数学革命
在这个期间，科学界最重要的人物是比萨的列奥那多·菲伯纳西（Leonardo Fibonacci）。苏末（Sumer，古代幼发拉底河下游一地区）人的数学——已忘记了其来源——业已经巴比伦王国传到希腊；埃及的几何，仍然可于金字塔见之，也许经由克里特和罗得斯岛传至爱奥尼亚和希腊；希腊的数学随着亚历山大传入印度，同时在日后印度的发展上，扮演一个角色，这项发展在布拉玛吉普塔（Brahmagupta，588？—660年）时达于顶点；大约在775年，印度的数学家有阿拉伯文的译本，不久之后的希腊数学家，亦将其翻成阿拉伯文；大约830年，印度的数字传入东方的回教国；大约在1000年，吉尔伯特将之带到法国；在11和12世纪，希腊、阿拉伯和希伯来的数学，经由西班牙和西西里，川流不息地进入西欧，同时随同意大利商人进入威尼斯和热那亚、阿马尔菲和比萨。知识传递之于文明，犹如再生之于生命。
另外一种传播物即是在6世纪前，中国古老形式的算盘（希腊文abas意即一块板子），是一种将小竹竿从一端拨至另一端的计算工具。至今仍然为中国人沿用，而成为算盘。在公元前5世纪，希罗多德说，埃及人用小石子算账，“两手左右来回拨动”；相反地，希腊人前进着。罗马人使用各种形式的计算方法；其中一种形式是将筹码滑进槽中，这些筹码是由石头、金属或者彩色玻璃做成的，同时被称为“小石头”。波伊提乌大约在525年提及算盘能够使人做十进制的计算，可是此种十进制的发明被人所忽视。意大利商人使用算盘，却用粗陋的罗马数字写下结果。
弗邦那齐在1180年出生于比萨。他的父亲是在阿尔及利亚地方的比萨贸易代理商。他年轻时随其父在该地，并且受教于一个回教教师。他在埃及、叙利亚、希腊及西西里等地旅行，研究经商的技术，同时学会算数。他告诉我们说：“借着经由印度人的9个数目字的一种神奇的方法”；这些数目字，传入欧洲的初期，适当地被叫做印度文，同时这些今日在我们童年时期被认为是一种烦人而零碎的东西，在当时却是一种奇迹和喜悦。也许他懂得阿拉伯文和希腊文，无论如何，我们发觉他精通阿基米德、欧几里得、希罗和丢番图的数字。1120年，他出版了他的《论算盘》（Liber abaci）；这是一本基督徒所写的第一本对于印度数字、零以及十进制的书，完全以欧洲人的观点加以注释，因而它显示出拉丁基督教王国数学的复活。在同一著作中，介绍阿拉伯代数进入西欧，对数学做了一种较次要的革命，它是借着偶然地使用字母，而不使用数字去概括和简写方程式。在他的《实用几何学》（Practica geometriae，1220年），就我们所知，在基督教王国，他是第一个应用代数来处理几何定理的人。在1225这一年的两本较小的著作里，他最早提出一次和二次方程式的解法。在那一年，腓特烈二世在比萨的一次数学比赛里当主席，其中巴勒莫地方的约翰安排了各种不同的问题，而由弗邦那齐解答。
虽然他出版了划时代的作品，但欧洲的商人长久以来即反对此种新的计算方法；很多人喜欢以手指拨移算盘，而用罗马数字写下结果；一直迟到1299年，佛罗伦萨地方的算盘家通过一条法律，反对使用“空虚的数字”。只有少数数学家认识新符号、零以及十进的整列线单元……打开了数学发展的道路，但仍不能与旧有的希腊、罗马以及犹太字母相并论。一直到16世纪，印度数字终于取代了罗马字母；在英国和美国，在许多方面仍保留着十二进法的计算；经过千年的争论，十进位未能完全赢得与十二进位制的战争。
