为路？”)

然而，它确实证明把A(c)应用于数是合理的。并且因此不必有从证明图式到这个表达式的合法转换了吗？

我知道一个具有无限可能性的证明，举例来说，始于“A(1)”并且经由“A(2)”等继续下去。递推法证明就是沿着这个序列前行的一般形式。但是它自身必须证明某种东西，因为事实上它为我省去了证明每个“A(7)”这个形式命题的麻烦。但它如何证明这个命题？显然，它指向这个证明系列。

这是取自螺线中间的一段。

ξ为在展开中才出现的东西保留一个位子。

如果我研究这个序列，它让我产生它类似于定义A(1)的印象；如果我以“1”替换“c”且以“1”替换“d”，这两个系统就是相等的。

在证明中，无论如何，要被证明的不是这个方程链的最后部分。

证明显示该规律的螺线的形式。

但是不以这种方式，它作为推论系列的结论而出现。

很容易想象使用1来代入这个证明，下面加点标明我们应该注意的地方。它不会在本质上有任何的不严谨。(因为证明的不同性在这个事实中更为清晰。)

我们这样想象它。那么它如何证明A(c)这个命题合理？

如果有人把这个证明与(x+y)2=x2+2xy+y2的由来当作相同的种类，那么它证明这个命题“A(c+1)”[假设“A(c)”，并且因此我确实想证明该命题]。并且证明——在这个假设下，论证如3+[5+(4+1)]=(3+5)+(4+1)这样的特殊形式。它也有一般性，但不是我们期望的一般性。这个一般性不在字母中，而在特定的数字中，在我们能够重复证明的事实中。

但是，我们如何用记号“f(a)”说明我们在从f(1)到f(2)这个通道中看到的东西？(即重复的可能性。)

我也不能证明a+(b+1)=(a+b)+1是a+(b+c)=(a+b)+c的特殊情形，我必须理解它。

(这里也没有规则能够帮助我，因为我仍会不得不知道这个一般规则的特殊事实是什么。)

这是规则与应用，或者说是规则与特殊事实之间不可逾越的鸿沟。

A(c)是定义，是代数运算的规则。它是以这样的方式被选择出来的：该运算与算术运算相符合。它允许代数运算中的相同转换，适用于基数，与递推论证中可能被看到的一样。A(c)不是这一证明的结果，可以说它与证明并用。

我们从证明中推断的，根本不能在命题中表达，并且当然由于同样的原因，我们也不能否认它。

但是，像A(1)这样的定义怎么样？它不意味着代数运算的规则，而是说明算术表达式的辅助工具。它表达我可以应用于任意一个数对的运算程序。

165.结合律的正确表达式不是命题，确切地说是它的“证明”，这种证明并不是对规律作断定，只是显示它。在这一点上，我们显然是不能否认这个规律，因为它根本不把命题的形式算在内。我们当然可以否认这个规律的个别等式，但是却不能因此否定这个规律：它逃避了肯定和否定。

知道你能证明的东西就是已经证明了它。

7+(8+9)=(7+8)+9。在没有给出具体证明的情况下，我如何知道它是对的？就像是我已经给出了一个完整的推导一样？是的!那么，这就意味着它确实被证明了。并且，在这种情况下，不会有更好的证明；就是说，根据我完成的推导直到得到命题本身。

因此，对我来说，运行到螺纹的一个转折点时，然后说“停!我不再需要了，我已经能够理解它如何运行的了”，这是可能的，然后每个更高一级的台阶必定是多余的，并且不会使事物变得更清楚。如果我画出所有螺旋的螺纹直到我设定的点(得到证明)为止，我看不出这比我只画一个螺旋更好地通向我设定的点。这两种方法都以不同的方式表明同一个东西。也就是说，我能够盲目地跟随这个被完全描绘的螺旋一直上到我设定的点，然而，这个被描绘的螺纹必定以某种我能够觉察到的方式而得解释，如果继续，它就能通向A点。

这就是说，从被完全解决了的6+(7+8)=(6+7)+8的证明中，我可以抽象出与仅描述一个“螺纹”相同的东西。并且无论如何一个螺纹与给定等式的数字形式是这个等式的完整证明。这就相当于我说：“你想到达A点吗？好，沿着这个螺旋就能到达那里。”

当我们教某人如何走出他的第一步时，我们因此也就使他能够去走任何一段路的可能性。

166.因为直接资料是它证明的命题，因此是我们在它证明的结构中看到的算术关系。

它是真实的东西，不是另一种东西的表达，后者也可以用另一种表达来代替。就是说，它不是其他某种东西的记号，而是事物本身。

它通常就是这样被解释的(即以错误的方式)。有人说，归纳法是一种如此这般适用于所有数的记号。可是，归纳法不是任何事物的记号，而是其自身。如果除了归纳还有其他的东西，因为它是记号，那么这个东西一定有其特殊的表达式，成为这个事物的完整表达式。

然后这个概念被发展为这样的观念：代数方程式告诉我们数学归纳中我们理解的东西。它与它描绘的东西有着相同的多样性。

它表达的是命题如何被验证。真正命题的一般性与算术的一般性相比。它以不同的方式被验证，并且因此它是不同的种类。这个验证不是真理性的象征，它是命题的意义。(爱因斯坦：证明就像是测量一个大小。)

确实，罗素已经通过他的描述理论表达了，你不能从后面悄悄接近它而获得对事物的认识，只可看似我们知道的东西比它们公开显示给我们的多。但是，根据使用短语“间接认识”，它再次掩盖了所有的事物。

167.代数图式从它被应用的方式中获取意义。因此，这一点始终为它提供支持。那么归纳证明必定也是如此，因为它证明这个应用合理。

代数命题就像是2×2=4这个等式一样，只不过是等式的不同应用。等式与算术的关系不同。它涉及是否可以用其他东西来代替的问题。

这就是说，代数等式作为实数之间的等式，不可否认，是算术等式，因为某些算术的东西存在于其后。只有它存在于这个代数等式的背后，这与它存在于1+1=2背后的方式不同。

归纳法不证明代数命题，因为只有等式才能够证明等式。但是，归纳法从应用于算术的角度出发来论证代数等式的列出。

这就是说，它们通过归纳获得的只是它们的意义，而不是它们的真理性。

由于这个原因，能够不再被简化为其他等式的，并且只能通过归纳证明合理的就是一种规定。

与我不能求助于这个代数命题应用的事实相关联，而只能再次求助于归纳。

因此，这些最不可能的等式不能被否认，即没有算术的内容与它们的否定相对应。

只有通过它们，代数系统才能被应用于数字。

并且因此，在特定的意义上，它们当然是某种算术东西的表达式，但看起来似乎是算术存在的表达式。

它们只是使代数成为算术的外衣，并且因此在某种程度上是任意的，没有人强迫我们以这种方式使用代数。它们使代数与算术相配合。

并且当它穿着这些外衣时，它能够在里面移动。

它们不是某种可计算东西的表达式，并且在某种程度上是规定。

理解这些规定的人能够透过它们在算术中学到什么吗？并且如果能，那么是什么呢？我能够知道算术的实际内容吗？并且如果能，那又是什么呢？

规定更像是名称而不是命题。

你只能证明那些你可以询问它们是否为真的命题。“它是不是这样？”“我将向你证明它是如此。”

归纳与代数命题相关，不是作为被证明东西的证据，而是作为指派给记号的东西。

代数命题的系统与归纳系统相对应。

168.根据归纳法的证明，如果它是证明的话，那就是一般性的证明，不是对全部数的某种属性的证明。

我们只能站在问题是可能的立场上提出问题。站在怀疑是可能的立场上。

如果有人想问有关A(c)的问题，严格说来，归纳法根本不会对此给我们以回答，而让我们感到羞愧的是我们仅能根据这个归纳法到达这个等式。

如果我们问“a+(b+c)=(a+b)+c这个等式成立吗”，我们能寻找到什么？从纯粹代数的角度上看，这个问题没有意义，因为回答会是：“按照你的意愿做出决定。”“这适用于所有的数吗？”这个问题不意味着它仅可以问这个归纳表达了什么，然而，对我们来说，它什么都没有表达。

我们不能问，到底是哪一个独立的因素使这些问题成为可能。

不能问最初给系统提供基础的东西。

这类东西肯定存在，这是被清楚表达的。

同样清楚的是，代数中第一件事是必须表达自身作为运算规则，我们才能使用它测试其他命题。

代数命题始终仅获得它的算术意义，如果你用数字替换其中的字母，那么一直仅有特定的算术意义。

它的一般性不在其自身中，而在它正确应用的可能性中。并且因为它必须坚持依赖于这个归纳。

就是说，它不断言它的一般性，它不表达它的一般性；相反，这个一般性在与替换的形式关系中得到显示，这种替换成为归纳序列的项。

(∃24x)·φx·(∃18x)·ψx·Ind:⊃:(∃24+18x)·φx∨ψx。若不是我已经在这个应用的语境中引入加法这个概念，我如何知道是这样的？我只能根据归纳获得这个命题——或者相反，这个重言式——(∃nx)·φx·(∃mx)·ψx·Ind:⊃:(∃n+mx)·φx∨ψx，存在一个归纳，并且这个归纳是上面命题(∃24x)等等的证明，在我们没有实际解决24+18，并且测试它是否是一个重言式之前。

相信哥德巴赫猜想，意味着相信你有它的证明，因为不可能认为这一命题似乎是在外延中的，因为它不意味着什么事，并且你不能想象一个归纳和它对应，直到你有了归纳。

如果每个等式都有一个根，这个证明是递推论证，那么这意味着代数的基本原理不是真正的数学命题。

169.如果我想知道“1∶3 = 0.”意味着什么，它是在问“我如何知道它？”的相关问题。该证明是作为回答这个“如何”而来的，并且超出这个证明显示出来的，我当然不知道。

显然，每个十进制下的乘法都有解，并且因此，人们可以证明a+b=c这个形式的算术等式或证明它的否。这个可证的证明是什么样的？没有什么比符号使用的说明以及从这个梯子导向的命题的种类能够被理解的归纳更为明显的了。

我不否认一般算术命题的一般性。

仅有这种一般性我不能在代数命题中违抗吗？

等式只能通过把它归结到方程群才能得到证明。

这个过程中最后的等式是定律。

如果一个等式不能简化为其他几个等式，那么它就是定律。

归纳不能证明等式合理。

因此，举例来说，这个标记法的引入不能指称这个归纳，它看起来是个记号。这个关系必定类似于“A(c)”根据归纳法的证明。或者更确切地说，它当然指向归纳这个赤裸裸的事实，而不是它的真实意义的一般性。

XV

170.集合论试图在比规则论更一般的水平上掌握无限。它说，你根本不能根据算术符号把握实际的无限，并且因此它只能被描述，不能被表达。该描述会在某种事物中包含它，就像你具有许多事物，你不能通过把拿在手中，而只能用盒子包装起来拿的方式。那么它们是看不见的，但是我们仍然知道我们拿着它们。(也就是说，间接地拿着。)集合论如买被装在袋里的猫，让无限在这个盒子中容纳其自身是最好的。

带着这个观点，我们能够用语言描述逻辑形式。在这类描述中，该结构和例如对应关系等等，以包装形式被表达，并且因此，它确实看起来像是有人能够讨论结构而没有把它放在命题中表示。像这样被包装起来，并且因此它的结构是不可识别的概念，但是它们始终在以这种方式包装这个概念的定义中获取它们的意义；并且如果我们通过这些定义回顾我们走过的路，这些概念又被打开了，并且因此在它们的结构中被表达出来。

这就是罗素使用R*所做的事，他以这样的方式把概念包装起来，它的形式消失了。

这个方法的关键在于使每件事都变得模糊，并且相应地处理它。

如果逻辑中，问题可以被做出①一般的及②特殊的回答，特殊的回答必须始终显示其自身为一般回答的特殊事实；不同在于，一般事实必须始终包含特定事实作为可能性。

其事实是带有σ和υ来计算碉堡界墙，必定包含这个特定计算方法的数字系统。

在一般形式和特定形式之间的相互转换必定存在确定的方式。

171.连续函项的任何证明必定涉及一种阶梯——数字系统。

因为如果我说，“给出任意的υ，就会有一个σ，它的函项少于υ”，这表明当φ(σ)少于υ时，根据事实本身我正指向一般的算术标准。

好像在计算函数时表示出的数字阶梯，消失在一般处理当中是不可能的。

如果数字系统属于数的本质，那么这个一般性的处理就不能被去掉。

因此，如果数字系统标记法反映数的本质，那么这个基本因素必定也能找到进入一般标记法的方式。在这种方式中，这个一般标记法获得数的结构。

就事实的本质而言，如果我不能写下独立于数字系统的数字，它必定也在数的一般性处理中得到反映。

数字系统不是某种次级的东西——像俄罗斯算盘——只是中小学生要掌握的东西。到了更高级的阶段，一般性讨论就会忽视它。

在某人写下“这个命题为假”这个命题时，克里特说谎者悖论也会建立起来。该指示代词起着“我在说谎”中“我”的作用。基本的错误存在于，作为原来的逻辑哲学，假设语词能够暗指它的对象(从远处指向它)而不必代替它。

因此，这个问题事实上可以是这样：这个连续体能够被描述吗？就像康托尔和其他人试图做的那样。

形式不能被描述：它仅能被表达。

戴德金的无限量定义是另一个试图描述无限而不是表达它的例子。

它就像根据外在的、我们一直认为伴随它的症状来描述这种疾病一样。只有在这个事实中，存在着本质上不是形式的联结。

172.“曲线上的最高点”不意味着“曲线上的所有点中最高的那个”——毕竟，我们看不到这些点——它是根据这个曲线产生的特定的点。同样，函数的最大值不是它全部值中最大的值(那是无意义的，除了在有限的情况下，分离的点)，它是根据规则和条件产生的点；可以肯定，比其他被任意挑出来的点(可能性，不是实在)都要高。并且因此，两条直线的交点也不是普通的两种类型点的元素，它是两个规则的相交。这确实在分析几何中是非常清楚的。

函数的最大值可以作一个集约的解释。曲线上的最高点公认地是比任何随机取的点都要高，但是，我不是通过筛选曲线上的一个一个的点而寻找一个更高的点而发现的它。

这里是语法，始终处于无限领域中，在和我们开玩笑。

我们说“这条曲线上的最高点”。可它不意味着“这条曲线上所有点中最高的那个”，就如同在我们谈论3个苹果中最大的一个这个意义上，因为我们没有这条曲线上的所有的点在我们面前——事实上，那是无意义的表达式。

在我们的句法规则中，表达命题“这个苹果可以被分成两部分”与“一条直线可以被无限分割”有着相同的形式，它们有着相同的缺陷，我们显然在这两种情况下可以表达这个结果，“我们假设可能的分割已经完成”。

