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- 第七章 推知
理解数学公式
我们再来想一想另外一种——数学公式，比如二项式啊、指数的四则运算啊，我们能不能对它们直接有感觉？那些复杂的物理学公式，还有那些很抽象的物理学概念，物理学家能不能对它们直接有感觉？
我们给小学一年级的孩子讲四分之一这个概念，说一除以四之后，它的结果是四分之一，这个你要举例，一块蛋糕切成四块，先切成两半，你拿到了一半，再切一刀，你拿到了四分之一，四分之一跟蛋糕连在一起，他就比较容易明白这个四分之一是什么意思了。他的明白有他的经验托着。但过两年你给他讲同底数幂的加减乘除，就很难找到适当的经验来启发他，你把幂的四则运算还原到指数的基本概念来给他讲解，教给他为什么同底数幂相乘，底数不变，指数相加。随着孩子长大，你的教学法老在变。一开始你讲那些最最基本的东西，用日常经验的例子，一次花五块钱，把五块钱摆在那儿，花了三次，你摆上三张五块钱的票子，这样教他5×3等于15。不妨说，5×3等于15是有感性内容的。但你不用这种方式讲幂的四则运算。
相当明显的是，2+3=5，这个编织在我们的日常经验里，就像我们说他登山时间长了，所以累了，经验告诉我们，做吃力的事情，时间长了人会累。那么，350兆呢？我一直认为，大数字跟2、3、5性质不尽相同，并非好像都是数字，只是大小不同，大数字，2的10次方、10的20次方，我们对这些没有感知，它们只有通过逻辑规则跟2、3、5联系在一起。在这个意义上，它们有点儿像密码。
大数字这个例子不太好，我们至少对大小有个感觉。最好用一个遥远而复杂的公式来举例，比如说一个微分方程，我不懂微积分啊，就是举个例子——这时候用一个我不懂的公式来举例恰恰好。你给我讲一个微分公式，这个符号代表的是什么，那个符号代表的是什么，我记住了，然后你给我一道特别简单的例题，我把其中各项对应到这个公式的各个符号，按照你刚刚教给我的程序一步步演算，哇，我解出来了，微分我弄懂了。且慢，我弄懂了吗？换一道题，给我一道稍微变形或者稍微复杂一点儿的题，我又蒙了。比如说a2-b2=（a+b）（a-b），你教一个3岁的孩子，把一个一个数字代入，然后按什么程序做下一步，他照猫画虎做下来了，这算他懂得这个公式了吗？
好，他不懂；后来他长大了，学代数，学霸，a2-b2小菜一碟，这时候他懂了吗？我的意思是，是他变得越来越熟练了，还是他现在对这个公式有感知了——就是说，像密码专家那样变得极其熟练了，还是这个公式融入了他的生活经验？都不很像。的确，在我看，都不是，是另外一种。
数学家对一个复杂公式直接有感觉，或者说，他有感觉，有直觉，我们没有直觉。一个公式，他一看就大致知道这个公式用得上用不上，应该改用另外哪个公式，一个公式指向哪个方向，他有感觉，马上就能看出来。那是不是这个复杂公式对他来说已经编织在日常经验里面了呢——就像1、2、3、4、5对我们来说是融在生活经验里面那样？我个人觉得不是。但也不是像密码专家那样变得越来越熟练了。把密码转成明码的一套规则是外在的，但数学公式之间的转换依赖的却是数学内部本来就有的一套逻辑，数学内部有个结构，分出不同层次等，层次之间也都有逻辑相连。在这个意义上，数学符号、数学公式也有用法，这说的不是一道应用题可以选用这个公式或那个公式，而是说，一个公式在系统中有它的用法。
所以我想说，数学行家对复杂的公式有了直观，既不同于熟悉了美元，也不同于熟练的密码解码。这两种在数学里都有，小学生刚开始学数学，要把数字、公式什么的跟日常经验连起来，也要学习数字、公式之间的折算规则、转换规则。但这两种都不是数学家的直观。数学家的直观指的是掌握了符号公式在数学系统内部的用法，懂得它们在系统内部的逻辑。
我这种不懂数学的，在一个意义上能掌握一些数学公式，在特定场合能使用，计算992-882，我不懂乘方，但我可以套用一个公式把它变成四则运算，我查一下公式，照猫画虎，算出来了，就像图灵机那样工作。可是数学家不止于此，他能感知这个公式的意义，举一反三，你看他，嘿，这个公式还能这样用，还能这样延伸、转换；就像你读诗，哇，诗人这样用这个词。就像初学外语的人，我那时候背单词，一个一个写成汉语，最后出来一个汉语句子，像解密码似的。