数学在中古时代有三个目的：对力学贡献、商业账目的保存以及气象的制图。数学、物理和天文是密切相关的，因而研究其中一种的人，通常对另外两种也有贡献。所以英国约克郡（Yorkshire）好莱坞（Holywood）地方的约翰在拉丁世界以约阿内斯·萨科洛博斯科（Joannes de Sacrobosco）为名在牛津读书，在巴黎执教，写了一本《地球论》（Treatise on the Earthly Sphere）和一本对新数学的注释《万用数学》（Mathematics for the Millions，约为1230年出版）。约翰相信阿拉伯人发明此制度，同时对于“阿拉伯数字”的误称应负部分责任。切斯特的罗伯特大约于1149年改编巴塔尼（al-Battani）和《扎尔夸利》（al-Zarqali）的天文表时，把阿拉伯的三角学带到英国去，同时介绍了正弦（sinus）这个新的概念。
因为航海的需要和对占星学的热爱，而维持天文学于不坠。常被人释译的《天文学大成》（Almagest，译按：9世纪时阿拉伯人翻译托勒密的天文学作品之称谓）的无上权威，将基督教欧洲的天文学僵硬，而转变为托勒密的偏心圆与周转圆（译按：即圆心在另一大圆周上移动）的理论，因为地球居宇宙之中心。才智之士，如马格努斯、托马斯·阿奎那和罗杰·培根都感觉到批评的力量，摩尔人的天文学家比特鲁济（al-Bitruji）在12世纪曾致力于这方面之研究。在哥白尼之前，关于托勒密的天体力学却没有令人满意的改变。基督徒的天文学家在13世纪指出行星是环绕地球4周；恒星则陷在晶莹穹苍的桎梏中，由神圣的智力所驾驶，以严格而统一的星群围绕着地球；宇宙的重心和极至，就是那些被神学家将之描写为可怜虫的人，他们因罪而堕落，并且大都注定入地狱。赫拉克莱德斯·庞提库斯（Heracleides Ponticus）在公元前4世纪提出建议，天体每日明显的运动，是由于以地球为轴心的旋转，闪族的天文学家在13世纪曾加讨论，在基督教王国却完全被忘记。赫拉克莱德斯另一概念——水星与金星围绕着太阳——曾被玛克洛布伊斯（Macrobuis）和马蒂亚努斯·卡佩拉记载下来；埃里金纳在8世纪曾攫取了它，并推广它到火星与木星；太阳中心说此时处于胜利的边缘；可是这些睿智的假设在黑暗时代是很不寻常的，直到1521年地球仍被坚认是天体运行的中心。然而所有天文学家同意地球是一个天体。
西方的天文学上使用的工具和图表是从回教国进口的，或为仿效回教徒的原型。在1091年洛林（Lorraine）的瓦切尔（Walcher），稍后成为玛尔维恩（Malvern）修道院副院长，使用星盘（译按：昔之天文观测仪）在意大利观察到月食，这是目前所知的基督教的西方观察天文的最早成案。可是即使在两个世纪之后（大约1296年），圣克劳德的威廉不得不利用理论和实例提醒天文学家们，科学最好是成长于观察的基础，而非基于个人或者哲学的见解。在这一个时期，对基督教的天文学最有贡献的是有关天体运行的《阿方索表》（Alfonsine Tables），由两个西班牙的犹太人为“智者”阿方索所提供的。
天文学资料的积聚，显示出恺撒（公元前46年）取自索西杰内斯（Sosigenes）所设计的历法的不完善，因为它使一年多出11分又14秒；而越过边界的天文学家、商人和历史学家的不断交往，暴露出相冲突的历法的不方便。比鲁尼（Al-Biruni）曾经作了一种关于划分时间和定年代的相反制度的有效的研究（大约1000年）。亚伯拉罕·巴尔·希雅（Abraham bar Hiyya）在1106年与1122年间更深入研究；同时格罗斯泰特斯与培根在13世纪提出建设性意见。格罗斯泰斯特的《计算表》（Computus，约1232年）——一套计算天文学上事件和随年而变的日期（如复活节）的表——可说是迈向今日引导与使我们感到迷惑的格列高利历法（1582年）的第一步。