可事实上，这两个表达式“可分成两部分”和“可无限分割”有着完成不同的形式。

当然，这与有人把语词“无限”当作是数词的事实一样；因为在日常语言中，两者都作为回答“多少”这个问题被给定。

曲线存在，独立于其上的个别的点。它也在我构造它的最高的点上这样的事实中找到表达式，这就是说，它得自规律而不是根据检查单独的点。

我没有说“在它所有的点中，它仅有一个点与直线相交”；不，我们只谈一个点。

就是说，有关沿着直线上的一点，不是直线上的所有的点中的一个。

直线不是由点构成的。

173.那么，与R*的模糊解释相对的正确的解释是什么样的？这里，我确实需要“(n) …”。在这种情况下，这个表达式看起来是可以接受的。

但是，不可否认，“(∃x)·φx”也表达“有许多个满足φx的x”，并且这个表达式“(∃x)·φx”不能预设所有数的全部。

拉姆塞对无限性的解释由于同样的原因也是无意义的，因为“(n): (∃nx)·φx”会预设：我们被给定了实在的无限性，以及纯粹进行的无限可能性。

但是，我清楚有个人是我的祖先，却完全不清楚他是第几个祖先，这个数好像是无限的，它不能想象？

但是，我们如何表达这个命题：“φ被与ψ相同的对象满足。”有人会假设：“(∃n):(∃nx)·ψx·(∃nx)·ψx”。

布劳威尔在这一点上是正确的，他说他的钟摆数的属性与排中律不相容。但是，这样说不揭示无穷集合命题的特性。相反，它建立在这样的事实上，逻辑预设不能成为先验的——即逻辑地——指出一个命题是否为真或为假。因为，如果命题的真或假这个问题是先验不可断定的，结果是，这个命题失去它的意义，并且它的结果恰恰使这个逻辑命题失去了它们的正当性。

就如同一般来说，全部方法，即如果命题对数领域是有效的，因而不一定非得也适用于另一个范围，这种观察方式在数学中根本没有位置，它与数学的本质相违背。虽然作者们恰恰认为这一点特别难以捉摸，并且与人们的习惯看法不一致。

数学完全沾染上集合论表达方式的恶习。其中的一个例子是，关于线是由点组成的说法。一条线就是一条规律，根本不是由任何东西组成的。一条有颜色长度的线，在视觉空间中由更短的颜色线组成(当然，不是由点组成)。那么，我们惊讶地发现，例如，“在密布有理数点之间”仍然存在无理数的空间!像这样的结构显示了什么？它显示如何在所有的有理数的点之间存在这样一个点的空间了吗？它仅显示根据这个结构产生的点不是有理数的点。

并且与这个结构相对应，以及算术中与这个点对应的是什么？一个设法挤身于两个有理数之间的数？一个不具有有理数实质的规则。

狄得金德分割似乎在人们这样说时，其意味才是清楚的：只有三种情况，或者R有最后的部分，并且L有第一部分，或者其他等等。事实上，这些情况中没有一种能够被思考(或者被想象)。

174.集合论是错的，因为它显然预设了以确实存在的符号代替不存在的符号(仅是可能的)。它建立在虚构的符号之上，因此是建立在无意义之上的。

逻辑上没有这样的前提。

当人们说“全部先验数字的集合比代数数字的集合大”时，那是无意义的。那是不同种类的集合。它“不再”是可数的，它是不可数的!

在逻辑上，质数的分布还会为我们提供某些上帝知道而我们不知道的东西。就是说，在逻辑上会有某些东西会被知道，但是不是被我们知道。

一个解决方法是某种不能被断言的东西。因为如果没有这个等式作为一般的命题，就是没有意义的。

我们可以断言在实践中能够被核查的东西。

这是一个核查的可能性问题。

如果有人说(如布劳威尔做的)对于(x)·f1x=f2x，和是和否一样，也是不可判定性的事实，这说明“(x)…”意味着外延的，并且我们可以讨论所有的x碰巧有属性的情况。然而，事实上，讨论这样一种情况以及在算术中的“(x)…”不能被外延的使用是不可能的。

我们可能说，“数学命题指向理解”。没有理解与其对应的假设会使它还原为无意义的谈话。

除非我们确认等式两边的联系，我们就不能理解一个等式。

就是说，不可决定性预设了存在着等式两边的隐藏着的联系；这个桥梁不能用符号来制作。

存在但不能通过符号的转换而被表达的符号之间的联系是不能被思考的思想。如果这个联系存在，那么它必定可能被理解。

因为它与视觉空间的部分之间的联系以同样的方式存在。它不是因果联系。这个转换不是根据它联结的不同方式的神秘的推测。(像连接两个阳光普照之地的神秘通道。)

当然，如果数学是我们从来不能详尽知道的无限延伸的自然科学，那么本质上不可判定的问题当然就是不可想象的。

175.这么说有意义吗：“我有与等式x3 + 2x - 3 = 0根的值数目相同的鞋”？即使解决它产生的是一个正整数？

因为，在我看来，从我们这里的标记法中，我们不能识别有意义还是无意义。

如果有人把这个表达式“等式φx=0的根”当作罗素主义的描述，那么有关x+2=6这个等式根的命题必定与人们说等于4有不同的意义。

在我知道命题是否有意义，它是否是一个命题之前，我不能使用该命题。并且在上面的未解决的等式中，我不知道这一点，因为我不知道基数是否在被指定的方式与这个根相对应。显然这个命题在给定的情况下成为无意义的并且不是假的(甚至也不是矛盾的)，因为“我有n双鞋且n2=2”显然与“我有双鞋”相等。

但是我能建立起这一点——或者至少它能够被建立起来——如果我仅观察这个记号。但是，我不必碰运气，并且把这个等式具体化为命题，如果我知道它决定基数，我才可以把它具体化，因为在此种情况下，它只是不同于基数的标记法。另外，它就像是掷许多次的骰子一样掷出这些记号，并且试试运气，它们是否会产生意义。

(x+y)2=x2+y2+2xy是正确的意义与2×2=4相同。

并且2+n=1(这里的n是一个基数)就像2+3=1一样是错的，并且与2+n≠1与上面一样是正确的。

176.有关内在的一般性使人们产生怀疑的是这个事实，它可以根据单一的事实的出现(并且，因此是根据某种外延性的东西)而被驳倒。

但是，在这个一般的和特殊的命题之间有哪类冲突？这个特殊的事实以内在的而不是外在的方式驳斥一般性命题。

它攻击这个命题的内在证明以及因此驳斥它——不是以独眼人存在的方式驳斥“每个人都有两只眼睛”这个命题。

“(x)·x2=x+x”看起来是错的，因为解决这个等式给出x={}，而不是两边平衡抵消。试着假设x=3这个替换也产生一般的结果——(∃x)·x2≠2x——并且因此，一定在某种程度上它的结果符合一般的解决方案，其自身与一般的方法符合。

如果等式x2+2x+2=0根据应用的算术规则，产生x=-1±，是非常合乎程序的，只要我们不要求在这个规则中，对x来说是符合这个规则的实数。在这种情况下，代数运算的结果意味着这个等式无解。

我的困难是：当我在实数，有理数或根据适当规则的全体数范围内解决这个问题时，在某种情况下，显然我获得了表面错误的结论。那么在它发生时：我表达了这个原初等式的证明是无意义的了吗？在我应用完规则之后，意味着我只能理解它是有意义的或者是无意义的？相反，这不是我们要说的：明显无意义的等式的结果毕竟表明某些有关一般形式的东西，并且确实在不等式与有普通解决方案的等式之间建立起了关联。毕竟，这个解决方案始终表明普通解决方案与不普通的解决方案之间的差距。例如，如果是结果，至少我知道+1会是正常的根。与普通解的关系，这个连续性没有被打乱。这表明在实数概念中，如我们在符号中表达它和它的规则时，这个虚数概念已经预示了吗？

这与我们说一条直线g，它与一个圆的距离为a这样的假设大致相同，而不是只简单地说它不与圆相切。

可能有人会说“由于相差一段距离，它没有切上这个圆”，并且这会表达正常切线的连续性。“它没有切上它，它们之间有一段距离。”

x2=x·x和x2=2x之间的不同不存在于它们有效性的外延中。

确实，我能够把m〉n定义为(∃x)·n+x=m，但是，如果我知道减法规则，我就会知道x=m-n是否会产生一个数，并且在这个语境中，它起着确定大小规则的作用。因此，确切地阐释这个规则：m比n大，如果，根据减法规则，m-n产生一个数。

XVI

177.空间不是点的集合而是对规律的理解，是什么使得它突出出来？

看起来似乎我们应该首先建立起空间的全部结构，而不使用命题；并且人们可以在其中形成全部正确的命题。

为了表达空间，我们需要——它向我们显示的那样——某种像可解释的记号的东西。

允许应用内推法的记号，类似于十进制。

这个记号必定有空间的多样性和空间的属性。

几何公理不包含任何的真。

如果我们使用分析几何，我们肯定能够获得这个指派的正确的多样性。

平面上的点用数对表达，并且三维空间的点通过三重数对来表达，这足以表明，被表达的对象根本不是点，而是点的集合。

178.视觉空间中的几何是有关对象在视觉空间中的命题的句法规则。

例如，欧几里得几何公理被句法规则掩盖了。如果你研究一下在分析几何中与它们相对应的东西，这就会变得很清楚。

你可以想象一下实际上被执行的欧几里得几何的结构，将使用主体的边界当作直线以及把它的面当作平面来表达。例如，直线能够通过任意两点得到这一公理在这里有着明显的意义，尽管这里在任意两点间没有直线被画出来，但画出一条来是可能的，并且这仅意味着这个命题“直线A通过这些点”有意义。这就是说，欧几里得几何是断言欧几里得空间中对象的句法规则。并且这些对象不是直线、平面以及点，而是主体。

这些分析的等式如何与空间测量的结果相关联？我认为，它们(这些等式)确定了正确的测量以及错误的测量的方式。

可能有人要谈到外延几何和内含几何。无论在视觉空间中安置了什么，都象征着一种先验的序列，即根据它的逻辑本质，并且这里的几何不过就是语法。

物理空间几何中，物理学家设立彼此关系的是仪器材料，在它们的内在本质上不因我们是生活在直线空间还是球体空间而改变。就是说，它不是这些读数的逻辑属性的研究，导致物理学家假设物理空间本质的，是从它们中得出的事实。

物理学的几何在这个意义上，不必与可能性而是与事实相关联。它通过事实得到证明：在这个意义上，它前提中的一部分被证实。

在计算器工作和测量几何结构之间做比较：在这样的测量中，我们完成一个实验，或这里的形式与计算器的情况一样，我们在这里仅建立内在关系并且我们运算的物理结果什么都没有证明？

视觉空间中，当然，没有与几何实验一样的东西。

我认为这是对几何中先验存在和后验存在产生误解的主要源。

问题是，在什么意义上，测量的结果能够告诉我们有关我们也理解的东西。

“三角形内角和是180°”这个命题怎么样？无论如何它没有给出句法命题的表象。

“对角相等”这个命题意味着，当它们被测量时，如果它们显示出不同，那么我会宣布这个测量是错的；并且“三角形内角和是180°”意味着，如果这个和在被测量时不显示出180°，我就会假设在这个测量中存在错误。以这种方式，这个命题是涉及描述事实方式的假设：并且因此是句法规则命题。

有一个构造直尺的方法。这个方法涉及一个理念：我的意思是，一个无限可能性接近的过程，因为它就是这个作为理念的过程。

或更确切地说：仅当它是这个无限可能性过程时，这个过程的几何才能够(或必须)是欧几里得的。

欧几里得几何不预设任何测量角和长度的方法，它表明当两个角被当作相等时，与概率理论表明当两个事实被当作相同的一样。如果测量的特定的方法现在被采纳——假设用一把金属尺——那么这个问题产生了，这个被完成的测量结构是否以这种方式产生欧几里得的结果。

179.想象一下，我们投掷一个两面骰子，如硬币。现在，我想通过连续投掷硬币决定AB区间的点，并且始终根据投掷把被指定的这面一分为二，就是说：头像朝上意味着我把右手区间一分为二，鹰像朝上意味着我把左手区间一分为二。

现在，如果我说“它就是这个硬币无限投掷根据被描述的二分法而无限接近的点”，它描述了这个区间上的命题了吗？

以这种方式，我可以根据连续的二分，在没有限定这个区间每个点的情况下接近，以及无限好的视力和设备，每个二分阶段都会被确定。(无限好的视力不引入有缺陷的圆。)

现在，我们能把被由此确定的数字的无限系列称为无限小数吗？就是说，这个几何的过程定义数吗？

几何过程不涉及有缺陷的圆，因为仅一个无限可能性可以根据它预设，不是无限的实体。(直线和点根据色彩表面的界限而被给定。)

在什么程度上，你可以说，我已经根据这种方式确实把有理数区分为两类？当然，事实上，这个区分从未被完成过。但是，我有依靠这样的无限分割的方法？我有一个无限的过程，它这样的结果不能把我导向目标，但是，它的无限可能性是它自身的目标。但是，这个无限可能性存在于——我们这里不再只有运算和无限循环？当然。但是这个运算不是算术的。

(并且，在我无限构造中要求的点没有被算术给出。)

在这一点上，许多人会说：没关系，这个方法是几何的，它仅是结果造成的自身的扩展，作为我们的目标。但是，我有吗？

算术中与几何的二分过程类似的是什么？它必定是相反的过程：根据规律决定的点。(而不是根据点决定规律。)

事实上，它要符合在0和1之间无限选择的方法，在无限的二无小数中。这里的规律是“你必须把1或0置于在一个无穷系列中，每一次都会产生一个规律，每个规律都不相同。”

但是，那不表明规律会在我说“在每种情况下的投掷或是头或是鹰”时被给予。当然，以这种方式，我必定会获得被提及的一般规律的特殊情况，但是，不会知道开端在哪里。没有连续的规律是根据投掷硬币的指导而被描绘。

投掷硬币过程中算术的东西不是实际的结果，它是其无限的不确定性。但是它没有定义数。

如果我勾画一个规律如：“0.001 001 001…”，我要表明的不是无限部分的样本的有限系列，而是在其中被察觉到的某种规律性。但是在…中，我没有察觉到任何规律——相反，确切地说，这里没有规律。除非，假设特殊规律的结果的这个规律被写成“0”和“1”，并且没有其他记号。

0和1联结的规律产生所有有限的小数。这将是一个无限外延，其中分数0.1，0.101，0.101 01等以至无穷的外延也必定会出现，并且一般来说，全部的无理数也会出现。

如果有人，像我说的那样，根据有限联结的集合检查不同的规律，那会怎样？

贯穿有限联结规律的结果，以及因此这个规律就它们的外延来说是完整的，一旦所有的有限联结都被检查过了。

我们也不可以说：两个规律在每个阶段都产生相同的结果这种情况下是同一的。不，如果是它们的本质产生的相同的结果，即如果它们是同一的，那么它们才是同一的。

180.如果无限集合的模糊理论是可能的，那么它就只能够描绘和表达有关这些集合是模糊的东西。

那么，它事实上会不得不把这个规律解释为表达集合的非基本的手段。并且从这个非基本特征中抽象，以及仅致力于基本的东西。可致力于什么呢？

从这个规律中抽象出规律并且把被表达的外延看作是基本的东西是可能的吗？

至少这非常清楚没有二元论：这个规律和无限系列符合它；就是说，在逻辑上没有像描述和实在一样的东西。

假设我在没有有理数的地方切割。那么必定有接近这一切点的近似值。但是，这里的“接近”是什么意思？接近什么？

因为，这时我在能够接近的数的领域里什么也没有。但是我确实在几何的延伸事实中。这里，显然我能够任意接近任何非有理数的切点。并且这是没有止境的过程也很清楚，并且根据空间事实，我并非模糊地表明如何继续。

再有，它只是无限可能性，而现在，这个规律以不同的方式被给予。

直线上所有的点实际上可以根据算术规律得到表达，对这一点我是否存疑？我是否能够找到一个点使我能够表明不是这种情况？如果它根据结构被给定，那么我可以把它转换成算术规则，并且如果它是偶然给出的，那么，无论我把这个近似值延长至多远，都会有与其相伴随的被算术定义的小数扩展。

