经验理解与专业领域内的理解

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一个抽象的数学符号，一个公式，它怎么可以变成一种可理解的、在可领会的意义上的可理解的东西？逻辑之知怎么会有感？这事儿还是很费琢磨的，我的想法是，一个公式，它在数学系统内部是有用法的，它不只被规定了必须这样用；或者说，这些规定是有道理的，有道理就超出了规定，于是可能举一反三。只不过，这个道理是数学内部的道理。我可能不理解这个道理，但能够照猫画虎那样应用一个公式，但弄通了数学的人明白这个道理。卢瑟福说，如果他不能给大一的学生讲清楚，那就是他自己没弄懂。我最近刚看了一本书，那个作者在导言里说的是一模一样的话，他说要是我不能对普通读者写清楚，我就会怀疑是我自己没弄懂。我相信他们说这个话不是矫情，在一个意义上，只有把一个物理学概念、一个数学概念融通到我们的整体经验里，才算是彻底弄懂，但除此之外，还有一种理解，那就是在一个理论系统内部的理解和不理解。几乎所有物理学家都说，量子物理学还没有获得彻底理解，可是说到物理学内部的理解，当然，卢瑟福有卓越的理解，而我们傻乎乎的啥都不理解。

我从前想得比较粗糙，区分自然理解和数理理解，不区分数理理解和按照规则转换符号的理解，把两者都称为技术性理解。这是不对的。对于“技术性理解”这个用语，我就一直觉得很不舒服。

归结下来，我觉得应该区分几种情况：第一种是维特根斯坦所说的用法，以自然语言为范本，通过用法，词语沉浸在经验世界里，所谓语言游戏，用法使得词语有意义，我们感知这种意义。第二种是数学中公式的用法，有点儿像词语，但它不是沉浸在经验世界里，是沉浸在数学世界里。第三种是解密码，专家熟能生巧，你一说abcdef，他就知道是“我看到那儿有一个黑斑”，但abcdef仍然没有意义，没有用法。

理解数学公式感性—知性—理性