显然，点与规律相对应。

关于规则的种类是什么情况，并且谈论全部规则有意义吗，以及因此谈论所有的点有意义吗？

在某种意义上，没有不同种类的无理数。

我在这里的感觉是：这个规则如何形成，在任意情况下，我获得的只不过是有理数的无穷系列。我们也可以这样表示：无论这个规则如何形成，当我把它转换成几何标记法时，任何事都有相同的类型。

根据连续等分取近似值的情况，我们通过有理数获得每个点。不存在我们可以通过特殊类型的无理数获得的点。

当然，决定最大值时，我可以偶然发现新的规则是可能的，但是，这与决定最大值没有本质的关系；它不明确指向实数的总体。

XVII

181.这个问题也许是：无理数作为整体的标准有什么？

我们来研究一下无理数：它贯穿有理数的近似值系列。它在什么时候丢下这个系列？永远不会。但是，这个系列也永远不会到达尽头。

假设，除了一个例外，我们有无理数的全部。我们要如何处理缺少的这一个？并且——如果它是被添加上去的——它如何添补这一间隙？假设它是π。如果无理通过它的近似值的全部而被给予，那么达到任何随意给定的点，总会有一个系列与π一致。无可否认，对每一个这样的系列，总会有一个它们背离的点。但是这个点存在于任意距离“之外”。因此，对与π一致的任意系列，我都能发现一个与它更加符合的点。并且因此除了π，如果我有全部的无理数，并且现在我把π插入，我就不能在现在需要π的地方引证这一点。在每个点上，它都有一个自始至终与其相符的伴随者。

这清楚表明，无理数不是无限小数的扩展，它是规律。

看起来，它以某种方式得自它——并且这是我发现的非常令人信服的东西——即，无限长不是距离的测量。

我们对上述问题的回答必定是“如果π是延伸的，我们从不会感觉到缺少它”，即，对我们来说观察间隙就是不可能的。如果有人要问我们，“可是，你是否有一个无穷小数延伸，在第r的位置有m以及在第s的位置有n，等等”，我们始终能够为他提供帮助。

现在，我们假设，我们已经被给予了根据规律表达的无理数，但是仍然还有其他的无理数，并且我被给予了一个表达不属于第一类数的切点：我如何识别它是这样的？这是不可能的，因为无论我离近似值有多远，也始终存在着相应的小数。

因此，我们不能说，根据规律发展起来的小数仍然需要根据不规则无穷小数的无限集补充，如果我们把自己束缚在由规律产生的这些小数上，它就成了“被掩盖起来的东西”。在那里，是否存在这样一个根据没有的规律而产生的无穷小数？以及我们如何注意到它不存在了？填补这一间隙的地方在哪儿？

如果从这一开端，仅规律能够到达无限，那么全部规律是否彻底探讨了全部的无限小数的问题就根本没有意义。

通常的概念是这样：实数与有理数有不同的多样性，这是真的，但是，你仍然可以从彼此的开始写下两个系列，并且迟早这个实数系列把另一个抛下，并且走向无穷。

但是，我的观念是：你仅可以把有限系列彼此并列，并且以这种方式比较它们；把这些点置于那些有限延伸后没有意义(就像这个系列走向无限的记号)。此外，你可以比较规律，但是不能把规律与无规律比较。

182. ：我要说，单个的数字始终只是结果，完全成熟大树的树皮。重要的或者新的始终支持树生长的东西是树皮的内部，那里，有树重要的能量源。改变表面根本不能改变这棵树。而要改变它，你必须刺穿这棵仍然活着的树。

因此，虽然数字看起来像是活着的树根生存的本质的僵化表现。就如同蜗牛排出滑石粉这一维持生命的过程中，因此建成了它身上的壳。

必须先有数的规则，然后——例如——一个根。但是在数的系列中这个表达式只有由实数表达才有意义。如果有人随后改变它，他只是成功地歪曲了这个表达式，而不是获得了一个新数。

数的规则属于开端作为这个表达式的准备。

因为系统的构造存在于规律发挥作用的地方。

183.并且因此我要说：如果是某种东西，那么它是与相同的东西，只是它的另一种表达式；这个表达式在另一个系统中。

在这种情况下，我们也可以非常天真地把它做如下表示：我理解的意味，但不是，因为根本不在这里，并且我不能用没有的东西替换这里存在的东西。

1/7(5→3)怎么样？当然0.4 283 不是无限延伸，而又是无限规则，与其一道，延伸得以形成。但是它像规则一样能够理解 (5→3)。

(1→5)这个后缀，可以说，触及到了0.101 001 000 1…这一规律的核心。这个规律讲的是1要由5来替换。

也许我们可以把它表达成：除非在系统中，否则它不是确定值？

看起来，在这个规则被执行前，人是必须的。近似于：如果它是任意有关算术的，那么这个规则必须理解自身。这个规则却不是这样，它由两个异质部分构成。应用它的人把这两个部分拼在一起。

这是否意味着缺少某种东西，即在根的系统和数列系统之间的联系？

与其说是系列值趋向的界限，不如说是掷骰子的指令。

需要延伸多远，对我们来说才算熟悉？这当然没有意味。因此，在它根本没有扩展的情况下我们就已经熟悉它了。然而，在这种情况下，无所意味。

背后的观点是：我们寻找有理数，被其自身相乘产生2。没有这样的(有理)数。但是，存在着以这样的方式接近2，并且总会有一些更接近2的数。有这样一个允许我们无限接近2的过程。这个过程是其自身。并且我称它为实数。

在它产生于可能更往右的小数的地方的这个事实中，它寻找表达式。

有关数系，只有能够被预测的对实数来说才是基本的。

184.我们应用的这个规律也适用于投掷像骰子那样的数的规律。

并且，把π'从这个规律中区分出来的只是其算术的确定性。但是，它不存在于我们知道的，必定有一个支配数字7出现在π中的规律；即使我们不知道这个规律是什么？

并且因此我们也可以说：π'暗示着到目前为止还不知道的规律(与1'/7不同)。

但是，我们现在不应该这样表达吗：π'包含规律的描述，“这个规律与7出现在π的延伸中一致”？或者，它暗示如果我们知道如何得出这个规律才有意义？(数学问题的解决方案。)

在这种情况下，确实无疑的是，我不能仅从该指示中读出这个规律，并且因此，这个规律中包含着我不能理解的语言。并且因此，也是在这个意义上我不理解π'。

另一方面，找到该规律中问题的可解性怎么样？难道它不只是迄今为止我们知道的解决它的方法的惟一问题吗？

并且如果它被认为刚好是给出π'的意义，并且如果未知，我们不能谈论有关我们仍不知道的规律，并且π'失去其全部意义。因为，如果没有规律提供给其自身，π'成为类似于掷骰子的说明。

185.实数存在于产生它的运算的底层。

我们也可以说：“”意味着通过x2接近2。

唯有道路可以接近目标，位置不能。并且仅有规律可以接近值。

x2接近2，我们称x接近。

186.字母π代表规律。记号π'(或者)没有意味，如果在π的规律中没有能用3代替的7。类似地如。(然而，可能意味)。

实数产生外延，它不是外延。

实数是：无止境地产生小数数位的算术规律。

这个规律在算术空间中有它的位置。或者你也可以说：在代数空间中。

然而，π'不使用算术术语，并且因此不在这个空间中给这个规律指派位置。

看起来似乎缺少的是产生这些排泄物的算术生物。

比较π和π'的大小是不可能的，这与π'没有归属有关。

你不能说：两个实数同一，如果它们的位置重合。你不能说：它们不同，如果它们延伸数位不同。你也不能说一个要比另一个大，如果它们不同的第一个位数要比第二个位数的大。

假设有人要发明一种新的普通乘法的算术运算，但是被修改为在乘积中的每个7被3代替。那么×'这个运算会有一些我们不能理解的东西，如果缺少我们能够理解的在乘积中出现的规律。

我们在这里就会有一个不同寻常的事实，我的符号使用会表达我不理解的东西。(可这是荒谬的。)

显然，如果我能够应用×'，所有对它合理性的怀疑都会被驱除。因为这个应用的可能性是算术实在的实体标准。

即使我不熟悉形成的规律，并且我把作为原初的规定，我仍然要问：用3代替7这个奇怪仪式的观点是什么？也许7是禁忌，以至于禁止我们把它写下来？用3代替7绝对没有给这个规律增加任何东西，并且在这个系统中，它根本不是算术运算。

在几何上提出：一般地认为，人们通过缩小其轨迹决定一个越来越近的点是不够的；我们必须能够构造它。

可以肯定的是，连续投掷骰子无限地限制了点的轨迹的可能性，但是它不决定点。

每次投掷以后，这个点仍然是无限不确定的。

必须承认，在以普通方式开方过程中，我们在那个点上必须不断地应用恰当的乘法规则，并且它们的应用也没有被预期。但是，也没有提到它们以及它们在的原则中的应用。

数必须被测量。并且不仅仅意味着值在它的扩展中必须被测量。因为我们不能表达所有的值，并且有理数(根据某些规则我们已经形成的)有被测量，却没有被表达。

我的意思可能这样表达：对于实数，结构必须是可以想象的，不能只是一个类似的东西。这个结构与规律的联结相符。

187. =0.3。让我们兜了一圈又回到原地的是我们事实上根据来表达的。理解和表达的不意味着“只有几个3出现”，而是“3必须反复出现”。

理解这个规则，以及如何在实践中把它完成始终只能帮助我们克服有限延伸。为了决定实数，它必须在其自身中成为完全可理解的。就是说，它能够被省略的部分本质上不必是未定的。

因为在这种情况下，它只是没有明确地给出，因为没有与其等同的延伸，并且其自身是不确定的。在这种情况下，π'着手在无限空间中寻找运气。

当然，如果a和b在第四位时第一次不相符，我们因此就可以说它们不相等。这个第四位明显属于两个数；但是，在无限的数列中的第n位就不确定了。

因此，我们当然能够在它们第一位时说出π与e的不同。但是我们不能说如果它们所有的位数相等，它们就是相等的。

如果两个规律的延伸相符，并且我不能比较这两个规律，如果我有权利讨论这些数，这些被定义的数不能够比较，并且哪一个更大或是否它们是相等的这个问题没有意义。确实，它们之间的等式必定是无意义的。并且它促使我们思考。并且这是真的：我们不能根据使它们相等而有所意味，如果没有它们间的内在关联；如果它们属于不同的系统。(并且这个延伸对我们没有帮助。)

另一方面，不能与另一个比较的果真是数吗？

这不与实数线的想象相矛盾吗？

188.没有系统外的数。

π的延伸同时表达π和十进制的本质。

算术的运算仅使用十进制作为达到目的的方法；运算是这样一种规则，它们能够被转换成任何其他数字系统的语言，并且没有任何它们自己的主题。

π的扩展公认地是π的本质和十进制标记法的本质，但我们的兴趣经常被限制在对π是基本的东西上，并且我们不过问后者。它是一个仆从，我们仅把它当作工具，并且在其自身的正当性上不作为一个个体。但是，如果我们把它当作社会成员，那么这就转变了社会。

运算的一般规则从改变它的一般性中获得一般性，在数中发挥作用。这就是不能作为运算的一般规则的原因，因为ab的结果不仅仅依赖数a和b的本质；十进制也参与进来了。当然，如果这个构成运算基础的系统作为更为进一步的常项，并且我们能够发现与×'相对应的运算，就没关系：那么，就不仅a和b而且十进制也成为它的主题。这个运算会用数字系统写出，使自身作为主题进入背景，在运算中没有提及。

以方式，使得十进制系统进入它的主题(或者必须如此，如果它是真的)，并且由于这个原因，它不再是充分的，我们能够使用这个规则形成该扩展。因为这个应用现在已经终止了成为这个规则有序的标准，因为它根本不是算术规律的表达式，而仅在表面上转变成语言。

并且因此，如果这个十进制不再是主题，它必须加入其他人的餐桌，观察所有所需的形式，并且停止提供服务，因为它不能同时做两件事。

它是这样的：这个数字π在十进制中被表达。你不能根据对十进制中的特殊表达的修正得到这个规律的修正。这个影响没有完全渗透到规律上。确实，它象征着在其他方面与它的分离。它像是根据已经排泄出来的分泌物努力影响生物一样。

189.那么， 这个规律呢(p贯穿这个质数系列)？或  者，p贯穿的全部数的系列，除了那些费马最后定理不适用的等式。这些规律定义实数吗？

我认为：所谓的“费马最后定理”不是命题。(甚至在算术命题的意义上也不是。)相反，它通过归纳法对应证明。现在，如果有数F， 0.110 000等等，并且随后的那个确实证明F=0.11——那不是命题吗？!或者：它是命题，如果规律F是数。

证据证明它证明的东西并且没有其他。

数F想要使用螺旋并且根据原则选择这个螺旋的部分。 但是这个原则不属于这个螺旋。

如果我想象螺纹的线圈1/100，1/100+1/101，1/100+1/101+1/102，等等，被写下来，那么这个F在每个线圈上都做出评论，它瞬间就会彼此缠绕；更甚者，根据我们不知道的规律做出它的选择。

并且这就是我们如何得出问是否F=0.11没有意义这个悖论的。因为，接受F有赖于接受这个规律的假设，一个无穷规律，支配着费马定理中的数的行为。但是，是什么向我们揭示了这个规律的无限的？仅仅是归纳。并且这里被发现的是什么？在指数n于xn+yn=zn中的无限可能性中，并且因此，在测试的无限可能性中。但是，这对我们来说没有任何价值，与投掷骰子相比，因为我们不知道这样测试的结果会遵照的规律是什么。

那里有个规律(并且因此也是算术的兴趣)，它不直接指向这个数。这个数是这个规律的非法的副产品。

这就像有人沿着街道以规定好的步调走，每走一步投掷一次骰子，并且直接根据掉落下来的骰子决定是否在地上打一个木桩；在这种情况下，木桩就不会根据规律拉开距离。更确切地说，这个把它们分隔开的规律只支配步数而没有其他。

那么它意味着说F=0.110没有意义，即使在费马最后定理被证明以后？(假设我在纸上读到它。)

实数的真实本质必定是归纳。我在实数中必须研究的是归纳法。我们可以说“诸如此类”的“此类”。螺纹的缠绕，如果这个规律是数，那么它必须能够与所有其他通过其位置的数相比较(在数的规模上)。

当然，我不能根据除规律外的任何东西定义那个位置。

只有我理解的，才是规律；不是我描述的东西。

我认为，这是阻碍我根据记号表达比我能够理解得更多的唯一的东西。

XVIII

190.在这个语境中，我们仍然保持着反对某种可以称作“算术实验”的东西。应当承认，数据决定结果，但是我不能理解它们在什么方式上决定它。(参见，例如π中7的出现。)质数也产生于寻求它们的方法，作为实验的结果。确实，我能够确信7是质数，但是我不理解它和它满足的条件之间的关系。我只发现了这个数，而不能产生它。

我希望得到它，但是我不能使它产生。我当然能够在告诉我如何发现质数的规则中理解规律，但不是在那个结果的数中。并且这与+1/1!，-1/3!，+1/5!等情况不同，这里我能够在数中理解规律。

我一定能够写下这个系列的部分，以这种方式，你能够理解这个规律。

这就是说，没有描述将会出现在写下来的东西中，每件事必定能够被表达。

近似值必定使其自身构成显而易见的系列的事物。

这就是说，这个近似值自身必定遵守规律。

我们是否可以说，除非我知道π和的几何表达，否则我只有这些数的近似的知识？显然不是。

191.数必须衡量自身。

在我看来，那似乎是它的工作。

如果它不做这个工作，而只把它留给有理数，我们就不需要它了。

我称作数的是那种能够与任何任意选出的有理数相比较的东西，这似乎是一个好的规则。这就是说，它能够被建立起来，无论它比有理数更大，更少或等同。

这就是说，根据相似性称结构为数是有意义的，如果它与有理数以类似于(有着相同的多样性)更大，更少以及等同的方式相关。

实数是能够与有理数比较的东西。

当我说，我称无理数仅是能够与有理数相比较的东西时，我不是为名称的规定寻求更多的重要性。我想说的是，这恰恰是在“无理数”这个名称下面被意味或被寻找的东西。

确实，教科书中介绍无理数的方式一直使它听起来像是这样被说出的东西：看，那不是有理数，但那里仍然有个数。可是，我们为什么仍然称“有个数”？并且这个回答一定是：因为有确定的把它与有理数比较的方法。

“这个过程仅定义当它已经结束时候的数，但是，因为它走进无限并且永远不会完成，所以它不定义数。”

这个过程必须有无限的预见，否则它不会定义数。一定不存在“到现在为止，我还不知道”这样的话，因为在无穷中没有“到现在为止”。

每个有理数必定处于与数的规律有明显的关系之中。

真扩展仅是与有理数比较的方法。

数的真扩展允许与有理数做直接的比较。

如果我们把有理数带入规律的附近，这个规律必须对它做出确定的反应。

它必须回答这个问题：“是这个吗？”

我应该这样说：真扩展是唤起规律与有理数的比较。

缩小区间当然有助于通过这样的事实比较，即因此每个数开始互相为邻。

仅在当比较规律于给定的有理数同这个数的比较中显现，这才可行。

192.实数可以与无限螺旋的假设相比烄，而结构如F， P或者π'仅与螺旋的有限部分相比较。

因为，我无力在它经过的地方通过点来确立它，仅意味着，把它与完整的螺旋比较是荒谬的，因为那样的话，我就会看到它是如何忽略该点的。

你看，在我们的思维背后，我们始终有一个观点，我在整体上不知道这个螺纹，并且因此不知道它在这一点上的路径，我不知道的事实上确实在运行。

193.如果我说 接近2，并且因此最终会达到1.9，1.99， 1.999，这没有意义，除非我能够表达在多少步内这些值能够达到，因为“最终”没有意味。

比较有理数与，我必须把它们平方。然后，它们假设这个形式，现在是算术运算。

在这个系统中写出来，它们能够与比较，并且对我来说，它似乎是无理数的螺旋收缩成一点。

我们不理解在第三个小数为什么有个4，可我们也不需要理解它。因为，在十进制系统的更广泛的应用上，理解的缺乏被淹没了。

事实上，十进制的最后作为整体撤回到背景中去了，并且对于基本的仅保留在计算结果中。

194.当递归定义被建立起来的时候，算术实验仍是可能的吗？我认为，显然不是。因为通过这个递归，每个阶段在算术上都是可理解的。

并且在递归中，我们不是从另一个一般性开始，而是从特定的算术事实开始。

递归定义根据建立在预设非一般性的特定事实基础上表达理解。

确实，我能在寻找F， P这些的事实中给出这些数的规则的递归说明，但是不能在这样的研究的结果中给出。我不能构造这个结果。

让4意味“第四个素数”。能够把4解释为应用于这个基础4的算术运算？因此，4=5是算术等式，像42=16一样？

或者是4只能“够被寻找，但是不能被构造”？

195.在不能够证明不同的数位是人所共知的情况下，是否可能证明a比b大？我认为不能。

在e这个系列中，有多少个0会出现？如果小数位的第n位后有0，并且如果它被固定在n + r总和的阶段后，那么这个0必定同时被固定在第n位，因为另一个数只能让位给0，如果在先前的位置上，它也在变化。因此，0这个数被限制了。

我们能够并且必须说明被固定在确定阶段之后的这个小数位。

如果我不知道有多少的9在3.1415的后面，我不能详述在它的后面比π和3.1416之间的差异更小的区间；并且这暗示着，在我看来，π并不与直线上的点相对应，因为，如果它不与点相对应，它必须可能提及一个比从这一点到3.1416这个区间更小的区间。

如果这个有理数和我想要与其进行比较的实数在十进制符号中给出，如果我完成了这个比较，那么在实数规律和小数标记法之间的关系必须提供给我。

1.4——这是2的平方根吗？不，它是1.96的平方根。这就是说，我可以直接把以近似值的形式写出来；并且当然，看它是否是一个或大或小的近似值。

近似值是什么？(当然，所有有理数存在于或大于或小于这个无理数中。)近似值是写成这种形式的有理数，它能够与无理数做比较。

在这种情况下，小数延伸是与有理数比较的方法：预设为了解决这个问题，我必须扩展到多少位数。

196.数，作为算术实验的结果，并且因此这个实验作为数的描述，是荒谬的。

这个实验也许是数的描述，但不是数的陈述。

我不能把F与11/100相比，因为它不是数。

如果这个实数是有理数a，它的规律与a比较必须表明这一点。它意味着这个规律必须如此形成，以至于当它出现在恰当的位置时(这个数)可以“点击进入”这个有理数。

举例来说，如果我们不确定是否真的是5，它就不会这样。

我们也可以这样说：这个规律必须这样，任何有理数都能够被插入，并且能够被试用。

但是在这种情况下，像P=0.011 010 100 01等等，这样的数怎么样？假设有人声称它是循环小数，并且它在某个阶段看起来似乎也是，那么我就必须能够在规律中试用这个假设的数，就如同我根据乘法直接看出1.141是否就是一样。但那是不可能的。

算术实验的标志是，有某些关于它的东西是模糊的。

197.随后的集合证明不能证明把这个系列解释为数是合理的。

集合显露其自身的地方，就是数必须被追寻的地方。

显示某种东西的证据有着对数来说必要的属性，必须表明数。这就是说，这个证明仅仅是把注意力引向数。

F不也是区间的无限收缩吗？

我如何知道这个螺旋是否会集中在这个点上？在的情况下我知道。

现在，我可以称这样的螺旋为数吗？据我所知，螺纹能够停留在有理数的点上。

但是，难道这不也是可能的：缺少与有理数相比较的方法。

因为拓展延伸不是这样的一种方法，因为我永远都不会知道它是否或者在什么时候才能导致一个决定。

无限的扩展不是方法，即使在它导致比较的结果时。

相反，求a2并且看看这个结果是大于或小于2，这是个方法。

我可以这样说吗：实数是与有理数比较的一般方法？

这样问一定有意义：“这个数会是π吗”

198. F不在0—0.1这个区间；因为我也可以在这个区间做出明确的判断，但是，它不是这个区间的数，因为我们不能迫使这个问题成为对它来说是必要的问题。

那么我们可以说：F是某种算术的结构，不仅是一个数(也不是区间)？

这就是说，我既不能够把F与点相比较，也不能和区间相比较。有一个几何结构与其相对应吗？

这个规律，即比较的方法，仅表达它要产生的或者是“更大，更小或相等”——或者——“更大”(但不相等)。就像我走进一个小黑屋时说：我只能发现它是否比我矮，或者与我有相同的高度——或者——更高。并且这里我们可能会说：因此你发现不了高度；因此你能发现的是什么？这个比较结果是没有说服力的，因为我确信能够建立这个高度，如果我碰到了头，反之，在F情况下，原则上，我不能问：“是这个点吗？”

我不知道决定它是否是这一点的方法，因此它不是点。

如果F如何与有理数相比较这个问题没有意义，因为所有的扩展仍然没有给我们提供回答，那么，在我们试图根据扩展解决这个问题前，这个问题也没有意义。

如果现在有人问“F=0.11吗？”没有意义，那么，甚至在人们检查了这个扩展的100位之前它也没有意义，并且即使他们只检查了一位也没有意义。

但是，在这种情况下，问这个数是否等于任何有理数也不会有意义。就是说，我们也不曾拥有解决这个问题的必要的方法。

据我所知，这就是“数”所显示的。

给定的有理数或者等于，小于或者大于到目前为止计算出的区间。在第一种情况下，这个点形成区间的下限，第二种情况下，它存在于下面，第三种情况下，存在于这个区间的上部。没有任何一种情况是我们正在讨论的两个点位置的比较。

199.假设0.25是1/4的结果，0.不是1/3在相同意义上的结果；它指向不同的算术事实。

假设除法连续产生相同的数字3，但是我们没有在这个必然性中看到它，那么它会在产生的这个结果是0.的推测中形成意义吗？

这就是说，0.仅表明我们已经看到的归纳，并且不是延伸？

我们必须始终能够确定这个数级。假设(在我的标记法中)，不反对在e系列中的特定点上有100个3跟随，那么对10100个3的跟随也许会有异议。(许多在十进制中有讨论余地的，在二进制中却是确定的。)

能够表达一个给定的有理数是不是实数不只是必要的：我们也必须能够表达有多远才能达到它。这就是说，能够表达这个螺旋不通过这一点而只是在它的下面还是不充分的：我们必须也知道到这个点存在的距离的界限。我们必须知道这个距离的规律序列。

小数扩展不给我提供这个，因为我不知道，例如，有多少个9跟随在这个扩展已经到达的地方。

“e是2.7吗？”这个问题缺少意义，因为它没问这个扩展，而只是有关规律的，即我们还没有归纳的概念。我们只能在除法的情况下提出这个问题，因为我们知道我们称为的这个归纳形式。

“这个e的小数位最终能够被确定吗？”这个问题，以及这样回答“它们最终将会被确定”，都是没意义的。这个问题的延续：多少阶段以后，这个位置必须被确定？

我们可以这样说吗：“e不是这个数”没有意味——我们必须说“至少它不在这个区间”？

我认为是这样。但是这表明它根本不可能被回答，除非我们同时被给予间距的概念。

选自F.魏斯曼的1930年12月30日速记的对话笔记。

实数的证明与你可能这样表达有理数证明的方式不相类似：我们在所有有理数中已经证明的东西——即根据归纳——我们能够以相同方式证明所有实数，根据证明方法的外延。你得到实数后才能讨论实数。

我们假设，举例来说，我已经证明了m和n为这个公式am·an=am+n的有理数值(根据归纳)，并且现在要证明它为实数值。在这种情况下，我做什么？显然，不会再根据归纳坚持这个证明是可能的。

因此，这样的公式不意味着对所有的实数来说，如此适用。而是给定一个实数，我解释这个公式使其意味着：有些东西如此适用于这个界限，并且我根据运算规则证明其适用于这些实数。我根据归纳证明这个公式适用有理数，并且显示它适用于这些实数。事实上，单单根据运算规则，我就已经规定了实数。但是，我没证明这个公式适用于“所有的”实数，确切地说是因为这个实数的运算规则没有这个归纳的形式。

那么，事情就是这样：我把给定的项当作实数，并且使这个常项贯穿整个证明。这是完全不同于有理数中发生的事情；因为恰巧它就是那个当这些有理数被改变以后，该公式是否正确的问题，以及这就是该证明有归纳形式的原因。但是这个公式是否适用于“所有的”实数这个问题不会出现——就因为我们根本不允许这个实数改变。

我们不让这个可变的实数贯穿全部的值——即所有的规律。我们单纯地依赖这些运算规则并且别无其他。

现在，你可能会认为：严格地说，这个命题应该被所有的实数证明，并且我们给出的不再是一个线索。那是错误的。被证明适用于实数的公式不表达：对所有的实数来说适用。它表达的是：如果给出一个实数，那么……才适用。并且事实上不是证明的基础，而是解释的基础。

XIX

200.我们在算术中对否定的兴趣被局限在特定的方式上。事实上，它看起来似乎是某种一般性在做否定时是必须的。

但是，你可以表达明显的不可分割性(例如，在埃拉托斯特尼筛法中)。你可以看到所有可被分割的数存在于考虑之中的数之上或之下。

这里，算术的否定通过空间否定而被表达，即“其他地方”。

如果我知道数学的不等式，那么我知道了什么？不知道肯定的是什么的情况下，只知道不等式可能吗？

看起来很明显，否定在算术中意味着与其在语言的其他部分中不同的东西。如果我说7不能被3整除，那么我甚至不能绘制它的图画，我不能想象它如何能够，如果7被3整除。所有这些都自然地从这样的事实而来，数学方程不是命题的类。

很奇怪，对数学的介绍，我们应该有义务也使用错误的方程。因为这就是它的全部。如果否定或析取在算术中是必要的，那么错误的方程在它的表达中就是基本的元素。

“～(5×5=30)”意味着什么？在我看来它似乎是你不应该把它写成那样，而是“5×5≠30”；因为我没有否定任何东西，而是要建立一个关系，既使是不明确的关系，在5×5和30之间(并且因此有些是肯定的东西)。诚然，你可以说：“确实，可这个关系无论如何都与5×5=30不相容。”并且因此是不能整除的关系与可以整除的关系!当我排除整除性时，这就很清楚，在这个逻辑系统中，这是建立不可整除性的等式。并且不是与小于5的数的情况相同的事实，如果它不比5大或等于5？

201.现在，在数学中有一个顽固的东西应用于排中律中。

(当然，既使这个规律的名称也是误导的：它听起来一直像是与“青蛙是绿的或棕色的，没有第三种情况”一样的类型。)

你可以根据这个归纳表明，当你从一个数中连续地减去3，直到你不能再继续下去时，剩下的只能是0或1或2。你称作第一类的事实中，这个分割消失了。

寻找素数分布规律只是试图用素数的肯定标准替换否定标准。或更确切地说，根据确定的替换不确定的。

我认为，这里的否定不是逻辑上的否定，而是不确定。我如何识别——验证——一个否定？根据模糊的但也是明确的东西。

不等式，像等式一样，必须或是运算的结果，或是规定的结果。

就如同方程式可以被说明一样，不像命题，而是作为记号的规则，因此它必须有可能以相同的方式处理不等式。

那么，你如何使用不等式？它导致了这样一个思考，逻辑中也有不相随的内在关系，并且它对识别一个命题并非得自另一个命题是重要的。

否定等式就像又不像命题的否定，这与等式的肯定就像又不像命题的肯定一样。

202.很明显，算术中的否定完全不同于命题的真正的否定。

同样清楚的是，它基本上——在逻辑的背景上——符合析取命题或支持另一个命题的逻辑系列部分的排除，它必定有完全不同的意义。

事实上，它必定与它们的逻辑形式相同，并且因此，是表面上的否定。

如果“不等于”意味着更大或更小，那么它就不能成为，像它过去那样，遭遇“否”的偶然事件。

数学命题只能够成为规定的，或根据确定的方法从规定中计算出来的结果。并且这必须适用于“9可以被3整除”或者“9不能被3整除”。

你如何计算出2×2≠5的？它不同于2×2=4？如果可以计算出，那么是根据2×2=4并且4≠5。

你又是如何计算出“9能够被3整除”的呢？你可以把它当作析取并且首先计算出9÷3=3，然后，取代这个确定的命题，使用推论规则于得出的这个析取。

算术中否定这个记号的重要性仅在于一般性的背景，难道我们不是根据它获得帮助的吗？然而，这个一般性却是根据归纳得到表达的。

并且它使得否定或析取成为可能，在特定的情况下，表现得过于模糊。然而，在一般性“命题”中，也就是在归纳中，却是基本的。

203.我很清楚，算术不需要假设等式作为它的结构，但是对我来说，似乎你可以很好地表达“在11和17之间有一个素数”，在没有事实上指向假等式的情况下。

不等式不是完美的，像等式一样的记号理解规则？一个允许替换，另一个禁止替换。

也许最为重要的是你应该理解根据不等式表达的东西基本上不同于等式表达的东西。并且因此你当然不能够直接把不等式中的小数扩展而产生的数位与等式中的扩展的相比较。这里，在我们面前的是完全不同的方法以及接下来的是完全不同种类的算术结构。

换句话说，算术中，你不能仅把等式和其他的东西(如不等式)放在同一水平，就像它们是不同的动物种类。相反，这两种方法绝对不同，并且判断(定义)的结构相互之间不能比较。

在算术中，否定不能够与命题的否定相同，因为否则的话，在2×2≠5中，我自己就要有能够使2×2如何成为5的图像。

204.你会称“= 5”“可以被5整除”“不可以被5整除”“素数”为算术的谓词并且说：算术的谓词始终与定义了方法的应用相对应。你也可能以这样的方式定义谓词：(ξ×3 = 25)定义F (ξ)。

在特定的情况下，算术谓词是不重要的，因为这个确定的形式使得这个不确定的冗余——在一般规律中变得有重要意义，即在归纳中。因为这里，它们不可以说被这个确定的形式被取代。或者更确切地说：在一般规律中，它们绝不是模糊的。

工程师的计算结果可能会是这样的吗，让我们假设，对某种机械部件来说有长度与素数系列相对应是主要的？不。

你能使用素数构造无理数吗？回答经常是：只要你能够预测素数，否则不能。

如果你能预测，素数一定出现在这个区间，那么这个区间就是能够被预测及被构造的东西，并且因此，我认为，它能够在这个无理数结构中起重要作用。

XX

205.我们能假设一个斑块比另一个大的斑块更简单吗？

我们假设它们是相同颜色的圆：被期望构成较小的圆的较大的简单性是什么？

有人可能回答，较大的那个可以由较小的构成，并且是提炼的部分，但是反过来却不行。但是，为什么我们不该把较小的那个在较大的和圆圈之间做不同的表达？

并且因此，在我看来，较小的斑块不比较大的更简单。

看起来，不可能把单一颜色的斑块看作是有结构的，除非你把它想象为不是同一颜色的。解剖线的图像给这个斑块不仅提供了一种颜色，因为这个解剖线必定有与这个斑块的其他部分不同的颜色。

我们是否可以说：如果我们看到我们视野中的图形——假设，一个红色的三角——那么我们不能根据，例如在一个命题中的这个三角形的一半来描述，并且另一半用其他方法来描述。就是说，我们可以假设没有这样的东西作为这个三角形的一半而有意义。我们只可以讨论这个三角形，如果它的界限是两个颜色间的界限。

这就是比它们小的空间元素与其外的空间结构如何妥协的：较大的几何结构不是由较小的几何结构构成，你也不能把它表达为5是由3和2构成，或者2是由5和-3构成。因为这其中，较大的决定较小的与较小的决定较大的差不多。这个矩形符号不是由这两个矩形□□构成的；反倒是，第一个几何图形决定其他两个。那么，当尼考德说较大图形不包含较小图形作为它的构成时，这里尼考德是对的。但是，在实际的空间中有所不同：这个图形实际上是由□和■组成，即使较大的矩形的纯粹几何图形不是由两个正方形图形组成。

这些“纯粹的几何图形”当然仅仅是逻辑上的可能性。现在，事实上，你可以把实物棋盘看作不是由它的棋盘格构成的统一体，把它看作一个大的矩形并且忽略它的棋盘格。但是，如果你没有忽略这些正方形的棋盘格，那么它就是复合的并且这些正方形是它的构成部分——用尼考德的术语来说，它们是构成它的东西。

(顺便提一句，我不能理解应该被意味的东西是根据假设某物是由某个对象“决定”而不是由它们的“构成”决定。如果这两个表达式有意义，那么它们的意义相同。)

领悟构成部分以及它们的关系，而不是整体的思想是无意义的观念。

206.无论“红色斑块的这个部分(没有根据任何可见范围划界)是红色的”是否有意义，都依赖于它是否有不受条件限制的位置。因为，如果我们可以在视觉空间中讨论绝对的位置，那么我也能把颜色归于这个绝对的位置，即使它的周围的颜色相同。

假设，我看到视觉空间中的相同的黄色并且说：“我视野域的中心是黄色。”那么我可以用这样的方式描绘形状吗？

显见的补救办法是假设红色的和圆形是两个对象的(外在)属性，一个可以称为斑块，并且在其他情况下，这些斑块以某种方式在空间中相互关联；但这是无意义的。

显然，在视觉域中建立位置的同一性是可能的，因为否则的话，我们不能够区分出相同地点是否始终存在一个斑块，或者是否它变换了位置。我们想象一个消失了并且又出现了的斑块，我们当然可以说它是否在同一地点或于其他地点再次出现。

因此，我们确实能够谈论某一视野中的位置，并且事实上，与谈论视网膜上的不同位置一样合理。

这样的空间，与在它的每个点上有不同曲度的表面相比是否恰当，以至于每个点都作为独特的点而被标出？

如果视觉空间中的每个点都作为独特的而被标出，那么谈论视觉空间中的每个地方就有确定的意义，并且在我看来，简化了视觉中事态的表达。但是，如此被标示出的独特的点，对视觉空间来说真的是本质属性吗？我的意思是，我们不能想象我们仅能够察觉某个空间关系而不是绝对位置的视觉空间？这就是说，我们能够如此描绘经验吗？在某些如感觉这样的事物中，我们能够想象独眼人的经验吗？我认为不能。例如，人不能察觉全部视觉领域的转变，或者说，这是不可想象的。如何看待钟表的指针，假设当它沿着表盘移动的时候？(我正在想象一种你在许多大钟上就能发现的表盘，只有指针在上面，并且没有数字。)那么，我们确实能够察觉从一点到另一点的运动——如果它不是从一个位置跳到另一个位置——但是一旦这个表针到达一点，我们不能够把它的位置从它最后到达的那一点区分开。我认为它自身表达了，我们不能把它图像化。

视觉空间中有一个绝对的位置，并且因此也有绝对的运动。想象一下漆黑的夜空中两颗星星的图像，其中，我能看到的只有这两颗星和它们彼此运行的轨迹。

我们也可以说视觉空间是取向空间，即有着上、下、左、右的空间。

并且这个上和下，右和左与重力或左右手无关。如果我们花费我们全部生命通过望远镜凝视这些星，它会仍然保留着它的意义。

假设我们正在通过望远镜观察夜晚的天空，那么除亮圈外，我们的视觉域完全是黑的，并且在这个圈就会有许多的亮点。我们再进一步假设，我们从没见过我们的身体，始终只是它的图像，以至于我们不能把星的位置与我们的头或脚的位置相比较。那么，我的空间有上和下等等，或仅仅是取向的，会对我显示什么呢？无论如何，我能够察觉全部的星座在亮圈中旋转，并且这暗示着我能够察觉不同的星座定位。如果我以错误的方式拿着一本书，我就根本读不了上面的字，或者读起来很困难。

这样说不是这种情况的说明：它只是因为视网膜有上和下等等，并且这使得理解视觉域中应该有类似的东西变得容易。相反，它只是根据视网膜上的环形关系对这种情况的描述。

我们也可以假设，如果我们能够看到，与其他事物一道，根据我们在任意方向上建立的推理坐标框架，我们视域中的情况始终会像这样出现。但是即使那不是确切的表述，因为如果我们真的看到这样一组坐标轴(假设，箭头)，我们事实上也会处于一个位置，不仅建立与对象与这些坐标轴之间的定位，也是坐标轴自身在空间中的位置，似乎处于与看不见的、存在于这个空间本质中的坐标系统之间的关系中。

如果不是这样，我们的视觉域可能是什么样的？当然，我会看到相关的位置以及运动，但不是绝对的。可是，这意味着，例如讨论整个视觉域的转动就不会有意义。到目前为止，也许它是可以理解的。但是现在我们假设，我们用望远镜从这个黑色的边缘看到在某一确定的距离里仅看到一颗星：这颗星从这个边缘在这个相同的距离消失又重新出现。在这种情况下，我们不知道它是否在相同的位置或另一个位置重新出现。或者，如果两颗星要出现并且从这个边缘以相同的距离离开，我们不能假设是否——或——它们是相同的或不同的星。

不仅“我们不知道是否”，而且谈论相同的地方或不同的地方在这两个语境中是没有意义的。并且因为实际上它有意义，它就不是我们视觉域的结构。这个结构的真正标准是，表达它的命题哪些有意义，为真。寻找这一标准是哲学方法。

我们也可以这样表述：我们假设，我们视觉域中的一组坐标突然出现又突然消失，只要我们的记忆足够好，那么我们就能够根据对这个坐标轴的记忆建立每个系列图像的定位。如果没有绝对方向，这在逻辑上就是不可能的。

但是这意味着，我们有描绘可能位置以及这个位置在视觉域中的可能性，没有指向任何碰巧那个时间在那里的事物。因此我们能够，例如假设某些事物在右上方等等。

(类似于弧形表面会被说成某种东西，如一个蛋上的斑块能够被确定在宽的边缘。)

显然，我能够把记号V在某个时候看作v，有其他时候看作A，作为比记号“更大”或“更小”的东西，即使我要通过望远镜看它，并且不能把它的位置与我身体的位置相比较。

也许有人可能回应，我感觉得到我身体的位置，虽然没有看到它。但是感觉空间(我有时这样提)中的位置与视觉空间中的位置没有关系，这两个彼此独立，并且除非在视觉空间中有绝对方向，你不能把感觉空间中方向与它联系起来。

207.现在，我是否可以这样说：我视觉域中的上半部分是红色的？并且这意味着什么？我可以说一个对象(上半部分)有红色的属性？

在这个关系中，它应该被记住，每个视觉空间的部分必须有颜色，并且每个颜色必须占用视觉空间的部分。颜色和视觉空间的形式相互渗透。

显然，没有颜色与存在“位于”关系的位置之间的“位于”关系。颜色和空间之间没有媒介。

颜色和空间相互渗透。

并且，它们彼此渗透的方式形成了视觉域。

208.在我看来，距离的概念直接在视觉空间的结构中给出。如果不是，并且距离的概念仅与视觉域相关联，根据没有距离的视觉空间和另一个包含距离的结构，那么这个事实会被想象，通过在这个关联中的转变，长度a，例如，会比长度b显现的更大，既使我们仍然观察B点始终在A和C之间。

当我们一度用码尺测量视觉域中的对象时怎么样？当这个码尺不在这里的时候，它也被测量吗？

是的，如果在任何意义上，在被测量的东西和没有被测量的东西之间建立起同一性，那么它就被测量了。

如果我可以说“我已经测量了这个长度，并且它三倍于那个长度”，那么它有意义，并且说这个长度仍然与另一个有相同的关系是正确的。

“CC在AA之间”得自“CC在BB之间”，但是只有这个分割是实际被给予的，通过颜色界限时才可以。

线段a和线段b在我看来在长度上相同，并且c部分和d部分对我来说在长度上也是相等的，这显然是可能的，但是，当我数它们时，发现有25个c和24个d。问题产生了：这如何可能？这里这么说是否是正确的：但是它是这样的，并且我们所看到的是视觉空间不遵循——比如——欧几里得空间的规则？这说明，“这如何可能？”这个问题是无意义的，并且是无正当理由的。并且因此，在这里根本不会有任何矛盾的东西，我们只能是不得不接受它。但是，是否可以想象：a表现出与b相等，并且c的数量与d的数量相等，以及有明显的不同于给出的d和c的数量？

或者我现在应该假设，甚至视觉空间中的东西也会以其实际所是的不同方式出现？当然不!或者在视觉空间中n倍与n+1倍区间会产生相同的结果？这是不可接受的。如果不是在讨论它们相等视觉空间时，根本就没有意义。如果在视觉空间中只是讨论“好像”有意义，并且这个表达式在两个独立的经验间不是恰当的关系。并且因此，如果它们是绝对表面上的。

并且因此，也许也是绝对模糊或绝对不清楚的。(然而，在我看来，某些东西只能是模糊的或者是不清楚的，相对于我假设的有关清楚标准的东西：因此相对的。)

那么，在第一种情况下——如果我不能看一眼就能领会这个数，那我在确定这个数时犯错了吗？或者：a和b由许多部分组成——在一般意义上——如果我看不到a和b中的这个数？因为它看起来当然是我没有理由得出结论，c和d有相同的数量必须被提出。并且这仍然适用于，即使计算确实产生相同的数!我的意思是：即使计算也不会产生相同的结果，在那里a和b相等，等等。

(这也表明，描述我们实际看到的东西有多么困难。)

但是，假设我们有理由讨论部分的数目——注意，自始至终在纯粹视觉层次上保留——即使我们不能直接看到数目；那么，这个问题就会产生：在此种情况下，我能确认我数的东西真的是我看到的数，还是说它是我看到的视觉效果？在我没有注意到它时，我能够确认部分的数目不会即时地从24转变为25？

如果我看到a=b以及c=d，并且也有人数这个部分，发现数目相同，至少我会感觉到与我看到的不矛盾。但是，我也注意到，在a中有25个c和b中有24个d时与我看到的却是一样的。从这一点我能够得出结论，在有一个部分多，或者有一个部分少时，我没有注意到，并且因此，如果b中的部分的这个数目在24和25之间变动，我也没有注意到。

209.如果你说不出a和b的部分中确切的数目，在这种情况下，我如何描述视觉图像？我认为——这里值得思考的问题是——视觉图像比它乍看起来要复杂得多。使得它更为复杂的是，例如，通过眼睛的运动引入的因素。

如果——假设——我要根据绘制的图画而不是使用语词描述第一眼看到的东西，那么我不应该真的画出c和d的所有部分。在许多地方，我不得不画出“模糊的”东西代替，即灰色部分。

“模糊的”和“不清晰的”是相对的表达式。如果通常不是这样，就是基于这样的事实，我们对给定的现象的真正本质知之甚少，我们把它们想象得比它们实际更为原始。因此，例如没有被涂上任何颜色的图画，无论是否能够准确表达“模糊强度”都是可能的。但是，它并非得自这个视觉图像被其自身模糊，以及因此不能根据任何确定的图像表达。不，这仅表明视觉图像中有一个元素参与其中——假设通过眼球的运动——不能通过被着色的图画再现出来，而是在其自身中与其他的一样“明确”。在这种情况下，你可以说，真正被给予的相对于这个被着色的图画仍然始终是不确定的或模糊的，而只是因为我们在这种情况下使得这个绘制的图画任意地进入这个给定的标准，当它比被绘制的表达更多的多样性时。

如果我们确实在a和b中看到24个和25个部分，那么我们就不能把a和b看作是相等的。

如果这是错的，下面的必定是可能的：直接在a和b都是24的情况下与a是24而b是25之间做出区分是可能的，但是，在部分的数量之间做出区分仅是可能的，并且在产生a和b的长度之间不可能做出区分。

我们也可能把它进一步简化为：可能直接看到一个区间由24个部分组成，另一个则由25个部分组成，而不可能区分由此产生的长度。我认为，“相等”这个词即使对存有矛盾的视觉空间也有意义。

我是否根据没有说出视觉空间的两个区间不相等来保证它们相等？这个问题影响深远。

我能否连续有两个印象：一个是，被分成5个可见部分的区间，另一个是以相同的方式被分成6部分的可见的区间，同时我还不能说明我看到了这个部分或者有不同长度的全部区间？

如果问“这条线段在长度上不同还是相同”，我不能这样回答：“我见它们在长度上不同。”因为没有长度上的不同“进入”我的思想。

并且我认为，我也不能说我看到它们在长度上相等。另一方面，我不能说：“我不知道它们在长度上相等还是不相等”(除非我的记忆离开了我)，因为那意味着什么都没有，只要我继续只谈论直接被给予的。

210.问题是，当我们把欧几里得空间中使用的推理方法应用于视觉空间中时，如果解释出现的某个矛盾？

我的意思是：把我们领悟的每一步带入视觉空间的结构中是可能的，但是，它的结果与我们的几何概念相冲突。

现在，我认为这种情况经常发生，因为我们只看到零碎的结构并且不是作为一个整体。这个解释会存在于这样的表达中，根本没有由这些单个的视觉碎片构成的视觉结构。

这就像是当我给某个人看一个大的球体表面的一个小部分并且问他是否接受在其上面可见的这个大圆是一条直线；并且如果他接受，那么我就会旋转这个球体并且向他表明它又回到了这个圆的相同位置。但是，我确实没有向他以这样的方式证明，视觉空间中的直线返回到了它的自身。

这个解释是：这些是视觉碎片，然而，不加入到视觉整体中，或者无论如何我不认为我能在最后看到作为结果的整体。

这类最简单的结构确实是，上面的两个等长区间中的一个，进入这个碎片n次，并且进入另一个n+1次。这个结构的每一步存在于从一个构成部分到另一个构成部分的延续，并且发现这些部分相等。

这里，你可以解释，在这个过程中，我实际上没有研究这个等长区间的最初视觉图像。但是，其他的东西闯入了这个研究，导致了这个令人吃惊的结果。

但是，也有对这个解释的反对意见。有人可能说：我们没有从你检查的这个单个部分时隐藏任何部分，不是吗？因此，你应该能够看到是否有某些其他的东西同时被改变，被转换。如果这个没有发生，那么你确实应该能够看到，上面所述的东西，不是吗？

说视觉空间中的可分性有意义，因为在描述它中，必定可能以被分割的延伸替换未被分割的延伸。并且，根据我早前的阐述，这个空间的无限分割所意味的东西就很清楚了。

211.在我们试图把测量的概念应用于直接经验时，我们开始反对这个经验中的特有的模糊。但那仅意味着相对于这些测量的模糊概念。并且，现在看起来对我来说，这个模糊性不是某种暂时的东西，不是根据更为精确的知识在后来要被取消的，而是独特的逻辑特性。如果，举例来说，我说：“我现在看到在蓝色的背景下的红色圈并且记住几分钟前有相同大小或者也许更小且更亮的东西。”那么这个经验就不能够被更为精确地描述。

“粗糙”“近似”等等这些语词，公认的仅有相对意义，但是，它们仍然是所需的，并且它们描述我们经验本质的特性；不是作为粗糙或模糊自身，而仍然作为粗糙和模糊与我们的表达技术相关。

这全都与“多少粒沙子堆成一堆？”这个问题有关。

你可能会说：超过一百粒的任何一组是一堆，并且少于十粒的不能成为一堆。但是，这必须这样来理解，10和100不被当作“堆”这个概念本质的界限。

并且这与详述的我们第一眼看到的这些垂直短杠哪一条最早被发现与第一条短杠有不同的长度是同一个问题。

欧几里得几何中，与视觉中的圆相对应的不是圆，而是一组图形，包括这个圆，但也有，例如，几百个边的规则多边形。这个集合的定义特征可能是像它们包含的所有图形一样，是通过圆的震动而产生的线。但即使这样也是错的：因为，我为什么应该精确地选取这个产生于圆的震动而不是产生于几百边形的震动而产生的线？

并且这里我遇到了主要困难，因为看起来这个不精确东西的精确界定是不可能的。这个界定是任意的，因为与震动的圆相对应的东西如何区别于与震动的百边形相对应的东西？

下面的解释有某些吸引人的地方：任何在a中的事物，a是作为视觉圆C出现的，任何在b之外的东西，b不是作为C出现的。那么，我们就有了语词“堆”这种情形。剩下了一个模糊的地带，并且a和b的界限对被定义的概念并非基本的。a和b的界限仍然就像是院子的墙。它们是在我们仍然能够画某些东西的某一点上任意画的。就如同我们用墙围住沼泽一样，那里，这面墙不是沼泽的边界，它只是处于围绕沼泽的坚实的地面上。它是表明有一个沼泽在其中的记号，而不是这个沼泽恰好与它的表面边境有着同样的尺寸。

212.视觉空间与欧几里得空间是否有如下相关性：无论我给观察者展示什么样的欧几里得图形，他必须能够区分出它是否是视觉圆C。这就是说，根据展示的图形间不断减少的区间，我能够无限期地减少不确定的区间，能够无限期地接近我看到的是C的东西和我看到的不是C的东西之间的界限。但是，另一方面，我在欧几里得空间中，从不能画出这样的像弧一样的界限，因为如果我能，那么它自身就必须属于这两个集合中的一个，并且是这个集合的最后的元素，在这种情况下，我就必须能够看到欧几里得的弧。

如果有人说，例如，我们从不会看到一个真正的圆，而只是近似的圆，听起来合理，不会招致反对意见，如果它意味给定一个看起来环形的物体，我们仍然能够根据精确的测量或者根据通过放大境的仔细观察发现误差。可是，在我们替换直接给予的，这个斑块或无论我们选择什么名称称呼它，替换这个环形物体，我们就失去了这个意义。

如果圆就是我们看到的那种东西——是在与我们看到蓝色斑块相同意义上看到的——那么，我们必定能够看到它以及不仅是在像它的东西上。

如果我看不到精确的圆，那么在这个意义上，我也不能看到近似圆的东西。但是这个欧几里得的圆——以及这个与欧几里得近似的圆——在这个意义上根本不是我觉察到的对象，而仅是一个不同的逻辑结构，它来源于与直接视觉空间非常不同的空间的对象。

但既使这样说也是具有误导性的，我们宁愿这样说，我们看到不同意义上的欧几里得圆。

并且这类设计的不同存在于欧几里得圆和这个被理解的圆之间，而不是幼稚的假设。

如果我说，你不能在千边形与圆之间做出区分，那么这个千边形必须通过它的结构给出它的起源。我是如何知道它“事实上”是千边形而不是圆？

视觉空间中没有测量。

我们能够给出，例如，视觉空间下列定义：“直线是那种不是曲线的东西”和“圆是不断弯曲的曲线”。

213.我们需要新的概念，并且我们继续依赖于那些有关物理对象的语言。“精确”这个词是那些模糊表达的一种。普通语言中，它指向一个比较，并且它完全是可理解的。某种程度的不精确是存在的，完全的精确性也是可能的。但是，当我说我从不会看到一个精确的圆，并且现在正在使用的这个词不是相对的而是绝对的，这些意味着什么呢？

语词“我看”在“我看到一个斑块”和“我看到一条直线”中，因此就有不同的意义。

假设我不得不说“我从没看到过一条明显的界限”，那么我就不得不问“一条明显的界线可以想象吗”。如果说“我没看到一条明显的界限”是对的，那么一条明显的界限就是可以想象的。如果说“我从没看到过一个精确的圆”有意义，那么这表明：一个精确的圆在视觉空间中就是可以想象的。

如果一个精确的圆在视觉空间中是不可想象的，那么命题“我从没有在视觉空间中看到一个精确的圆”必定与“我从没有在我的视觉空间中看到高度C”这类命题一样。

如果我说“上面的区间与下面区间一样长”，是通过“在我看来，上面的区间与下同的区间一样长”这个命题意味的东西，那么，在这个命题中，“相等”这个词意味着完全不同于它以相同的语词在这个命题中表达的东西，而是通过圆规比较长度。由于这个原因，我可以，例如，讨论改善后一种情况中的比较方法，而不是前者。相同语词“相等”的使用，而又有着完全不同的意义，这非常令人困惑。最初指向谈论物理对象习惯用语的“事物”，“空间中的物体”，被应用于视觉域的元素；在这个过程中，它们不可避免地彻底改变了它们的意义，并且先前曾有意义的陈述现在失去了它的意义，并且曾经在第一种方式中没有意义的，现在获得了意义。即使存在某种相似性——只因这个东西，诱使我们使用相同的表达。

“在视觉域边界附近有一个红色的斑块”与“视觉域中的红色斑块在蓝色斑块附近”中的“在……附近”意味着完全不同的东西。此外，第一个命题与“视觉域中的红色和蓝色的边界是一个圆”中的“边界”是不同种类的语词。

这样说有什么意义：我们的视觉域的边缘和中间区域相比不够清楚？这就是说，如果我们不在这里谈论我们看到的物理对象在视觉域的中间处更为清楚这个事实的话？

在物理的和现象的语言中一个最为清楚的困惑是马赫图像，它由其视觉域构成，其中视觉域的边缘附近图像的被称为模糊强度的是根据描绘中的模糊强度(完全不同的意义上)产生出来的。不，你不能做出我们看得清楚的视觉图像。

因此，我可以说视觉域边缘的颜色块不再有轮廓线：那么，这些轮廓可以想象吗？我认为缺少清晰度是视觉空间的内在属性，这一点是显然在的。“颜色”这个词，当它指向边缘附近的图像时有不同的意义吗？

没有这个“模糊强度”，视觉空间的无限性是不可想象的。

214.在视觉空间中有什么样的特质这个问题产生了。我们从这个身体的协调中认识了什么，例如视觉空间和触觉空间之间？假设，一个指定的空间中元改变，另一个空间中会出现改变？

你把物理学上的百边形当作圆的事实——不能把它与物理的圆区分开——表明这里没有百边形的可能性。

对我来说，这证明了找到物理主体是不可能的，并且给予百边形的视觉图像对逻辑来说没有意义。问题是：讨论百边形有意义吗？或者：讨论一眼看到一列有30条杠有意义吗？我认为没有。

这个过程根本不是首先看到三角形，然后是四边形、五边形等直到五十边形以及最后圆形的过程；也不是我们看到三角形、四边形等直到，也许是八边形，然后我们仅看到其边的长度变化的多边形。这个边变得更短，那么朝圆变动就开始了，最后成为圆。

也不是物理的直线切向一个圆这个事实给予直线的视觉图像，延伸与这个弧合并证明我们的视觉空间不符合欧几里得定理，因为不同的物理配置可以完美地产生与欧几里得正切相对应的图像。但事实上，这个图像是不可想象的。

215.“我们从来看不到一个精确的圆”这个命题意味什么？精确圆的标准是什么？我们能够精确地说“也许我看到一个精确的圆，但是从来不能理解它”？一旦它在某人称之为一个测量是在比另一个更为精确的情形下建立起来，所有这些就有了意义。现在，圆的概念预设了——我认为——“更大的精确性”的概念，它包含增长的无限可能性。并且我们假设圆是更大精确性的无限可能性的概念。这个增加的无限可能性会是这个术语的先决条件。当然，它必须在各种我要当作在精确性中增加的东西情形下都是清晰的。

说这个圆只是实在能够接近的理想显然没有意味。这是一个误导性的隐喻。因为你只能接近那里的东西，并且如果这个圆以任何我们可能接近的形式给出，那么，那个精确的形式对我们来说也不重要，并且接近另一个形式在其自身中处于次要地位。因此，这个圆就与无理数处于相同的位置。

我们谈论不精确的圆、不精确的球体等，对欧几里得几何学的应用看起来是重要的。并且这个不精确性必须是在逻辑上无限递归的。并且因此，如果有人要理解欧几里得几何学的应用，他必须知道“不精确”的意味。因为在不精确的概念和我们的测量之外，没有给予我们任何东西。这两者必须与欧几里得几何学相符合。

鉴于目前的情况，测量的不精确性与视觉图像是相同的概念吗？我认为：当然不是。

如果我们从没理解一个精确的圆应该有所意味的断言，例如，我们从没看到一条直线在某个点上触及到一个圆(即，在我们的视觉空间中没有什么东西有直线触及圆的多样性)，那么对这个不精确性，精确性的不明确的程度不是可以想象的。

“相等”这个词有不同的意义，当被应用于视觉空间中的区域时，以及被应用于物理空间时，相等在视觉空间中与在物理空间中有不同的多样性，因此，视觉空间中的g1和g2可以是直线，

并且a1=a2、a2=a3等，但不是a1=a5。同样，视觉空间中的圆和直线的多样性也不同于物理空间中的圆与直线的多样性，因为看到的圆的一小段可以是直的；“圆”和“直线”仅在视觉几何的意义上被使用。

这里，普通语言求助于语词“看起来”或者“似乎”。它说a1看起来与a2相等，然而，这个现象停止于a1和a5的情形。然而，它模糊地使用“似乎”这个词。因为它的意义依赖于与这个作为实在的现象相反的东西。在某种情形下，它是测量的结果，在另一种情形下，是进一步的现象。并且因此，“看起来”这个语词的意义在这两种情形中不同。

216.现在该考证一下“感觉材料”这一短语了。感觉材料是这棵树的现象，不管“确实有一棵长在那里的树”或者仿制品，一个镜子的图像、幻觉等。感觉材料是这棵树的现象，并且我们要说的是在语言中它的表达仅是一个描述，但不是本质的描述。就如同你可以说出“我的视觉图像”这个表达式，它仅是描述的一种形式，而绝不是唯一可能的及正确的形式。语词“这棵树的现象”的形式包含着在我们正称为现象的东西与“树的存在”之间的必要联系的思想，事实上无论它是否是真实的知觉还是错误。这就是说，如果我们讨论“树的现象”，我们既是在把是树的东西当作树，或者把不是树的东西当作为树。但是这个联系是有的。

唯心主义者喜欢把次要的东西表达为主要的，把主要的东西表达为次要的来责备语言。但这仅是独立于认识(“只是”一个现象)这些非基本的评价中的一种情形。除此之外，普通语言对什么是基本的或次要的做出判断。我们没有理由接受这个表达式：“树的现象”这个表达式表达与“树”这个表达式有关的间接的东西。“仅仅一个图像”这个表达式回到了我们不能吃苹果图像这个观点上来。

217.我们可能认为，视觉空间中的正确模型是欧几里得的绘画板和它的完美精致的构造物，我们摇动它，以至于所有的构造物都在某种程度上模糊(进而，随着表面的摇动，其内部也在所有的方向上同样摇动)。事实上，我们可以说：它剧烈地震动，而它的震动还没有被注意到，那么它的物理几何会成为我们现象几何的图像。

可很重要的问题是：你能把现象的“模糊强度”转换成绘画中的不精确性吗？在我看来你做不到。

例如，不可能根据绘画中直接被看到的粗杠和点表达不精确性。

就像我们不能根据淡色涂成的图画表达图像的记忆一样。记忆的模糊非常不同于我们看到的色彩的模糊；并且视觉的不清晰不同于不精确绘画中的模糊性。(确实，绘画中的不清晰性被正确地看作我们正试图要根据它的不精确性表达的不清晰性。)

(电影中，当要表达记忆和梦时，这个图像通过浅蓝色给出。但是记忆图像没有浅蓝色，并且因此，这个浅蓝色图像不是这个梦的准确的视觉图像，而图像在某种意义上不是直接的视觉。)

视觉域中的直线不必或是直的或是弯的。当然，第三种可能性不应该被称为“可疑的”(那没意义)；我们应该给它另一个名字，或更确切地说，用一个不同的东西替换整个谈论方式。

不是欧几里得的视觉空间通过两种不同种类的线和点的出现已经得到表明：我们把恒星看作点，就是我们看不到恒星的轮廓，并且在不同的意义上，两个颜色的界限也横切一个点；直线也类似。我能看到发光的线，但看不到它的粗细，因为否则我应该能够看到它作为矩形的横断面，或至少看到它的轮廓的四个点。

视觉圆和视觉直线可以有重合。

如果我仔细观察一个画出来的带有正切的圆，那么，我从没看到一个完美的圆及完美的直线相互接触，这没什么了不起，当我看到这条直线和这个圆在某段上重合时，这才有意思。

因为只有那样才会表明视觉圆和视觉线本质上不同于欧几里得几何的圆和直线；但在第一种情形下不会，我们还没有看到完美的圆和完美的直线彼此相切。

XXI

218.似乎存在单一的颜色。仅作为心理现象。我需要的是心理的或更确切地说是现象学上的颜色理论，不是物理的以及生理学的。

此外，它必须是纯粹现象学上的，由实际上可以理解的并且没有假设对象——波、细胞和所有这类东西的出现。

有鉴于此，我们可以承认颜色是红、绿、蓝、黄、白和黑的直接的混合物。它仍然是颜色本身，不是颜料，不是光，不是视网膜上面或视网膜内部的过程。

我们也能看到一个颜色比另一个更红或更白，等等。但是我们能为颜色找到度吗？这样说是否有意义，例如，根据红色中的总量，一个颜色位于两个其他颜色间？

至少这样说看起来有意义，第二个颜色比第三个颜色更接近这种颜色。

219.你可能会说，紫色和橙色在混合时部分地消失在彼此当中，而红色和黄色却不是。

不管怎样，在黄色不是红色和绿色的混合的意义上，橙色是红色和黄色的混合。尽管在色圈中，黄色介于红色和绿色之间。

并且，如果那恰巧表明没有意义，那么这个问题就产生了，在哪一点上它才开始变得有意义？就是说，如果我现在要在这个圈上从红色和从绿色向黄色移动，并且称黄色是我现在到达的两种颜色的混合。

这就是说，我承认黄色中的红色与绿色的亲和关系，即染有红色的黄色——并且我仍然不承认绿色和红色是黄色的构成部分，在我承认红色和黄色作为橙色的部分的意义上。

我要说，红色介于紫色和橙色之间，仅在这个意义上，即白色介于粉色和淡绿色之间。在这个意义上，难道不是任何颜色介于其他两种颜色之间，或至少在任何根据各自的路线出发点到最终相遇的两个颜色之间吗？

人们可以说，在这个意义上，颜色仅存在于有关指定的两个其他颜色的持续转换当中？并且因此，假设蓝色处于红色和黑色之间？

那么，它是不是这样：假设这个斑块的颜色是橙色和紫色混合而成，并且紫色属于不同于通过假设这个斑块有与紫色和橙色共同的颜色？——但这也行不通；因为在橙色是红色和黄色的混合的意义上，根本没有橙色和紫色的混合。如果我想象混合蓝色与黄绿色，我马上看到那不会发生，相反，构成部分将在这个联合出现前就被“消灭”。这不是红色和黄色的情形。并且在这里，我没有持续转变(通过绿色)的图像，仅这个分离色调在这里发挥作用。

220.我必须知道一般来说表达式“颜色A和颜色B的混合”意味着什么，因为它的应用不局限于有限数对。因此，例如有人向我表明任意的橙色以及白色的阴影并且假设这个斑块的颜色是它们两个的混合，那么我必须知道它，并且我能够理解它。

如果有人对我说，这个斑块的颜色存在于紫色和红色之间，我理解它，并且能够想象比给定的更红的紫色。鉴于此，如果有人对我说，这个颜色存在于紫色和橙色之间——这里，在我面前就没有特定的持续的转换存在于画好的颜色圈的形式中——那么，在这里充其量，我可以认为，这意味着更红的紫色，或者更红的橙色。因为给定颜色圈中，没有存在于两种颜色之间的一半的颜色，并且正是由于这个原因，我既不能假设橙色形成界限的点太靠近黄色，因为它仍然是这个紫色混合的；我不能说出存在于颜色圈中距离紫色90°位置的橙色的点。这个存在于其他颜色间的混合色的方式，在这里，与红色近于蓝和黄之间的方式没有不同。

如果我说在普通意义上，红色和黄色产生橙色，我不是在这里谈论构成的数量。并因此，给定一个橙色，然而我不能说再多一点红色会使它变成更红的橙色(当然，我不是在谈论颜料)，尽管说更红的橙色有意义。但是，例如说这个橙色和这个紫色包含相同数量的红色没有意义。那么红色里包含多少红？

我们被引诱做出在这个颜色系列和两个平衡光束的系统之间的比较，这里我们能够移动系统的重心，就如同我根据移动和增加重量所做的选择。

鉴于此，认为如果我在紫色点上有刻度A，并且移动刻度B到红黄区域，那么C就移向红色，这是无意义的。

并且你怎么看我放在刻度上的砝码：当我不谈论颜料时，它是否意味着要表达“这个红色更多”？那仅意味着某种如果我理解了有关纯红色数量单位的东西，这个数量是在开始被规定的。

那么，这个完整的数量单位没有意味，而这个刻度代表红色。并且这个相关的数也仅指定天平上的一个点，并且不是点加上重量。

鉴于此，如果我把两个末端颜色设定为蓝—红区域，并且移动这个较红的颜色，我可以假设这个混合色也移向红色。但是，如果我移动一个颜色越过红色，并且把它移向黄色，那么这个混合不会变得更红!把淡黄红与紫色混合不会使得这个紫色比纯红色与这个紫色的混合更红。这个红色现在变得较黄，甚至带走了这个红色中的某些东西，并且没有增加红色。

我们也可以做如下描述：如果我有一个紫色的颜料桶，以及另一个是橙色的颜料桶，那么，给这个混合增加一定数量的橙色，这个混合色会逐渐从紫色向橙色变化，而不是通过纯粹的红色。

我可以说出两种不同的橙色色调，没有理由说它比黄色更接近红色。不过这里没有“中间点”。另一方面，如果是这样的话，我看不到两种不同的红色，并且怀疑它们中的任何一个是纯红色。那是因为纯红色是一个点，但是从红到黄之间的过程不是。

221.必须承认，我们可以说橙色接近黄色是真的，因此它“比红色更接近黄色”并且类似于红橙色。但它并非得自必须在红色和黄色之间有一个中间点。这里的观点是，就如视觉空间中的几何与欧几里得几何相比较一样。这里有大量的根据有理数表达的不同种类。“接近”和“从……更进一步”这样的概念，在我们应用这些短语时，根本就没用或者说是误导的。

再有：表达一种介于红色与蓝色之间的颜色并没有明确地(不含糊的)定义它。但是，纯的颜色必须得到毫不含糊地定义，当它被说明，它们介于某种确定的颜色之间。因此，“介于……之间”这个短语意味的东西不同于它在第一种情况下意味的东西。这就是说，如果表达式“介于……之间”在一种情况下指派两种简单颜色的混合，并且在另一种情况下，指派常见的两种混合色的简单构成，其应用的多样性不同于这两种情况。并且这不是程度上的不同，它属于两种完全不同的范畴。

我们不能在与介于红和黄之间相同的意义上说存在于绿黄和蓝红之间，因为在前一种情况下这样说是因为我们能够识别90°角；因为我们把黄色与红色看作点。但是在另一种情况下没有这样的区分，在那里，这个混合色被认为是主要的。因此，在这种情况下，可以说我们永远不确定这个混合是否是可能的。确实，我可以任意选择一个混合色，并且规定它们包含一个90°角；可这是完全任意的，相反，当我们在第一种意义上说没有蓝红和绿黄混合时就不是任意的。

因此，在第一种情况下，语法产生“90°角”，并且被用于误导我们思考：我们仅需要把它一分为二，并且这个毗邻的部分取得另一个90°部分。但是这里的角度的隐喻崩溃了。

当然，你也可以把所有的色调安排在一条直线上，把黑色和白色假定为终点，如我们一直在做的那样。另一方面，你一定要引入规则排除某种过渡，并且最后，这条直线上的表达必须被给予与八面体一样的拓扑结构。这里，它完全类似于普通语言和“被逻辑地净化”的表达模式之间的关系。这两者完全相同，它只是表面穿上语法规则外衣中的一个。

在何种程度上你可以在橙色是红色与黄色的混合的意义上说灰色是黑色与白色的混合？并且在红色介于蓝红色与橙色之间的意义上说灰色不介于黑与白之间？

如果我们用锥体表达颜色，取代八面体，在颜色圈上仅有一个之间，并且红色出现在蓝红色和橙色之间，与红蓝介于蓝色与红色之间的意义一样。并且如果事实上这就是全部要表达的，那么根据双锥体的表达就足够了，或至少使用八面棱锥体。

222.奇怪，似乎从一开始就清楚的是，我们不能在橙色有红色色调的意义上说红色有橙色色调。这就是说，显然看起来“x是y与z的混合”和“x是y和z的共同元素”这两个短语在这里不是可以相互转换的：如果它们是这样，那么我们所有需要表达的就成了两者之间的关系。

一般来说，短语“……的共同成分”和“……的混合”有不同的意义，其中的一个仅能被应用于另一个不能被应用的语境中。

鉴于此，它是与我们在混合蓝色和绿色时我得到的蓝绿色的颜料不相关，但是当我把蓝绿和蓝红混合时，结果不是蓝色。

如果我的思考方式是正确的，那么“红色是纯色”就不是命题，并且它要表明的不易受经验检验。因此，有时是红色和有时是蓝红色应该向我们展现出纯色就是不可思议的。

223.除从颜色到颜色圈的过渡，看起来还有其他的具体的转换在我们面前，在我们看到一个颜色混合另一种颜色的点时。当然，我在这里的意思是看到的过渡。

并且这种变迁提供一个新的意义给“混合”这个词，与在颜色圈上的“之间”的关系不一致。

你可能这样描述：我能够想象橙色斑块是由红色和黄色混合而成，然而，我不能想象红色斑块由紫色和橙色混合而产生。在这个意义上，灰色是黑色和白色的混合，但是白色不是粉色和淡绿色的混合。

但是，我不是指以这种方式从其他颜色而产生某些颜色试验性的混合。我可能根据旋转有颜色的圆盘完成这个实验。那么，它可能起作用，也可能不起作用，但是它只表明讨论中的这个视觉过程是否能够根据这些物理的意义产生——它不表明这个过程是否可能。就像对表面做物理切割一样，既不证明也不证伪视觉的可分割性。因为假设我不再把物理的切割看作视觉的分割，但是，当醉汉看到把未分割的表面看作已分割的，那么这个视觉表面不是可分割的？

如果给我两个红色色调，假设它们彼此相近，不可能质疑它们是否介于红蓝之间，或介于红黄之间，或其中一个介于红蓝之间，另一个介于红黄之间。并且在做此决定时，我们也已决定它们是否可能是蓝或黄的混合，或者一个是蓝的混合一个是黄的混合，并且这适用于无论这些放在一起的色调如何接近，只要我们仍然能够根据颜色区分颜料的情况。

如果我问这个音阶是否带来连续的无限可能性，那么说我们不再能够察觉超过某个震动频率作为特征的空气震动，因为它可能以其他方式带来更高程度的感觉。相反，音阶的界限仅能得自它内部的属性。例如，我们能够从特征本身区分出它是最终的，并且因此这个最后的特征，或者这些最后的特征，展现了两者之间没有的内在属性。

就如同我们视觉域中的细线表现出粗线不拥有的内在属性，以至于在我们视觉域中有一条线，不是颜色的界限，而是它自身的颜色，可是在特定的意义上没有粗细，因此，当它与另一个这样的线相交时，我们看不到A、B、C、D这四个点。

224.现在，存在于试图把事物看作比它们实际上更为简单的危险经常被夸大。但是这个危险确实高度存在于感觉印象的现象学研究中。它们经常被看作比它们实际所是更为简单。

如果我看到一个图形拥有先前我没有提到的组织结构，我现在就会看到一个不同的图形。因此我可以把||||||看作|| || ||或||| ||

或| |||| |等等的特例。这仅表明我所看到的并不与它显现出来的一样简单。

理解教堂音乐的模式不意味着习惯于这种音乐旋律，如我习惯于某种气味并且之后不觉得它刺鼻的习惯。它意味着听到某种新的东西，我以前没有听过，以非常相同的方式——事实上，它完全类似——因为它会是，如果我突然能够看到10条杠||||||||||，我先前只能够把它看作两个5条杠。或突然把这个立体图像看作三维的，当我先前仅能够把它看作平面图形时。

当我们在一片漆黑当中什么都看不到时，视觉空间的无限性最为突出。

XXII

225.命题，假设与实体相关联——自由程度不同。在极端的情况下，不再有任何联结，实体可以做任何事而不与命题冲突：在这种情况下，命题(假设)就缺少意义!

重要的是记号，无论如何复杂，最终仍要指向直接经验，不是指向间接的媒介(事物自身)。

我们对命题的全部要求是有意义，是我们的经验在某种意义上或要趋向与它们一致或趋向不与它们一致。这就是说，直接经验需要证实有关它们的事物，它们的有些方面。并且事实上这个图像直接得自实体，因为我们说“这里有把椅子”，当我们仅看到它的一个侧面时。

根据我的原则，两个假设必须在意义上同一，如果每个可能的证实中，其中一个经验也证实了另一个的经验。因此，它们之间的非经验决定方式是可以想象的。

以这种方式说明的命题，即不能够被限定为真或假，完全从实体分离出来，并且不再作为命题的函项。

现代物理学家(爱丁顿)的观点与我的观点完全一致，当他们说这些记号在他们的等式中不再有“意义”时，并且物理学家不能得出这样的意义，而是必须停留在记号上。但是，他们没有看到这些记号有意义是在——并且只是在——直接可观察的现象(诸如光点)与它们一致或不一致时。

现象不是某些东西的记号：它是实体。

现象不是某些独自使得命题为真或假的记号：它自身是验证命题的东西。

226.假设是逻辑结构。这就是说，某种表达规则适用的符号。

谈论感觉材料和直接经验的关键在于我们要寻找一个没有假设于其中的描述。如果假设不能被确切地证明，它就根本不能被证明，并且对它来说没有真或假。

我的经验说支持这样的观点，这个假设能够表达该经验，并且只是将来的经验。如果产生的结果是使得另一个假设表达这个经验材料更简单，那么我选择更简单的方法。这个表达的选择是建立在被称为归纳的过程之上(不是数学归纳)。

这就是人们如何试图表达经验的过程，把其自身表述为不同曲线的走势，每一个都是建立在被我们了解的事实过程之上。

--- -这条线是实际的过程，到目前为止它是这样被观察到的。---, -·-·-·-, -··-··-,表明它建立在全部被观察资料的更大或更小部分基础上的不同尝试。

227.我们放弃假设只会付出更高的代价。

归纳是建立在经济原则之上的过程。

任何假设都与实体联结，它实际上比证明更为松散。

表达有多简单才能根据特定的假设而产生这个问题，我认为直接与可能性问题相关。

显然，你可以根据图像解释一个假设。我的意思是，你可以，例如把这个假设“有一本书放在这儿”，解释为显示这本书平面、立体和不同的横断面的图像。

这样的表达给出一个规律。就像曲线方程给出一个规律一样，根据曲线能发现纵坐标，如果你切割到不同的横坐标。

在这种情况下，这个特定情形的验证与实际做出的切割相一致。

如果我们的经验得自位于直线上的点，这些经验是有关直线的不同看法的命题是一个假设。

该假设是表达这个实体的方式，因为一个新的经验可以与它一致或不一致，或者使修正这个假设成为可能。

228.对假设最为重要的是，我认为，由于它允许将来的确认，这样它就产生了一个期待。这就是说，它是假设的本质，它的确认从不会完成。

当我说假设不是最终可被证明的，这不是说有一个有关它的证明，我们可以无限接近，却无法达到。这是我们经常陷入其中的愚蠢行为。不，假设与实在有着不同的形式关系，不同于证明。(因此，当然“真”和“假”这些词在这里也不适用，或者有不同的意义。)

在我们害怕我们的期待出现的情况下，事件的无变化性这个信念的本质也许是最清晰的。没有什么能够说服我把我的手放在火中，即使过去我只是烫伤过自己。

如果物理学描述物理空间中的特定形状的物体，它必须假设该验证的可能性，即使没有明确说出。该假设与直接经验相关联这一点必须预先考虑到。

假设是形成命题的规律。

你也可以说：假设是形成期望的规则。

可以说，命题是特定假设的横断面。

229.假设的概率在需要多少证据使它实现上有其衡量标准。

仅在这个意义上，我们可以假设重复过去相同经验为将来提供同这种一致性延续的可能。

如果，在这个意义上，我说：我假设太阳明天会再次升起，因为相反的情况是不可能的，我在这里通过“可能的”和“不可能的”所意味的东西完全不同于在“我扔出了正面或反面是同等可能的”这个命题所意味的东西。“可能的”这个词的两个含义以某种方式相关联，但它们不是同一的。

重要的是，我必须能够把我的期待不仅与被当作对它的最终的回答(它的证明或证伪)相比较，而且也能够与当前事物的状态相比较。只有这样才能使期待进入图像。

这就是说：它现在必须有意义。

如果我说我能看到，例如，球体，这不意味别的，而是我正在看一个球体提供的景观，但是这也仅意味着我能够构造诸多景观，通过一定的规则——这个球体的规则——并且就是这样的景观。

230.根据物质对象世界的假设描述现象是鉴于它不可避免的简单性，当与难于操纵的复杂的现象描述相比时。如果我能看到圆的不同的分离的部分，给予准确的直接描述也许是不可能的，但是它们是圆的部分的描述，由于还没有对其进一步的研究，我看不到作为整体的圆——是简单的。

这类描述始终会引入某种参数，对我们的目的来说，我们不需要研究。

根据自然科学的现象说明的逻辑多样性与描述的逻辑多样性之间的不同是什么？

如果，例如，有规律的滴答声要在物理学上被表达，图像的多样性就会被满足，但是，这里它不是声音的逻辑多样性问题，而是被观察现象的规律性问题。就这样，相对论不表达现象自身的逻辑多样性，而只是被观察对象的多样性。

如果，例如，我们使用坐标系和等式表达位于我们某个距离的命题，这个描述比我们眼睛证实的有更大的多样性。第一个多样性与证明不符，但是符合根据证明而被遵守的规律。

只要有人把精神想象为一个东西，我们头脑中的物体，那么在假设中就没有害处。危害不在于我们的模式的不完善与粗糙，而在于它们缺少清晰性(模糊)。

麻烦自我们注意到旧的模式不充足却不改变它，而只是升华它开始。在我说出我头脑中的思想时，一切都是正常的；当我们说思想不在我的头脑中而在心灵中时，这就有危害了。

凡是人们能够根据命题意味的，他也可以根据它来描述。当人们根据命题表达“这里有把椅子”，我不仅意味根据直接经验向我显示的，还有某些经验之外的东西，你可以只回答：凡是你能够意味的必定与某种经验相关联，并且凡你能够意味的都是不可动摇的。

231.我们可以把假设的部分与齿轮运动的部分相比较，可以明确要求而不至对这个预定的运动产生偏见。那么，当然，你必须要对齿轮的其他部分做出适当的调整，如果它要产生想要得到的运动。我在思考的是差速齿轮。一旦我确定了无论要被描述的经验可能是什么，我假设的某个部分都没有偏离，那么，我就规定了表达模式，并且我假设的这个部分现在就是基本原理。

假设必须是这样的：没有可能的经验可以否认它的真实性，即使它可以非常不方便地保留这个假设。在某种程度上，我们在这里可以谈论假设的或大或小的便利，这个假设有着或大或小的可能性。

在这个时刻讨论这个概率的测量是缺少意义的。这里的情形像是两类数，我们可以公正地说一个比第三个类似于另一个(更接近它)，但是，没有任何类似的测量尺度。当然，你也可以想象在这种情形下被构造的尺度，假设根据两个系统共同的原理或公理的计算等等。

232.我们可以把原有的原则应用于表达概率的命题，并且假设，我们会根据思想证明它们的东西发现它们的意义。

如果我说“它可能会出现”，这个命题是根据它的出现被证明或根据它没有出现证伪的吗？在我看来，显然不是。在这种情况下，它也没有说出任何事。因为，如果争论产生于它是否是可能的，那么，它始终只是过去被引证中的参数。并且它会是这样，即使在实际发生的事情已经被知道的时候。

如果你研究一下有关概率的观点以及它的运用，它始终像是先验的和后验的混在一起，就像相同事态可能根据经验而被发现或证实，它的存在显然是先验的。这个过程表明某些东西在我们的观念中是有缺陷的，并且事实上我们似乎一直根据我们经验的东西增加假设的自然规律。

这就是说，它看起来一直是我们的经验(假设在洗牌的情况下)与先验被计算的概率一致。可这是荒谬的。如果该经验与计算一致，这意味着我的计算是根据经验证明合理的，并且它自然不是它先验被证明合理的元素，而它的基础，是后验的。可这些必须确实成为作为我的计算之基础的自然规则，并且它是被确定的那些，不是该概率的计算。

概率的计算只能以不同的形式表达自然规则。它改变了这个自然规则。它是我们审视和应用自然规则的媒介。

例如，如果我投掷骰子，显然我可以先验地预知每投掷6次会出现一个1，并且能被经验证实。但它不是我根据经验证实的计算，而是概率计算能够以不同的方式向我表达的自然规则。通过概率计算这个媒介，我认为这个自然规则存在于计算之后。

在我们这种情形下，自然规则采取的形式是六面体的任何一面向上的概率是一样的。它是我们计算的规律。

233.当然，这只是自然规律，如果它根据特定的经验被证实，并且也根据特定的经验被证伪。这不是通常观念的观念，因为如果任意事件通过任意时间段被证明合理，那么，无论什么经验都能够与这个规律相一致。可这意味着这个规律是空的；它缺少意义。

某一可能事件，如果它至少要成为一个事件，它必定与这个规律相矛盾；并且如果这些出现了，它们必定根据不同的规律被解释。

当我们打赌一种可能性时，它始终是有关本质同一性的假设。

如果我们根据概率规则表达气体的分子运动，它产生的效果是，它们是根据先验的或其他的规律在运动。当然，那是无意义的。概率规则，即那些运算建立其上的规则，是有前提的假设，根据计算改头换面并且以另一种形式被证明——或被证伪。

如果你研究被称为先验概率的东西，然后在根据相关事件的频率分布的确认中，主要吸引你的是先验概率，它是某种可理解的东西，应该支配相对频率分布，也就是某种不规则的东西。如果两捆干草是同样大小以及同样距离(与驴子的距离)，那么它就会解释驴站在它们之间的原因，但这不是对它每次吃哪一捆草的解释。那需要不同的自然规律解释它。事实上，骰子是同质的，并且每一面都是一样的，并且我熟悉的自然规律没有告诉我任何有关的投掷结果，没有给我足够在所有的投掷次数中从1到6的分布大致相等的背景。相反，预测这样的分布成为这样的情形，包含有关这些我不并确切知道的那些自然规则的假设：它们会产生如此分布的假设。

234.下列事实与我的概率观念不相符吗：一个人每天掷骰子，如此掷了一周——我们假设——只掷出来若干1，并且不是因为骰子有什么缺陷，而只是因为他手的运动，骰子在盒子中的位置，桌面的摩擦力合力促成相同的结果出现，这显然是可以想象的。这个人检查了这个骰子，并且也发现其他人投掷时，会产生正常的结果。现在，他是否有理由认为，有一个自然规律在这里发挥作用，使得他只投掷出若干个1？他是否有理由相信确实会这样继续下去，或者他是否有理由相信这个规律性不会再持续下去？这就是说，他是否有理由放弃这个游戏，因为他只能投出若干个1已经很清楚了，或者继续玩下去，因为在所有这些情况下，可能是他会掷出大一点的数？事实上，他会拒绝接受他只能投掷出若干1作为自然规则。至少，在他接受这个概率之前，它还会持续很长时间。可为什么呢？我认为，因为生命中先前的许多经验与存在这类自然的规律相悖，并且我们不得不——假设——居于全部经验之上，在我们接受一个全新的研究事物的方式之前。

如果我们从事件的相对频率中推论它在将来的相对频率，我们当然能够从实际上观察到的频率做出这个推理。并且不是从一个我们已经根据某些过程或其他由于计算可能性的观察中得出的推理。因为我们计算的可能性与任何我们实际观察的频率相融合，因为它保留了时间。

当一个赌徒或保险公司以概率为指导时，它们就不是根据可能性计算为指导，因为一个东西不能以其自身为依据，因为任何发生的事都能够与它相融合。不，保险公司是根据实际观察到的频率为指导。并且，当然是绝对的频率。

235.我们可以把这个曲线的方程表达为：带有变数参量的直线方程，它的过程表达对直线的背离。这些背离应该是“微小的”，这并非主要的。它们可以很大，以至于这条曲线看起来根本不像是直线。“背离的直线”仅是其中的一个描述。对我来说忽视特定的描述元素是可能的——如果我愿意这样。(这个形式：“例外规则”。)

伽尔顿照片是概率的图像。

概率法则是你闭上眼睛时看到的自然规律。

要表达根据围绕该曲线分布的经验而产生的这些点——即一条直线——意味着类似这样的东西：从某一距离看，它们看起来好象是在一条直线上。

如果我说“这是规律”，只在这种情况下才有意义：只要在拒绝这个规则之前，我确定允许的最大数例外。

236.我可以表达曲线为直线的一般印象，而不是这条曲线，即使它可能使得这个在这条曲线上的背离直线延伸过程被吸收成为可能。

我的意思是：它只在你表达你实际看到提供直线的一般印象的这个延伸(不是你假设的前提条件)才有意义。

统计学实验中“从长远看”意味着什么？实验必须有开端和结尾。

骰子实验持续某一确定时间，并且我们希望将来能够仅建立在我们能够观察的趋势基础上，在这个实验期间发生的事。这就是说，这个实验仅能提供希望事物会朝着根据实验显示的方向为根据；但是我们不能期望这个实验如果继续，会产生与它的过程预先想象的观念比我们实际完成的那些实验更好吻合。

因此，例如，我投硬币并且没有发现这个实验结果的趋势本身，正面或反面彼此更接近，那么，这个实验没有给我提供理由假设，如果持续这样，这样的近似值会出现。确实，这样一个近似值的期待必须是其自身最后要指向明确的点，因为我不能期待最终发生的事，而没能限定其出现的时间。

我不能说：“这条曲线看似直线，因为它可能成为被当作给予我直线印象的整体的线的一部分。”

237.任何“合理的”期待都是一个我们观察到现在仍然持续适用规则的期待。

但是，该规则必定是一直被研究的，并且不能，对它的部分也是，仅仅是期待。

在逻辑与思维的意义上，概率理论仅涉及期待的状态。相反，概率涉及期待的形式和标准。

这是未来经验要遵守先前的经验已经遵守的规则的期待问题。

“可能会发生一件事”意味着谈论某些支持它出现的事。

238.射线A是从光源S照耀在水面AB上，在那里形成一个光点，那么照耀水面AB'在那里也形成一个光点。我们没有理由假设AB上的这个点存在于M的左侧或是右侧，并且同样没有理由假设AB'上的点存在于m的右侧或左侧；这显然产生了相互冲突的可能性。

但是假设，我已经做出有关位于AM上的AB上的点概率，这个假设如何得到验证？确实是根据频繁性实验。假设它确认了一个观点，那么，它被认为是正确的观点，并且因此显示其自身为一个属于物理学的假设。几何的结构仅显示这样的事实：AM=MB不是假设相同概率的理由。

我为人们提供下列信息，并且只有这些：在此时，你会看到AB区间出现一个光点。

“它似乎更像是这个点出现在AC区间而不是CB区间吗？”这个问题现在有意义吗？我认为，显然没有。当然，我可以决定该事件发生在CB区间的概率是CB/AC，也是发生在AC区间的概率；然而，这个决定我可以有经验理由做出，可是没有什么是先验表达的。观察事件的分布可能不会通向这个假设。考虑到有无限多可能性的概率必定被当作限定。这就是说，如果我把线段AB分成任意长度的任意多的部分，并且把它当作该事件应该出现在这些部分中的任意一个上面具有同样的可能性，在我们面前马上就出现骰子的情形。并且，我能够——任意地——为构造相同可能性的部分规定规则。例如，如果这些部分的长度相等，它们就是相同的可能性。但是其他规则是允许的。

在骰子的情况下，我能否表达5次面朝上作为一个可能性，并且与它们相反，第6次面朝上作为第二个可能性？除经验外，还有什么阻止我把这两个可能性做为相同的概率？

让我们假设掷，例如，红色的带有绿色斑点的球。在这种情况下，是否红色的区域着地的次数要比绿色着地次数多？可我们如何支持这个命题？根据显示的情况来看，可能我们在扔这个球的时候，红色着地比绿色着地次数更多。可这与逻辑无关。我们始终可以把红色和绿色表面以及发生在它们上面的东西以这样的方式投射到绿色表面比红色多或等于红色的表面上；因此，这个事件，如在这个投射中看到的，表现出完全不同于它们在原初的表面上的可能比例。

如果，例如，我用一个弧形的镜子表达这个事件，并且现在想象我会将它适用于更多可能的事件，如果我仅看到镜子中的图像。

这个镜子不能改变的一件事是被明确限定界限的可能性的数。因此，如果我有n个被涂成颜色的斑块在我的球上，这个镜子也显示n，并且如果我决定这些要被当作同样的可能性，那么我可以坚持这个决定，即镜子也反射图像。

为了使我的表达更为清楚：如果我用凹面镜完成这个实验，即在凹面镜中做这个观察，也许它看起来像是这个球落在小的表面上的次数比落在大的表面上的次数更多；并且显然对两者实验——在镜子中或镜子外，都没有偏颇。

鉴于此，决定两个可能性是相等的可能性真实意图是什么？

它是否意味着，首先，这个众所周知的自然规律没有给我们提供这个可能性的任何一个有优先权，并且其次，在某种条件下，两个事件彼此相近的相对频率？

主要内容解析表附录一